LIVRE I. — DES DROITRS ET DES PLANS

D'apres les definitions etablies au n° 4, il est evident que la projection horizontale de la droite cherchee passera par les points A et M, tandis que la projection verticale passera par A' etM'; done cette droite indefinie est projetee suivant AMB et A'M'B', etpar la elle se trouve completement d^terminee de position (n® 6).' D'ailleurson peutconstruire ses traces (n** 15), qui seront les points (B, B') et (C, C).

Quant k la distance des deux points donnes, elle est mesuree dans Tespace par la portion de droite projetee sur AM et A'M'; mais il est facile de voir qu'une droite finie est toujours plus longue que sa projection sur un plan, excepte quand la premiere se trouve parallele au plan sur lequel on la projette, car alors la droite dans Fespojce est indemment de mime longueur que sa projection, D*apres cette remarque, imaginons que la ligne (AM, A'M') tourne autour de la verticale projetee en A, sans changer d'inclinaison avec cette derniere; par la Textremit^ (A, A') demeurera immobile, tandis que I'autre extremity (M, M') restera k une hauteur constante, en decrivant seulement un arc de cercle horizontal autour de Taxe de rotation. Or, si Ton continue ce mouvement jusqu'k ce que la droite mobile soit deyenxxe parallele auplan vertical^ ce qui arrivera quand la projection AM aura pris la situation AP parallele k la ligne de terre XY, alors I'extremite M venue en P se trouvera projetee verticalement(n® 10) quelque part sur PIF perpendiculaire a XY; et comme elle doit etre k la meme hauteur que M', si Ton mene Thorizontale M'P', le point P' sera la projection verticale de Textr^mite mobile de la droite en question. D'ailleurs, puisque Tautre extremite (A, A') est demeuree invariable, il s'eiisuit que la droite (AM, A'M') se trouve actuellement projetee suivant AP et A'P'; et sa veritable longueur est precis^ment la projection verticale A'F, d'apres la remarque faite au commencement de cet article. De la on conclut la regie suivante, qu'il faut se rendre trfes-familifere :

Pour trouver la distance de deux points (A, A') et (M, M') {fig. l\)yformez un triangle rectangle A'H' P', dont un cdtS A' H' soit la difference des hauteurs A'R et M'K de ces deux points au-dessus du plan horizontal, et dont I'autre cdtdWP' soit egal a VintervaUe AM des deux projections horizontales : V hypotenuse A' V sera la distance demandie.

18. On arriverait au m6me but en construisant, sur le plan horizontaU n^n

bord, avecle crayon, une droite indefinie vers le milien de la feuille de dessin, et ^ pen pr6s parallele k sa longueur : puis, on trace une seconde droite exactement perpendiculaire sur la premiere, en se servant d^arcs de cercle; car I'^uerre n'est pas un instrument dont la pr^ision soit assez sAre pour qu*on Temploie k mener des perpendiculaires qui doivent avoir une longueur un peu considerable. Mais, du moins, r^uerre peut servir k mener des parall^les par un proc^6 trte-exact et tr6s-exp6ditif, lequel consiste h la faireglisserle long dune regie fixe; aussi c'est par ce moyen que Ton doit tracer, dans cheque ^pure, la ligne de terre et toutes les droites qui lui sent parall^les, ou perpendiculaires, en se dirigeant sur les deux droites rectangulaires que nous avons recommand^ de construire d'abord, et qui ferment ce que les praticiens appellent le trait carr^.

Ajoutons en outre que, quelque importante que soit la ligne de terre, il faut se garder de la former avec nn trait plus gros que les lignes principales; car il en r^sulterait souvent beaucoup d'inezactitude dans Ui situation des points oit elle serait rencontr^ par les autres droites de T^pure. ^