LITRE I. — DES DROITES ET DES PLAHS
au moyen d'une perpendiculaire a la ligne de terre (n® 10). On trouverait aussi aisement la projection A, si Ton avail donne A'.
Parmi les diverses directions que Ton pent donner a cette droite auxiliaire DAE, la plus commode ordinairement est une parallele k la trace horizontale PQ, comma la ligne AB dans la fig. 7.
27. Trouper V intersection de deux plans qui auraientpour traces^ tun PQ et QR', rautre^letVi'.
{Fig. 8. ) Si Ton prolonge les deux traces horizontales jusqu'a ce qu'elles se coupenten B, ce point, evidemmentcommun aux deux plans, appartiendra a leur intersection ; et, puisqu'il est dans le plan horizontal, ce sera sur la trace horizontale de la droite cherchee. De meme, le point A' ou se couperont les traces verticales des plans donnes, sera la trace verticale de cette droite. Gonnaissant ainsi les deux traces de la commune section, on en deduira immediatement (n^ 14) les projections qui scront AB et A'B'.
28. Si deux des traces se trouvaient paralleles, comme il arrive pour les plans R'Q/>et V'TS, le point B s'eloignerait indefiniraent, et, par suite, Tintersection des deux plans deviendrait une horizontale ayant pour projections A'i' parallele a la ligne de terre, et Afe parallele a TS : resultat qui etait facile a prevoir, puisque alors les plans donnes passeraient par deux droites paralleles Qp et TS, et qu'ainsi ils devraient se couper suivant une droite parallele a celles-la.
29. {Fig. 9.) Lorsque les traces seront respectivement paralleles sur les deux plans de projection a la fois, les plans donnes seront ^videmment paralleles entre eux, et il n'y aura plus d'intersection; k moins que ces traces ne soient en meme temps paralleles a la ligne de terre, comme PQ et P'Q' pour Tun des plans, TS et T'S' pour Tautre : car deux plans ainsi places peuvent encore se couper suivant une droite parallele a XY, mais la methode precedente ne suffit plus pour obtenir cette intersection.
Dans ce cas, menons a volonte un plan secant auxiliaire aSy. II coupera le plan [PQ, P'Q'] suivant la droite (CD, CD'), qui se construit par la methode g6nerale, et le plan [TS, T'S'] suivant la droite (EF, E'F') ; alors ces deux lignes fourniront,. par leur rencontre, un point (M, M') qui sera evidemment commun aux deux plans ' [PQ, P'Q'], [TS, T'S']; et, par consequent, ceux-ci auront pour intersection la droite (AMB, A'M'B') menee parallelement a XY.
On pourrait encore employer ici un plan de profil mene pcrpendiculairement k XV {fig. 9) ; ce plan couperait les plans de projection primitifs suivant les deux droites XV et XZ, dont la derniere prendra evidemment la position XZ", lorsque Ton rabattra le profil sur le plan horizontal, autour de VX comme charniere. Cela pose, le plan de profil rencontrait les traces verticales des plans proposes aux poiqts P' et T' qui deviennent en rabattement P" et T"; done PF' et TT" sont les traces de ces plans sur le profil rabattu suivant Z"XV ; et comme ces traces se coupent en A", c'est Ik un point de Tintersection demandee. Si done on projette horizontalement ce point A" en A, on en conclura que Tintersection cherchee a pour projection ho-
CIIAPITBE U. — PROBLi-MES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. 1 3
rizontale la droite AB parallele a XY. D'ailleurs, si Ton releve le profil, le point A" se projettera verticalement en A'; et A'B' parallele a XY sera la seconde projection de I'intersection des plans proposes.
Si les traces de ces plans, sans etre paralleles entre elles, passaient toutes quatre par le meme point de la ligne de terre, il faudrait encore recourir a Tun des plans auxiliaires que nous venons d'employer; etnous engageons lelecteur a construire I'epure relative a ce cas particulier.
30. {Fig. lo.) Construire le point d' intersection d'une droite ( AB, A'B') a^^c un plan donne PQR'.
Pour y parvenir, il faut mener par la droite donnee, et dans une direction quelconque» un plan secant; coTIstruire Tintersection de celui-ci avec le plan PQR'; et comme cette ligne passera necessairement par le point cherche, ce point sera determine par la rencontre de cette intersection avec la droite donnee.
Adoptons d'abord pour plan secant le plan vertical qui projettela droite donnee suivant AB : cette derniere ligne sera elle-meme la trace horizontale de ce plan, et sa trace vertical e sera la droite CC perpendiculaire sur la ligne de terre. Cela pose, le plan ACC coupe le plan donne PQR' suivant une droite qui est projetee (n°27) sur CD' et CD; et comme cette intersection rencontre la droite donnee (xVB',AB) au point M', c'est la la projection verticale du point demande. La seconde projection de ce point n'est pas fournie immediatement, parce qu'ici les deux droites que nous combinons sont projetees Tune et Tautre suivant ADBG; mais on la deduira de M' en abaissant {n? 10) la perpendiculaire M'M sur la ligne de terre. 'Ainsi le point (M, M') est celui oh la droite (AB, AB') perce le plan PQR'.
