UVRE IX. — ADDITIONS

le plan du cercle mobile k'o'; et les intersections de cette surface avec les deux cdnes qui terminent la couronne de la grande roue, indiqueront ^videmment les limites de Tentaille k pratiquer, pour que la dent de la petite roue puisse se mouvoir librement.

{Fig. a et 5.) Afin de construire, sans confusion, cette ^picycloide rallongee qui sera tout entifere sur la sphere ccfy decrite avec le rayon ZV, transportons le triangle Z'A'O' dans la situation Z" A"0", et en tragant la droite A'V 6gale el parallfele k X'x\ nous aurons les projections x" et x du point g^n^rateur quand il est arrive dans le plan vertical ; d'ailleurs le cercle a?'y' , d6crit avec la distance Z'V pour rayon, representera la sphere qui contient I'epicycloide cherchee. Celapos^, si nous traQons le cercle A^'B" avec le rayon 0"A", et le cercle M'h" avec Un rayon o"A!' choisi egal a o'A', ce dernier sera le rabattement du cercle mobile qui doit rouler sur Tautre; desorte qu'en prenant deux arcsegaux A"M= A"m, et en prolongeant le rayon o"m d*une quantity /wG egale k k^xf^ le point G serait le rabattement, et ^, ^ les projections du point generateur quand la rotation aurait fait parcourir Fare A^'M, si Torigine de cette rotation etait en M; mais comme cette origine est vraiment en A", on verra bien qu*il faut tracer la circonference gihl et porter Tare gi de h en /, pour obtenir un point / de la projection Ix de Tepicycloide demandee.

Maintenant, il faut imaginer un cone qui ait son sommet en Z" et pour base Tepicycloide projet6e sur &, et en chercher Tintersection avec le cone inferieur de la couronne de la grande roue, lequel aura pour g^n^ratrice, sur lay%. 5, la droite A"Q'' men6e parallfelementa A'Q' de \^fig. a. D'abord, la gen6ratrice Z^af du cone ^picyclo'idal fournira, par sa rencontre avec A'^Q*', un point (X'', X) de Tintersection demandee. Ensuite, considerons la generatrice quelconque projet^e sur 0'7, et rabattons-la sur le plan vertical : le point de Fepicycloide projete en / 6tant k la meme hauteur que ^, il se transportera en A', sur la sphfere x'y\ la generatrice sera done rabattue suivant Z"A', et alors elle coupera A"Q" au point (r', r); de sorte qu'il n'y aura plus qu'a ramener par un arc de cercle le point r en L sur 0/, pour obtenir un point de la courbe E"LX suivant laquelle se projette horizontalement I'intersection des deux cdnes ci-dessus indiques.

894. C'est cette courbe E^'LX qu*il faudra transporter sur la^?^. 3 suivant EH, avec le soin de placer le point E" (que nous allons apprendre k determiner) k I'extremite E du flanc BE, et le sommet X sur le cercle Umite THG, lequel se deduit du point T' oil la couronne de la roue est rencontree par I'arete JJp"af . Quant au point E" de la^^. 5, si Ton se represente bien la rotation du c6ne primitif Z'A'o' sur le cone immobile Z'A'O', on reconnaitra ais^ment qu'il faut prolonger le cercle B"A'' d'une quantite A^U" egale k Tare h^u de la fig. 4; puis, tirer le rayon O'^U*' sur lequel on prendra la longueur U''E", egale au flanc BE de la^^. 3.

Sur le cone superieur de la couronne, le cercle Umite 6*) sera fourni par le point 6' oil la generatrice N'a' V est coupee par la meme arete Z'^"a?'; et la courbe tf^ etant semblable k EH, elle se deduira de celle-ci par des rayons vecteurs proportionnels.

La projection verticale des courbes qui ferment le contour des dents se conclura

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de la projection horizontale, en ramenant Ics divers points dc celle*ci sur ies cercles horizontaux auxquels ils appartiennent. Mais ce trace, que nousavons eflectud ici, ne doit 6tre regards que comme un complement de la representation graphique, car il est entierement inutile pour le constructeur ; aussi» sur le plan yertical de la petite roue, nous n'avons figure qu'une simple coupe.

