CHAPITRE II. — PBOBLiaiES SUR LBS UGXES DBOITES, ETC
triangle rectangle ADQ dont un c6td AD egcderait la diffirence des distahces AR et MK des deux points donnes au plan vertical^ et dont V autre cdtd DQ sercut rinter^alle A'W des deux projections verdcales; V hypotenuse AQ exprimerait encore la distance des deux points dans Vespace^ et devrait se trouver identique avec A'F. Pour se rendre compte de cette nouvelle construction, il suffira d'imaginer que la droite proposee a tourne autour de Thorizontale qui est projetee verticalement en A^ sans danger d'inclinaison par rapport a cette derni^re, jusqu'a ce que cette droite mobile soit de venue paralUle au plan horizontal.
19. On aurait pu aussi rabattre la droite (AM, A'M') sur le plan horizontal, en faisant tourner autour de AM, comme charni^re, le trapeze invariable forme par la droite proposee et par les verticales qui projettent ses extremites en A et en M. Par la ces deux verticales seraient demeurees perpendiculaires k la charniere AM, et auraient pris les positions AA" = RA', MM'' = KM'; de sorte qu'en tragant la droite A"Wp on aurait encore obtenu la veritable distance des deux points (A, A') et (M, M'). D'ailleurs il se presente ici une de ces verifications qu'il ne faut pas negliger dans les operations graphiques; c'est que la ligne A''M'' prolong^e doit aller aboutir en B. En effete ce dernier point etant la trace horizontale de la droite primitive, il se trouvait situe sur la charniere AMB; et, comme tel, il a du rester immobile pendant la revolution de la droite.
20. Reciproquementy si Von donnait la droite mddfinie (AB, A'B') a\^ec un de ses points (A, A') , et qu^on voulut trower sur cette ligne un autre point (M, M') qui fut dloignedu premier d'une quantitd donnee &, on rabattrait comme precedemroent la droite proposee sur le plan horizontal, en faisant A A" = RA', et tirant A"B. Ensuite, on prendrait sur cette dernifere ligne un intervalle A"M" egal a & : puis, en relevant la droite rabattue A'^B, le point M" se ramenerait en M par une perpendiculaire sur la charniere AB; etenfin, de la projection horizontale M, on conclurait (n^ 10) Tautre projection M', ce qui determinerait completement le point demande.
On aurait pu aussi resoudre cette question en operant d'une maniere analogue sur le rabattement (AP, A'P'), avec le soin de chercher ce que devenait la trace horizontale (B, B') apres la rotation imprimee a la droite primitive.
21. {Fig. 5.) Par un point donni (D, D') mener une droite qui soit paraUele a une droite connue ( AB , A' B' ) .
Lorsque deux droites sont paralleles» les plans qui les projettent sont evidemment parallMes entre eux; et, par consequent, les intersections de ceux-ci avec le plan de projection, c'est-k-dire les projections des droites, sont necessairement paralieles Tune a I'autre. Reciproquement, lorsque les projections horizontales de deux droites sont paralieles, et qu'il en est de meme de leurs projections verticales, les quatre plans projetants sont paralieles deux a deux; d'oii il suit que leurs intersections mutuelles, c'est-a-dire les droites dans I'espace, sont paralieles entre elles. D*apres cela, si par le point D on mene une parallele DE a AB, et par le point D' une parallele D'E' a A'B', la droite demand^e aura pour projection DE et D'E';
Geometric Lervy. 3
lO LITRE i. *- DBS IMI0ITBS ET DBS PLAJVS.
elle sera done ainsi eompletement determinee, et d'ailleurs les traces de cette drmtet qui seront en F et en E^ se construiront comme on Ta dit au n^ 13. 21. {Fig. 6.) Construire le plan qui pas$eraxt par trois points donnii (Ay A')t
(B,B')ef(C,C').
Observons d'abord que pour determiner graphiquement la posidoii d'un plan» 11 suffit d'assigner ses deux traces^ e'est-a-dire ies intersectioas de ce plan avec les plans de projection. Ges deux traces devront toujours couper la ligne de terre au meme point; mais Tangle qu'elles comprendront entre elies sur les plaii3 de projection rabattus. Die sera pas egal k celui qu'elles formept dans Tespece. En outre, il est bien evident que, quand une droite e3t situee dans un plan, les traces de cette droite (n^ 13) doivent etre situees quelque partsur les traces du plan.
Cela pose, joignouB les points donnes deux a deux par des droites (AB, A'B'), (BC, B' C) , (AC, A' C), tesquelles ayant chacune deux points dans le plan cherche, y seront contenues tout emtieres; puis construisons, comme au n^ 13, les traces verticales E', F' et G' de ces droites. Alors ces trois points, qui doivent evidemment appartenir a I'intersection du plan inconnu avec le plan vertical de projection, se trouveront necessairement en Ugne droite, et seront plus que suffisants pour determiner /a trace verticale W PG' du plan demande. De meme, la trace horizontale DHK de ce plan s'obtiendra en construisant les traces horizontales D, H et E des trois droites auxiliaires; d'ailleurs les deux lignes E'G' et DH ainsi obtenues, devront aller rencontrer la ligne de terre XY en un meme point Q, ce qui offrira une nouvelle verification des constructions anterieures.