On pent aussi employer pour plan secant le plan projetant de la droite sur le plan
vertical, lequel aura pour traces A'B' et B'F perpendiculaire a XY. Ce plan auxi-
..Jiaire A'B'F coupera PQR' suivant la droite (FG, B'G'), qui, par sa rencontre avec
AB, devra donner le meme point M deja obtenu par la premiere construction;
ainsi les deux proc^des employes simultanement se serviront de verification.
Observons ici que le plan donne PQR' est une grandeur principale (n*' 15) qui existe reellement, et qui rend invisible la portion de la droite ( AB, A'B') situee aud'essous du point de section; c'est pourquqi la partie (MB, M'B') a ete ponctuee. Quant au prolongement BC, il n'est regarde que comme une ligne auooiliaire relative au plan secant qui sert de moyen de solution..
51. Quoique les deux procedes employes n^ 30 soient les plus commodes, il sera bon, pour nous exercer a la combinaison des plans avec les droites, de resoudre encore le meme probleme en nous servant d'un plkn secant quelconque : toutefois, comme ce plan devra renfermer la droite donnee (AB, A'B') dont les traces sont B et C {^g. ii), il faudra faire passer par ces points les traces du plan secant que nous adopterons. Menons done par le point B la droite arbitraire SBT, et par les points T et C la droite C'TV'; ce seront Ik les traces d'un plan auxiliaire qui contiendra la ligne (AB, A'B'). Cela pose, les plans STV' et PQR' se coupent (n° 27) suivant la ligne (SV, S' V'); et comme celle-ci rencontre (AB, A'B') en (M, M'), ce
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point est celui oil la droite donnee perce le plan PQR' : niais il faudra s'assurer, pour verifier tes constructions, que la droite MM' qui r6unit ces deux projections est exactement perpendiculaire (n° 10) sur la ligne de terre.
32. Parun point donne conduire une droite qui rencontre deux droites donndes de position.
Nous indiquerons seulement la solution de ce probl^me, que nous proposons ici au lecteur comme un exercice propre a le familiariser avec les methodes pr6c6dentes. Par le point donne a et la premiere droite d^ , on conduira un premier plan; puis un second par le meme point a et la seconde droite d^ ; alors, en cherchant Tintersection de ces deux plans, on obtiendra une droite qui satisfera evidemment aux conditions enonc^es.
On pent aussi n'employer que le premier des plans dont nous venons de parler, puis chercher ( n® 50) le point oil il coupe la seconde droite; alors, en joignant ce dernier point avec le point donne, on obtiendra une droite qui resoudra le probleme.
II n'y aura en g^n^ral qu'une solution, k moins que les deux droites proposees ne se trouvent dans un meme plan avec le point donne. Si ces deux droites se coupaient ou etaient paralleles, il seraitbien facile d'assigner d'avance le resultatdes operations.
53. TntoR^ME. Lorsquune droite (AB,A'B') {fig^ i^i) est perpendiculaire a un plan PQR', les projections de cette ligne sont respectivement perpendiculaires sur les traces du plan.
En effet, le plan qui projette la droite suivant AB est, par sa definition, perpendiculaire au plan horizontal : il Test aussi au plan donne PQR', puisqu'il passe par une droite qui est supposee perpendiculaire a ce dernier; done ce plan projetant est perpendiculaire k la fois sur les deux autres, et par suite k leur intersection qui est la trace horizontale PQ ; par consequent, cette trace sera elle-meme perpendiculaire sur la projection AB, qui se trouve dans le plan projetant. On demontrerait, d'une maniere toute semblable, que la trace verticale R'Q est perpendiculaire sur la projection A'B'.
Reciproquement, si les VEVX projections AB et A'B' d'une droite sont respectii^ement perpendiculaires aux traces QP et QK d'unplan, ceplan et la droite sont perpendicu-laires Vun sur t autre. En effet, le plan projetant qui a pour trace AB est evidemment perpendiculaire sur la droite PQ, et par suite au plan PQR' qui contient cette ligne : de meme, le plan projetant qui a pour trace A'B' est perpendiculaire a la droite QR', et par suite au plan PQR'. Done ce dernier se trouve perpendiculaire k la fois sur les deux plans projetants; et des lors il sera aussi perpendiculaire sur leur intersection qui n'est autre chose que la droite donnee dans Tespace.
