ET MOUVEMENTS DE ROTATIOV

lefl m^'mrs; la nouvelle projection verticale v ^^ 1^ trace ( s'obtiendra fa abai^Mnt pr (,■ lute perpendicoliiire k L'T'; il suffira done de rhercher la nouvelle projection verticale d'un auire point ie Ik droite D. Prenons, par exemple, ta trace verticale 6 de la droite O, ce point a pour projection horiiontale 6i : en menant par O* ime perpendiculaire Sjc k VT, en ponant la distance S46 de r en 9^ on aura U nouvelle projection verticale 6^ du point 0, et en joignant /^, S,' on deterroinera U nouvelle projection verticale D^ de la droite D. On reconnait, d'apr^ la position des projections 0^ 8^ en ^rd a la nouvelle ligne de terre L'T', que le point 9 eat derri^re le plan V, ainsi qu'on dcvait s'y attend re.

Comme verification de ce qui precMe, on peui observer que I'intenecUon I des deu\ plans verticaux est projetee horizontal eraent au point Jf,, oix les deux tignes de terre se rcncontrent, et verticalement; I'danslc premier systeme, suivant I, perpendiculaire & LT; z° dans le deuxi^ine sjrsttoci snivantl/ perpendiculaire 4 L'T. Par consequent, si Ton mene 6 A parallele ft LT, si Ton decritTaro AA'du point II comme centre avec Ii A pour rayon, etenfinsi I'on mene A'S^parall^leit L'T, cette parall^Ie doit alter aboutir en 6^. On ecnt de cetle mani^re dans I'cpure les relations sur lesqudles repose la construction precedente.

On pent se proposer comme seconde verification de cbercher la nouvelle trace verticale 9' de la droite D, soil direclement en elevant du point S'i, oi D» coupe L'T, une perpenijicnl aire 4 cette dei^ ni^re ligne, jusqu'4 la rencontre en (K de D^; soitindirecieraent en revenant4 I'ancien systime, c'es^ i-direenabaiasantO'«fl', perpendiculaire 4 LT, en menant par 9', la parallele 9',B 4LT, en decrivant de It comme centre avec Ic rayon I* 8 Tare BB' et en coodaisant enfin du point B', la parallile B' A' 4 L' T* qui devra dooner le point V.

II est bien evident qn'on aurait pn, au Ken des traces de la droite,- prendre deux points qoelconques, mais on comprcnd aisem«nt qu'il est plus avantageux d'emplover les traces, en ce qu'elles servent en mdroe temps 4 determiner la drotie et 4 reconnaitre la position qu'elle occupe dans les quadrants formes par les plans de projection des deux svstemes. Tonlerois, pour plus de generalite, nous allons employer deux points quelconques dans le probldme snivant : Soit donnee (fig. "} ) one

mVIr ^m'Mv, 99i^9y/>, «N. =n'N/, 6''q=iip, m' Mi = m" M(», rfi/i = «,*,

dwnttD parses projections p,Di, nipportMh on mi^e de plans Y et H se cAnpant rMtangnM-

358 CHANGEMEXTS DE PLAN DE PROJECTIOJ^

rement suivant LT, on veut construire les projections de la m^me droile ]>ar rapport a un au!re systeme de plans \' et H" se coupant rectangulairemont suivant la ligne L"T'', en fnisant usage de deux points quelconqnes M et N pris a volonu'' sur cetie droile (^g. 7). En considerant attcntivement repure, on reconnaitra que nous avons d'abord remplace le plan vertical V par un autre V coupant le plan H suivant la ligne de terre L'T'; que nous avons ensuile abaissc des projections M^ et Nji les perpendiculaires Ma M,s N/, N,/ sur L' T' ; que nous avons enlin reporte m M, de /// en M/, n N, de /i' en N/, et qu*en joignant M/NV nous avons ohtenu la nonvelle projection D»/ qui a dh couper L' T' au pied V de la perpendiculaire tt^ mence de la trace t sur la nouvelle ligne de terre. L*ancienne trace verfi« cale 9 de la d?oite D a fourni une nouvelle verification, la distance 09a devant etre egale a O/^hp. Quant a la nouvelle trace verticale 0', on I'a nbtenue en elevant par ©V *'ne perpendiculaire O'j^O' a L'T'.