Si Ton "^QXiX^it /aire passer un plan par une droite et un point donnds^ on joindrait ce point avec un de ceux de la droite, ou bien on menerait une parallele k celle-ci par le point donne; alors on connaitrait ainsi deux droites situees dans le plan cherche, et leurs traces sufBraient pour determiner celles de ce plan.
23. {Fig. 7.) Par un point donni (A, A') mener unplan qui soitparaUile a un autre plan dont la trace horizontale est ST et la trace verticale TV'.
II est evident que deux plans paralleles doivent avoir leurs traces respectivement paralleles; ainsi il suffira de trouver un point de chacune des traces du plan demande. Pour cela, imaginons par le point donne (A, A') une droite axixUiaire qui soit situee dans le plan inconnu; le choix le plus simple sera de mener cette droite parcdlekment a la trace horizontale de ce meme plan, c'est-a-dire parallelement a ST. Si done on tire dans cette direction la ligne AB, et qu'on mene A'B' parallele k la ligne de terre, ce seront la evidemment les deux projections de la droite auxiliaire renfermee dans le plan inconnu. Cela pose, en construisant (n^ 13) le point B' oil elle va percer le plan vertical, ce point appartiendra n^cessairement a la tr9.€e du plan cherche, laquelle sera par consequent la droite B'Q parallele k VT; Tautre trace devant passer par le point Q, sera la ligne PQ parallele a TS.
On pent aussi, comme verification, construire directement un point de la trace horizontale du plan inconnu. Pour cela, on imaginera par le point (A, A') une droite auxiliaire qui soit parallele a la trace verticale de ce plan ; et elle aura evi-
CHAPITftE n. — l»RODLiaiES SUR LES UGimS llEOITESy ETC. 1 I
deiriment pour projections AC parallfelek la lignede terre, et A'Cparallfelefk V'T. Si done on clierche {n^ 15) le point C oil cette auxiliaire va percer le plan horizontal, ee point appartiendra necessairenient a la trace da plan demande; ainsi il faudra que la droite PQ, dejk construite, passe par le point C.
24. Observons que, dans Tepureactuelle, on n*a pas regarde les deux plans STV' et PQR' comme existant reellement; car alofs le premier aurait rendu Tautre invisible, et il etii fallu (n° 15, i**) ponctuer en totalite les traces de ce dernier, ce qui aurait multiplie beaucoup les points ronds, et surtout aurait eu le grave inconvenient de ne plus laisser discerner les parties des traces situees en deqk des plans de projection d'avec celles qui sont au delk. C'est pourquoi Ton suppose ici qu'il s'agissait de trouver seulement les traces d'un plan parallele h celui qui aurait luimeme pour traces ST et TV',- sans construire effectivement aucun de ces deux plans. Cette restriction, dont le but est de repandre plus de clarte dans les dessins, a cte aussi admise dans les epures 8, 9 et 16.
25. {Fig. 6.) Les considerations employees dans les n°' 22 et 23 peuvent servir k resoudre la question suivante : ^tant donnie la projection horizontale AB d'une droite que Vonsait Stre situee dans le plan connu PQR', trouver V autre projection. La droite inconnue percera le plan vertical en un point qui doit etre projete horizontalement en E (n® 13); d'ailleurs cette trace ne pouvant etre hors de la trace verticale QR' du plan qui renferme cette droite, sera necessairement situee en E', et c'est la un des points de la projection demandee. Ensuite, par des motifs semblables, on voit qge la droite en question va percer le plan horizontal en D; done, si Ton projette D en D' sur la ligne de terre XY, D'E' sera la projection verticale de la droite proposee. On sent bien qu'il serait aussi aise de trouver la projection DE, en se donnant seulement la projection verticale D'E' avec le plan PQR' qui renferme la droite.
Si la projection AB assignee sur le plan horizontal se trouvait, comme dans la fig. 7, parallele a la trace PQ du plan donne, on obtiendraitd'abord, comme ci-dessus, la trace verticale B' de la droite inconnue; mais ensuite la trace horizontale de cette droite n'existant plus, puisque AB ne rencontre pas PQ, il en faudrait conclure que la ligne demandee est parallele au plan horizontal, et qu'ainsi sa projection verticale est la droite B'A' paraUele a la ligne de terre XY.
On verra de meme que si la projection horizontale donnee est la ligne AC parallele a XY, la droite dans Tespace est parallele au plan vertical, et que sa projection sur ce dernier plan est la ligne C A' parallele a la trace QR'.
26. [Fig. 6.) Voici encore une question analogue : Conncussant la projection ho^ nzontale A d'un point que ton sait 6tre situd sur un plan donnS PQR', trouver P autre projection. On m^nera par le point donne A une droite quelconque DAE, que Ton regardera comme la projection horizontale d'une ligne situee dans le plan PQR'; il seri facile de construire^ comme ci-dessus, la projection verticale D'E' de cette droite» et alors il n'y aura plus qii'a ramener le point A en A' sur cette projection,