895. {Fig- 6.) D^doppemerUs des panneaux. Pour ex^cuter cet engrenage, il est n^cessaire de connaitre, en vraie grandeur, Ies intersections des diverses faces de la dent et du creux avec Ies deux cones de la couronne qui 5ont engendr^s par la revolution des droites parallfeles FA'Q' et NW autour de I'axe O'Z'. On dive* loppera done cesdeux surfaces coniques par la methode du n^ 251, en cherchant d'abord la position de leurs sommets sur cet axe; ainsi, pour le cdnePA'Q' par exemple^ on dicrira, avec son apothfeme, une circonference sur laquelle on prendra des arcs egaux en grandeur absolue a PC, CD,...; et sur Ies rayons qui aboutiront k ces points de division, on portera Ies longueurs des portions de generatrices com-* prises entre le cercle W et Ies divers points projetes en A, B, E, H,...>

896. Apres avoir taille le solide de Tenrayure et de la couronne, on appliquera sur las deux parois coniques correspondantes k FQ' etN'V, Ies panneaux dont nous venons de parler, construits en carton flexible, afin qu'en Ies faisant flichir ils puissent coincider entierement avec ces surfaces ; dans cet itat, Ies courbes transformdes auront repris leur forme primitive k double courbure, et Ton tracera alors sur Ies parois coniques le veritable contour des dents et des creux. Ensuite, il n'y aura plus qu'k executer Ies surfaces coniques dirigies vers le sommet Z', au moyen de Tarite d'une r^gle que Ton promfenera sur Ies contours inferieur et superieur, avec le soin de Tappuyer en memo temps sur Ies points de rq)ire qui correspondent k une mdme giniratrice^ points qui sont donnas par le traci m6me des panneaux.

897. Bemarque. A regard des entailles, nous avons voulu expliquer la mdthode rigoureuse qui servirait k enlever le solide minimum, et laisserait ainsi aux dents la plus grande resistance possible ; mais, dans la pratique, et pour ne pas ajouter aux difficultes d'execution que prisente cet engrenage, on se contente de determiner Ies cercles limites THG, dy?, au moyen des deux points de section T', 6\ marquis sur le plan vertical de lay%. 2, et Ton prolonge en ligne droite Ies c6t6s des flancs, BE, AF, Se,..., jusqu'k ces deux circonferences limites; ou bien, on raccorde leurs extr6mites avec ces circonferences par une petite courbe arbitraire, mais situee visiblement en dehors de la limite rigoureuse EH. Gette simplification, qui devra toujours 6tre employee, ne nuit en rien k la marcbe r^guliere de Tengrenage; mais il n'en est pas de meme pour la suivante.

898. Mdthode approximative. Pour eviter la longueur et Ies difBcultds que presente le trac6 des ^picycloides spheriques, beaucoup de constructeurs se permettent d'y substituer des epicycloides planes, qu'ils determinent de la manifere suivante. Apres avoir fixe Ies rayons primitifs A'O' el AV, ilsmenent par le point A', et perpendiculairement a la g^neratrice Z'A', un plan que j'appellerai/'&Ti auxiliaire, et

Geometric Leroy. 4^

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qui va couper les axes des roues en deux points que je designerai par 0, el o^; dans ce plan auxiliaire ils decrivent deux eercles avec les rayons 0, A% o^A\ et ils opbrent comme si oea deux eirconferences devaient rouler I'une sur Fautre, ce qui n'est pas tr^fr^loign^ de la verite> du mains pour le court intenralle pendant leauel s'exerce la poussto d*une meme dent.

Ainsi, aprte avoir rabattu le plan auxiliaire avec les deux eirconferences qu'il renferme, on rapportera sur cellea-ci les divisions egales marquees sur les eercles primitifef et ron ciipkttmn les profils d'une dent de chaque roue, comme pour unengrenage cylindrique (n'' 858). Ensuite, comme on termine ici les couroimes des deux roues d*angle par les surfaces coniques que d^criraient les droites A'Os et A'os en toumant autour des axes respectifs, les profils construits ci^dessus remplaeeront lesiianneaux developp^s sur layS^. 6; de sorte qu'il suffira d'appliquer ces profils aur la couronne m6me» pour pouvoir executor les diverses faces des Hants et des creux^ ainsi que nous I'avons dit au n^ 896.