54. Observons toutefois que ce theorfeme ne serait plus vrai, s'il s'agissait de projections obliques (n^8); et d'ailleurs il faut se garder de croire qu'une relation semblable existe entre deux droites qui sont perpendiculaires entre elles; car leurs projections orthogonales, sur un meme plan, ne formeront pas un angle droit, k
GHAPITBB U. — PROBd^MES SUR LES LI€NES PBOITBS, ETC. 1 5
inoiDs que Tune des lignes proposees ne se tvonye paraUHe au plan de projection.
55. {Fig. 1 2 .) Trouver la plus courte distance dun point [kfA!) aun plan donn4 PQR'.
On abaissera d'abord du point ( A> A') une perpendiculaire indefinie sur le plan, en menant (n° 33) les projections AB et A'B' respectivement perpendiculaires sur les traces PQ et QR'; puis on cherchera le point (M,M') oil cettedroite rencontre le plan, ce qui s'executera comme au n"^ 30, dont tous les raisonnements s'appliquent k la figure actuelle ou nous avons d'ailleurs conserve les m^mes notations. Alors AM et A'M' seront 6videmnient les projections de la plus courte distancie demandee; et la grandeur absolue de cette distance s'obtiendra (ri° 17) en nienant I'horizontale HM'M'' egale a AM, et tirant la droite A'M" qui sera la vraie distance du point au plan.
36. {Fig^ i3.) Trowerlaplus coune distance d'lm point (CfC) a une droite don-yiee(AB,A'B').
Menons d' dhovd par le point (G,G') un plan perpendiculaire a-la droite proposde; ses traces seront perpendiculaires (n^ 33) aux projections AB et A'B'; et, pour determiner un de leurs points, j'imaginerai dans ce plan une horizontcUe f^LTtsint de (G,G"). Gette droite, qui sera necessairement parallele a la trace horizontale cherchee, aura pour projections CD perpendiculaire a AB, et G'D' parallUe k XY; ainsi, bUb ira percer le plan vertical en (D , D') : si done je mene D'.Q perpendiculaire sur A'BS et QP perpendiculaire sUr AB, ce seront les traces du plan cherche PQD'. Gela pose, en construisant (n^ 30) le point (M,M') oil ce plan rencontre la droite (AB, A'B'), et en le joignant avec (G,G'), la ligne (GM,G'M') seraevidemment contenue dans le plan D'QP, et dfes lors elle se trouvera perpendiculaire sur (AB , A'B'); par consequent cette droite (GM, G'M') mesurera la plus courte distance demandee, dont la grandeur absolue CM" se deduira des projections GM et G'M' par la r^gle generale exposee n^ 17.
Dans cette epure, le plan D'QP n'est ni une donnee, ni un resultat du probl^me primitif ; c'est seulement un moyen de parvenir a la solution cherchee, et par consequent on devra marquer ses traces comme des lignes auxiJiaxres {n^ 15). La meme remarque s' applique a \^fig> i4» dont nous allonsdonner Texplication.
37. {Fig. t4-) Autre solution. Faisons passer un plan par le point (.G,G') et par la droite donnee ( AB , A'B') ; il suffira de joindre (C, G') avec (A , A'), et de chercher les traces verticales des deux droites ( AB , A'B') et (AG , A'C') : alors B'D'Q et QA seront les traces du plan auxiliaire dont nous venons de parlor. Gela pos^, rabattons ce plan B'QA autour de sa trace horizontale AQ, et supposons qu'il entraine avec lui la droite et le point donnes. Dans ce mouvement de revolution. le point (B ,B') ne sortira pas du plan vertical BF perpendiculaire a la charniere AQ; d'ailleurs la distance B'Q de ce point au point fixe Q restera invariable; par consequent, si Ton decrit avec le rayon QB' un arc de cercle qui coupe BF en B"^, ce point sera le rabattement de (B,B'), et la droite proposee ainsi que \i trace QB' se trouveront rabattues suivant AB'' etQB'\ De mSme, en tirant les perpendicu-
1 6 LIVRB I. — DES DROITES ET DBS PLANS.
laires DD" etCCsur lacharnifere AQ, on verra bien que la ligne (ACD,A'C'D') se rabat suivant AD'', et que le point C se transporte en C". Alors, dans le plan horizontal oil toutes les donnees sont maintenant rabattues, sans que leurs positions respectives aient change, nous pourrons abaisser sur AB" la perpendiculaire CW, et ce sera la plus courte distance cherchee dans sa veritable grandeur. Ce resultat est ordinairement le seul qui interesse; cependant, si Ton yeut aussi fixer la position de la plus courte distance, il n'y a qu'a relever tout le systfeme : le point M'' se ramenera en M par une perpendiculaire sur la charnifere AQ, et la projection verticale M' s'en deduira (n^ 10); de sorte qu'enfin la distance en question sera projetee sur CM et CM'.