Pour la seconde partie del'^pure, on reconnaitra de meme que nous avons substituc au plan horizontal qui avait dej^ servi aux deux premiers systemes, un plan H" perpendiculaire a \'y suivant 1ft nouvelle ligne de terre L'^'T", et qu'alors en menant de M^f et de N^/ les perpendiculaires M^ 'Mj^, N/Na//, a V T", en reportant M' Ma de m" en My/, w'Na de /i" en /i" Na'/ et en joignant Ma// et Na*, nous avons obtenu la projection Da^/ de la droite D sur le plan H". Coinnie verification des constructions piecedentes, si Ton raene 0^ q perpend iculairement k I/' T'', on coupera Da'/ en 9a"> nouvelle projectioD horizontale de 9, et on devra trouver 9a// 7 = 9a/>, de fiicon que les projections du point 9 aurontete success! vement

i<» 9, 9a, ( le point 9 etant Lui-*m(^nie sa projection verticale dans le oP 0/, 0/„ premier systeme. )

Si Ton mene egalemeut o th" perpendiculairement ^ IJ* T', on coupera Da// en un point tyt^ nouvelle projection horizontale du point /, tel que rttfi =, tt^», de maniere que les projections du points auront ete success! vement

1*^ r, A,, (le point / etant lui-meme sa projection horizontale dans le 2,^ /, trfy premier systeme.) 3" /A", ^•.

Les deux nouvelles traces de D sont 9'OV' et t't^/. Nous disons k cctte occasion que les projections Dp et Da//, ainsi que les traces 9' et t' de la droite D, sont simultan^es par rapport a la lighe de terre U*V qui caracterise le nouveau sysleme de plans de projection simultanes V et H", dont le second ne pent plus etre designe sous le nom de plan horizontal, puisqu'tl a cesse d'etre parall^le k rhorizon.

On voit aisement le parti qu^on pent tirer de ces changements de plan de projection ponr rendre Tun ou Tautre d'entre eux parallcle ou perpendiculaire k une droite donnee dans Tespace, ou roeme pour rendre Tun d*eux parallele et Tautre perpendiculaire k cette droite : ce qui, dans certains cas, pent simplifier la solution d'un probleme, poiirvu toutefois que les constrnctions preliminaires k executer en vue de ce resultat ne soient pas aussi compliquees que celles qui conduiraient directement k la solution, en conservant les plans primitifs.

Soient donnees, pour dernier exemple, les projections D^, Da, et les traces /, 9, d*une droile D (Jig. 8), rapportee a un plan vertical V et ^ un plan horizontal H dont la ligne de terre est LT, nous demandons les projections D/ et Da// de cette meme droite D par rapport k un systdme de plans simultanes V^ et 11'% dont Tun, V, est vertical et parallele kJ>y k une distance S en arriere de cette droite, etdont Tautre, H'^ simultane de V, est perpendiculaire ^ D en un point donne Ma M,.

Puisque le plan V doit etre vertical et parallele It D, i| est parallele au plan projetant qui a fourni

ET MOUVEMENTS DE ROTATION. 35g

Dji ; et , par consequent , la nouvelle ligne de terre 1/ V doit etre tracee parallelement k Da au-dessus de Da ^ la distance 9; la nouvelle projection M»/ du point M sera sur la perpendiculaire abaissee de Ma snr L'T' a une hauteur m'^\^ = m M»; la trace horizontaler de la droite D $e projcttera verticalement en f/ sur L' T'^ et la ligne M,/ 1^ sera la nouvelle projection verticale D/ de la droite D. Si Ton mene du point Oa la perpendiculaire 0a;7 9/, k UVy on aura Oa/^ = ^ et 9^/? =r 09a.

Le plan H'' etant k la fois perpendiculaire au plan V et k la droite D, d'apres Tenonce, sa trace sur le plan V, c'est-^-dire la nouvelle ligne de terre U'V\ devra ^tre perpendiculaire en direction k la droite D, et par consequent k D/ parall^le k D. Comme de plus le plan H" perpendiculaire k V doit passer par le point M, la trace L'^T" du plan W sur V doit passer par M,/, projection du point M sur V^ Enfin, la trace de la droite D sur le plan H'' devant se irouver, ainsi que tons les autres points de oette droite, k la distance 9 du plan V, il en rcsulte qu^en reportant 9 de RV en Da/', on aura k la fois au point Da// la (race et la projection de la ligne D de Tespace sur te plan H". On peul remarquer en passant que le changement dc plan vertical donne immediatemcnt la veritable grandeur d*une portion determinee de la droite. D, par exemple la grandeur de la partie de cette droite comprise entre ses deux traces primitives r et ; mais mieux vaut, en pareil cas, rabatlre immediatement Tun des plans projetants sur les plans de projection primitifs (fig. 8).