58. Ce mode de solution serait indispensable, si Ton avait voulu trouper sur la droite (AB, A'B') unpoint quifitt distant de (C, C) d' une quantite donnee <>. Car, apr^s avoir rabattu comme ci-dessus la droite et le point donnes suivant AB'^ et C'^ on decrirait avec un rayon C'N" = eJ un arc de cercle qui couperait AB*' en N% et ce serait la le point demande en rabattement : puis, en relevant tout le syst^me autour de la charniere AQ, le point N" se ramenerait en N, et aurait pour ses deux projections N et N'. On sent bien qu'il y aura g^n^ralement une seconde solution, puisque Tare decrit avec le rayon & coupera ordinairement la droite AB'^ en deux points N'^etn".
. Par des moyens semblables, on pourrait trouver le centre et le rayon d^un cercle vassantpar trois points donnds dans Vespcu^e.'ll faudrait construire (n® 22) les traces du plan determine par ces trois points, et puis rabattre ce plan autour de sa trace horizontale, comme dans hfig. 14^ en cherchant d'aillours les positions que prennent, apres ce rabattement, les trois points primitifs, ainsi que nous Tavons fait dans cette figure pour le point (C, C).
59- {Fig. 1 8.) Trom^er V angle de deux droites donndes (AB, A'B') et (BC, Vcf)
On entend p^r Tangle de deux droites, qui souvent ne se rencontrent pas. Tangle que comprendraient entre elles deux droites respectivement parallbles aux premieres, et qui seraient menees par un meme point de Tespace. Commen^ons done par examiner si les lignes proposees se coupent reellement. Or, si elles ont un point commun, on voit bien qu'il devra etre projete horizontalement en B, et verticalement en V : mais, pour que ces points-la fussent les projections d'un meme point de Tespace, il faudrait (n^ ID) que la droite B6' se trouvat perpendiculaire a la ligne de terre, condition qui n'est pas remplie ici; par consequent, les droites proposees ne se coupent pas. Alors, nous aliens mener une parallele a la droite (BC, h'&) par un point quelconque de Tautre droite; et pour simplifier, nouschoisironsle point qui est projete en B et B'. Cette parallele aura ainsi pour projection horizontale la droite BC deja donnee, et pour projection verticale la droite B'C parallele k V&\ de sorte que le probleme sera reduit a trouver Tangle forme par les deux droites ( AB, A'B') et (BC, B'C) que nous regarderons comme les donnees immediates dela question.
En construisant les traces horizontales A et G de ces droites^ la ligne AC sera la
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base d*un triangle ayant pour sommet le point (B, B'), oil se coupent les droites proposees, et dont Tangle situe a ce sommet sera celui que Ton cherche. Dfes lors on pourrait construire ce triangle en cherchant les longueurs de ses trois cotes, qui sont connus par leurs projections; mais il vaut mieux employer la hauteur de ce triangle. Or cette hauteur est ^videmment I'hypotenuse d'un triangle rectangle qui aurait pour base la perpendiculaire BH abaissee sur AC, et pour hauteur la verticale qui projette le sommet en B, laquelle est egale k B'K; consequemment, si Ton prend KH'' = BH, et que Ton tire B'H", cette ligne sera la hauteur du triangle primitif. Maintenant, si Ton rabat ce dernier sur le plan horizontal, autour de sa base AG, le sommet ne sortira pas du plan vertical HB perpendiculaire k cette base ; done, en portant la hauteur B'H" de H en B", le triangle cherche se trouvera rabattu suivant AB"C, et Tangle de meme nom sera celui que formaient dans Tespace les deux droites ( AB, A'B') et (BC, B'C).
40. Lorsqu'une de ces droites, par exemple la seconde, sera parallele au plan horizontal, le triangle dont nous nous sommes servis n'existera plus; mais la trace horizontale du plan des deux droites proposees, qui 6tait AG dans le cas general, deviendra une parallele a BG menee par le point A; desorte qu'en rabattant, comme ci-dessus, ce plan autour de sa trace horizontale, on obtiendra encore Tangle demande.
Nous ne parlerons pas du cas oil les droites seraient toutes deux parallMes au plan horizontal, puisque alors Tangle qu'elles formeraient dans Tespace, serait egal a celui que comprendraient leurs projections.
41 . Si Ton proposait de diviser en deux parties Sgales I* angle de deux droites qui se coupent, on opererait cette division aprfes avoir rabattu cet angle sur le plan horizontal, comme ci-dessus; puis, on releverait Tangle AB"G et la droite bissectricc, en observant que le point oil cette derniere ligne va couper la trace horizontale AC du plan des droites donnees, demeure immobile pendant ce mouvement de rotation. De meme, etant donnee une droite siluee dans un plan connu, on pourra tracer dans ceplan une seconde droite qui fosse avec la premidre un angle donnd. Nous conseil- Ions au lecteur de s'exercer sur les operations indiqu^es aux n*^ 40 et 41 .
42. {Fig. 19. ) Trouver r angle form^ par une droite ( AB, A'B') a^ec unplan PQR'. L'angle d'une droite avec un plan serait une grandeur indeterminee, si Ton ne
convenait pas d'eiitendre par la r angle que forme la droite proposeeavec sa projection orthogonale sur leplan; et ce choix est fonde sur ce que ce dernier angle est ^videmment le plus petit de tons ceux que fait la droite avec les diverses lignes tracees par son pied dans le plan dont il s'agit. II suit de Ik que, si Ton abaisse d'un point de cette droite une perpendiculaire sur le plan propose, Tangle compris entre cette perpendiculaire et la droite primitive se trouvera le compliment de celui qu'on veut obtenir, et suffira pour en deduire ce dernier.
Menons done par le point (B, B'), choisi arbitrairement sur la droite donnee, une perpendiculaire BC, B'C) au plan PQR'; puis, construisons Tangle forme par les deux droites (AB, A'B') et (BG, B'C). En appliquant ici la methode du n^ 59, on
G^mStrie Lerojjr, 3
l8 UVBB I. — BBS BROrrSS BT BBS PLANS.
venra qu*il faut abaisser ia perpendiculaire BH sur AC, prendre KH" = BH, et porter rhypot^nuse B'H" de H en F'; alops AB^C sera Tangle des deux droites. Ensuite on ooQStruira son complement en tra^ant la droite B''D perpendiculaire sur CB"; et enfin AB'^D sera Tangle forme par la droite ( AB, A'B') avec le plan PQR'.
43. {Fig, 1 5 his.) Trower tes angles que forme une droite aureoles deux plans de projection.
Ge probl^me pourrait Stre traite eomme un cas particulier du precedent; maia il sera plus court de le r^soudre directement, en observant que, d'apr^s ce que nous avons dit au n*^ 42, Tangle de la droite (CD, C'ly) avec le plan horizontal n'est autre chose que Tangle eompris entre cette droite et sa projection CD. Or il est evident que ce dernier angle appartient au triangle rectangle qui aurait pour base CD, et pour hauteur CG' ; si done on rabat ce triangle sur le plan vertical, suivant CHiC, Tangle de nieme nom sera celui qu'on demandait.
Semblablement, Tangle de la droite (CD, C'ly) avec le plan vertical fait partie d'un triangle rectangle qui aurait pour cdt^s DD' et D'C ; si done on rabat ce triangle sur le plan horizontal, suivant D'ND, T&ngle de m^me nom sera Tangle de la droite avec le plan vertical de projection.
44. Par un point donnd p mener une droite qui fosse V angle a an^ec le plan horizontal, et r angle S wee leplan vertical.
{Pig. 1 5 bis.) Prenons d'abord un point arbitraire (C, G) dans le plan vertical, ettra(;ons-y la droite GW qui fasse avec la ligne de terre un angle ^gal a a; puis, faisons tourner cette droite autour de la verticale C'C, de sorte que son pied d^crive un cercle M'M du rayon CM. Dans toutes ces positions, la droite mobile formera toujours Tangle a avec le plan horizontal; mais il reste k choisir celle oii elle aura en m^me temps Tinclinaison S sur le plan vertical. Or, si, aprbs avoir construit Tangle M'C(^ 6gal k S, nous abaissons sur la droite indefmie CV la perpendiculaire M'<^, le triangle rectangle M'C'c^ repr6sentera 6videmment celui qui doit dtre forme par la droite inconnue avec sa projection verticale. Done, en d^crivant Tare de cercle <^D' avec le rayon C^, et en ^levant sur la ligne de terre la perpendiculaire D'D jusqu'k sa rencontre avec le cerole M'M, on d^terminera les projections CD' et CD d'une droite qui aura bien les indinaisons a et £ sur les deux plans de projection.
Ensuite, il n'y aura plus qu'k conduire, par le point/) donn^ primitivement dans Tespace, une droite qui soit parallMe k (CD, GJV).
45. {Fig. x5.) Trower les angles que forme un plan donnd VQK oi^ec les deua^ plans de projection.