Pig* 8.

iwM, = m'Mpff

9//7 = 9 9a, M|/ Da// = i»

IIP PAOBiiiMS. — Changement de plan de projection par rapport a un plan.

Soient P,, Pa (fig* 9) les traces d'un plan P rapporte au syst^me des plans V et H se coupant suivant LT, nous changeons le plan V en un autre plan vertical V/ coupant le plan H suivant L'T^

Les deux plans verticaux V et V se coupent suivant une verticale I, qui a pour projection korizonlale Ic point Ia oOi les deux lignes de terre se rencontrent, ct pour projection verticale T^ dans le premier systeme et I, dans le second.

Si done on reporte, par un arc de cercle decrit du point Ia comme centre, la longueur Ia/, de Ia en />, on aura un point r> de la trace verticale nouvelle P,/ \ en joignant O' />, cette ligne P/ sera la trace verticale du plan P dans le nouveau systeme.

11 peut arriver que le point 0' ne se trouve pas renferme dans ks liniites dc Tepure; on prondra,

Fi^. lo.

3Co CHANGEMFNTS DE PLAN DE PROJECTfON

clans re rn«», line horizontale d dn plan P, les projertions de d seront /<* parallele a P* et A parallMe li la lijj;ne de rerre. On rherchera la trace verticale de cette droite, et en elevant & II V par OV »ne perpendiciilaire 0VO' egale ^0*0, on aura en 0' un nouveau point de ?•; en joignant ce nouyeaa point h V, la trace P/ sera determinee.

On emploie le meme precede pour un changement du plan H en H', il faut alors prendre la droite d parallele an plan V.

Soient P„ Pa les traces d'un plan P rappnrtces h un svstcme de plans V et H sc conpant suivantLT, on demande les traces P/, P^' dn plan P par rapport k un autre systerae V, H' de plans rectangulaires entre eux el se coupant suivant IfV [fig. lo), le plan V etant perpendicnlaire k 11.

Considerons d'abord la ligne de terre L'T' intersection du'plan V et du plan horizontal H; par le

point Ia, intersection de LT et L'T', menons I, et I,' respectivement perpendiculaires k ces deux lignes de terre y portons I^'r de I^ en />, joignons iV avec le point de rencontre O' de Pa et de L'T', nous aurons la nonvelle trace yerticale P^ du plan P* Prenons pour plan simultanc de V un plan H^ qui lui soit perpendicnlaire suivant la nouyelle ligne de terre L"T'', et nous repeterons le m^me genre de construction , c*est-k-dire que du point Ky, oil les deux dernicres lignes de terre L'T, L'^T'' se croisent, nous leur menerons perpendiculairenient le<( deux droites K^Ka' et K/Ra//, nous prendrons K^^Ka/' = K/ Ka' et nous joindrons O'^Ka//, ce qui nous donnera la trace horizontale Pa//^ et finalement les deux traces V^^ Pa// du plan P se coupant en O^ sur la ligne de terre L^T".

jVous bornerons 1^ ce que nous voulions dire sur ces exercices, avec lesquels il pent ^tre bon de se fainiliariser d^ le commencement de la Geometrie descriptive, surtout pour les personnes qui ne se proposent pas de pousser leurs etudes en ce genre beaucoup au del^ des prt^Uminairef. Autrement, on rencontre assez frequemroent, dans les applications, des occasions d^employer les changements de plans de projections pour attendre que ces occasions se presentent, et Ton s*en servira alors d*autanl plus utilement, que le choix k faire sera motive, en pareil cas, par la nature dn probl^me k resoudre. Cest ce que font journellement les constructeurs, sans considerer pour cela corome une methode de recherche ce qui n'est en realite qu^une transformation de coordonnees.

Il en est de m^me de ce qu'on est convenu, depuis quelque temps, d'appeler la mSthode des moi^ vements de rotation, et qui n'est tout simpleraent qu^un cbangemeni de disposition des donnees rdativement aux plans auxquels on les rapporte. Nous allons entrer dans quelques details sur oe sujec.

Mous^ements de rotation*

l^.tant donni^ deux droites indefinies AB etCD (/g". i) qni se coupent en S; si Ton imagine quernne d'clles, AB, restant fixe, Tautre, CD, tourne autour d'elle en la coupant toujours au m^me point S et en faisant constamment avec elle le meme angle ASC , la droite mobile engendrera dans sa rotation^ comme chacun sait, un cdne de revolution^ et les divers points M, M|, Ms de cette droite decriront