On salt que, pour mesurer Tinclinaison de deux plans, il suffit de les couper par un troisifeme plan qui soit perpendiculaire k leur intersection, et que les deux droites tracees par ce plan secant ferment entre elles un angle qui exprime Tinclinaison cherch^e. D'apr^*cela, coupons le plan PQR' et le plan horizontal par un plan qui soit perpendiculaire a la trace PQ. Ce plan secant, qui sera vertical, aura pour traces une ligne AD perpendiculaire k PQ, et la Verticale DD' : par consequent
CHAPITRB II — VBOBL&MES WH Ll» LlGlTfiS DBOITBS) EM. 1 9
il coupera le plan donn^ suivant tine droite qui ^ dansl'espace, r^tinirait le point A avec D', et serait Thypotteuse d'un triangle rectangle ayant pour c6tes AD et DD'. Si done on fait tourner ee triangle autour de DD' pour le rabattre sur le plan vertical, il deviendra D'A''D; et Tangle de meme nom merarera i'inclinaison du plan PQR' sur le plan horizontal.
Pour obtenir Tangle du plan PQR' aveo le plan verticaU on les coupera par nh plan quelconque G)B' perpendiculaire k la trace verticale QR', et cela fournira un triangle rectangle ayant pour cotes CD et DB' ; par consequent ce triangle, apr)^s avoir ete rabattu autour de CD, deviendra DB^'C dans lequel Tangle B"^ exprimera Tinclinaison demandee (*).
46. Par un point donne^ menerunplan qui/asse un angle a as^c tephm horiaon*tal, et un angle § avec le plan verticai.
Observons d'abord que, dans le probleme pr6c6dent, les deux plans secants D'D A et B'DC {fig. 1 5) devaient se couper eux-^m^mes suivant Une droite perpendiculaire au plan PQRS et qui mesurait la plus courte distance de ce plan au point D de la ligne de terre. D'ailleurs, comme cette perpendiculaire, rabattue tour k tour avec les deux triangles, se trouve ^videmment representee par les droites DF et D/ nienees a angle droit sur les hypotenuses, il s'ensuit que, quel que soit le plan PQR', on doit avoir la relation DF ^ D/. Cela pose, si sans connaitre le plan PQR' que nous supposerons avoir sur les plans fixes les inclinaisons a et 6, on construit ii volonte sur la ligne de terre un triangle rectangle D'DA'' dans lequel Tangle A'" soit egal a a; puis, qu'avec la perpendiculaire DF on decrive un arc de cercle, et qu'on lui mene une tangente B'/C qui fasse Tangle B'' egal a S; cette tangente (*") diter*minora, par sa rencontre avec le prolongement de la verticale D'D, un point C de la trace du plan PQR'. Alors, en tirant la droite CQ tangente a Tare de cercle d^crit avec le rayon DA'^ puis joignant les points Q et D% on obtiendra les traces d'un plan CQD' qui aura sur les plans fixes les inclinaisons ocetS; enduite, pour r^soudre le probleme primitif, il restera k conduire par le point donnd un plan parallfele a CQD'.
On pourrait aussi resoudre ce probleme en menant d'abord, comme au n^ 44, une droite qui fit avec les plans de projection des angles
(*) Dans certains arts, on d^finit souvent un plan par sa trace horizontale PQ et par son inclinaison ot sur le plan horizontal. Avec ces denudes, il est toujours facile de trouver sa trace vei'ticale au moyen dtt plan (le profit AD perpendiculaire 4 PQ, et qui conlient Tangle a; car, en rabattant DA suivant DA' et formant Tangle DA'D'^ a, le c6te A'^D' prolonge ira couper la verticale DD' au point .D' par lequel on doit mener la trace QD'R'. Quelquefois m^me on 6vite d*employer le plan vertical de projection, et Ton rabat le profil autour de AD en formant Tangle DA^ == «, oe qui repr^sente d'une itiani^re sufiSsamment claire la position du plan propose, et permet d'en dMuire les cons^uences dont on A besoin* Au fond, In plaa du pro61 DA(^ tient lieu du plan vertical de projection.
(**) Comme il est Evident que Tangle CD/=B'=6, on pourra, au lieu de mener cette tangente, construire le triangle rectangle CD/snr la base DP ; puis, rapporter son hypotdnuse de D en C sur le prolongement de la verticale D'D,
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et ensuitCt on conduirait par le point donne un plan perpendiculaire a cette droite.
47. (Fig. i6.) Construire Vajigle compris entre deux plans donnds PQR' et PSR'. II fauty comme nous I'avons dit pr^cedemment, couper ces deux plans par un
troisieme qui soit perpendiculaire k leur intersection. Or cette droite, projetee (n° 27) suivant PR et FR', est I'hypotenuse d'un triangle rectangle ayant pour cotes PR et RR', et qui, rabattu sur le plan horizontal, deviendra PRR". Si done, f par un point arbitraire A'' de cette hypotenuse, je lui mene une perpendiculaire ; A^'B, et qu'ensuite je releve le triangle R''RP dans la situation verticale PR, il est Evident qu'alors la ligne A^'B se trouvera dans le plan secant que je dois mener perpendicnlairenxent a Tintersection par ce point A"'; puis, comme A''B ira percer le plan horizontal enB, la droite CBD, perpendiculaire a la projection PR, sera (n^33) la trace horizontale de ce plan secant. Maintenant, on doit voir que ce dernier plan coupera les plans proposes suivant deux droites partant du point A'' releve, et qui, aboutissant en G et D, formeront un triangle dont la base sera CD, et dont Tangle au sommet A'" sera celui que Ton cherche; ainsi il ne s'agit plus que de construire ce triangle. Or sa hauteur est precis^ment A^'B, puisque cette droite relev6e se trouve dans le plan vertical PR qui est perpendiculaire sur h base CD ; d'ailleurs, si Ton rabat ce triangle autour de CD comme charnifere, le sommet A'' ne sortira pas du plan vertical PR perpendiculaire k cette charniere : done, en portant sur PR la distance BA =1 BA"", on obtiendra CAD pour le triangle demande, et Tangle de meme nom mesurera Tinclinaison des plans PQR' et PSR'.
Onauraitpu rabattre sur le plan vertical Tintcrsection des plans proposes; cette droite eut ete representee par RT"", eten lui menant une perpendiculaire A'B', dont le pied B' devrait 6tre rapport^ en B, on en aurait fait le meme usage que ci-dessus.
48. Lorsque les plans proposes ont leurs traces parall^Ies sur un seul des deux plans de projection, comme R'QP et R'ST [fig. 17), la construction precedente exige une legere modification qui rend meme la solution plus simple; car on sait (n® 28) qu'alors Tintcrsection est la droite horizontale (R'V, RV) parallele aux traces horizontales. Par consequent, si Ton mene un plan vertical R'RC perpendiculaire a cette intersection, il coupera les plans proposes suivant deux droites qui formeront avec CD un triangle ayant pour sommet le point R', et pour hauteur la verticale R'R : de sorte qu'en rabattant ce triangle sur le plan horizontal autour de sa base CD, le sommet R' viendra en R'', et Tangle CR"D sera la mesure de Tinclinaison des plans proposes.
Enfin, si les traces etaient toutes paralleles a la ligne de terre, comme dans la fig. 9, on couperait les plans donnes par le plan de profil ZXV deja employe au n*" 29) ; et par le rabattement dont nous nous sommes servis dans ce numero, on obtiendrait Tangle PA"T pour Tinclinaison des plans en question.
En renversant les operations du n" 47, il sera facile de resoudre le probleme suivant : Par une droite donnde dans un plan connu par ses traces, conduire un autre plan qui fosse ai^ec le premier un angle determind oi ^
CHAPITRB U. *- PROBliaiBS WR LBS LIONBS DROITES, KVC. a I
49. Construire la position et la grandeur de la ligne qui mesure la plus courte distance erUre deux droites nan situies dans le mime plan.
On salt que^ dans Tespace, deux droites peuvent ne pas se rencontrer, sans etre paralleles; alors il y a lieu de chercher, parmi toutes les lignes qui reunissent deux quelconques de leurs points, quelle est la plus courte; mais, afin de faire mieux saisir la serie d'operations k effectuer pour resoudre ce problbme, nous aliens d'abord les indiquer sur une figure en perspective, oil AB et CD [fig. ao) representeront les deux droites propos^es. Si, par un point quelconque B de la premiere, nous menons une droite BE parallele a CD, et que nous imaginions le plan ABE, ce plan se trouvera lui-m^me parallMe a la ligne CD; ainsi, en abaissant d'un point de cette derni^re une perpendiculaire DE sur le plan ABE, la distance cher-^ chee ne saurait 6tre moindre que DF. Mais pour faire voir qu'une droite egale k DF peut effectivement reunir deux points des lignes proposees, menons par le pied F de cette perpendiculaire une parallele FG k CD ; cette ligne FG rencontrera necessairement AB en un certain point G, sans quoi AB serait parallele k CD, ce qui est contraire a Thypothese admise. Or, si du point G nous elevens la perpendiculaire GH sur le plan ABE, elle se trouvera evidemment contenue dans le plan CDFG deja perpendiculaire sur ABE, et par consequent GH rencotitrera CD- Cette ligne GH, egale et parallele k DF, mesurera done la phis courte distance des droites AB et CD ; et Ton voit qu'elle se trouvera perpendiculaire a toutes deux en meme temps, puis- 4u'elle Test sur le plan ABE parallele a ces droites.
Pour conGirmeT a posteriori la premiere de ces deux consequences, il suffit d'observer qu'en joignant deux points quelconques m et n des lignes proposees, la droite mn sortira du plan CDFG, toutes les fois que le point n sera different de G ; des lors mn sera une oblique par rapport au plan ABE, et cons^quemment elle sera plus longue que la perpendiculaire mp qui egale GH. Quant au cas oil le point n coinciderait avec G, la droite mG serait oblique par rapport k CD, et par consequent plus longue que la perpendiculaire GH, qui demeure ainsi la plus courte de toutes les lignes qui peuvent reunir deux points quelconques des droites proposees.
50. Realisons maintenant les constructions que nous n'avons fait qu'indiquer ci-dessus, et Ton reconnaitra (comme nous Tavons annonce n^ 3) la difPerence essentielle qui existe entre les precedes vagues de la Geometric ordinaire et les methodes precipes par lesquelles la Geometric descriptive obtient les resultats com-^ plStement ddterminis^ pour la solution des probl^mes relatifs aux trois dimensions de I'espace.
Soient done (AB, A'B') et (CD, CD') [fig. 21) les deux droites donnees : en s'assure qu'elles ne se trouvent pas dans un meme plan, en remarquant d'abord qu'elles ne sent point paralleles, et qu'ensuite les points oil leurs projections verticales et horizontales se coupent, ne sent pas situes ( n^ 39 ) sur la meme perpendiculaire k la ligne de terre. Cela pose, choisissons le point (B, B') de la premiere droite pour mener une parallele (BE, B'E') k la seconde, et construisons les traces AEQ etQB' du plan qui contiendrait les lignes (AB, A'B') et (BE, B'E'); puis.
aa UVRE 1. — DBS DBOITBS 1ST DBS PLAHS.
ababsoos d*un point (D, D') de la deuxieme droite, une perpendiculaire (DF, DT') sur le plan AQB', et cherchons (n° 50), au moyen du plan projetant DRR', le point (F, F') oil cette perpendiculaire rencontre le plan AQB', Maintenant il faudra mener par le pied (F, F'), et parallelement a (CD, CD'), une droite (FGr, F'G') qui devra necessairement {n**49) couper (AB, A'B'); par consequent les deux points Get 6' devront etre sur une m^me perpendiculaire a la ligne de terre. Ensuite, du point (G, G'), nous menerons parallelement a (DF, D'F') la ligne (GH, G'H'); et commeelle doit aussi rencontrer la droite (CD, CD'), il faudra encore que H et H' se correspondent sur une meme perpendiculaire a la ligne de terre. Alors GH et GH' seront les projections de la plus courte distance demandee; puis, pour en obtenir la grandeur absolue, on prendra (n^ 17) sur Thorizontale menee par le point G', une partie KG"" = GH, et Ton tirera la droite G"H' qui sera enfin la vraie longueur de la distance en question.
On pourrait encore resoudre le meme probleme, en cherchant Tintersection de deux plans perpendiculaires a AQB', et passant Tun par la droite (AB, A'B'), Tautre par la droite (CD, CD'). D^'Oilleurs ces plans se determineraient en abaissant une perpendiculaire sur AQB' par un point de chacune des droites propos^es; mais nous laisserons au lecteur 1% soin d'executer ces constructions.
51 . Si les deux droites proposees etaient paralleles entre elles, leur distance serait partout la meme, et pour Tobtenir, il suffirait de chercher la plus courte dis^tance de la premiere droite a un point de la deuxiime, par exemple, a la trace hori«-* zontale de celle-ci; or c'est la un probleme dont nous avons donn^ la solution dans lesn*^'36et37.
Les diverses questions que nous venons de parcourir renferment tons les k\^ ments necessaires pour resoudre les problfemes oil il n'y aura a combiner que de^ droites avec des plans, et Ton en trouvera des applications utiles dans le chapitre suivant. Ici, nous ferons seulement observer qu'etant donnees les projections de tous les sommets d'un polyfedre, on saura determiner la position et la longueur de chacune de ses aretes, rinelinaison de chaque face sur le plan horizontal ou Tangle de deux faces entre elles; on pourra aussi construire en rabattement, et dans ses vraies dimensions, le polygene qui forme une quelconque de ces faces, puis trouver la section que produirait dans le polyedre un plan dont la position serait assignee. Reciproquement, si la situation du polyfedre est definie par d*autres conditions en nombre suffisant, on pourra en conclure ses deux projections : mais, comme les precedes varieront necessairement avec le choix des donnees, nous ne citerona qu'un exemple qui sufiira pour indiquer la marche a suivre dans d'autres cas.
' 52. Un parallelipipede rectangle repose, par sa base^ sur un plan qui e^t incline a f horizon dune quantiU ca, et qui a pour trace horizontale PQ (y?^. 22) ; une des ar£tes de cette base estprojetee horizontalement suii^ant AB^ tandis que les deux autres aretes contigues avec celles'-ld, ont des longueurs donnees V et 1" : on demande de construire les projections horizontale et verticale de ce corps.
Par le sommet B, imaginons un plan de profil PRR' perpendiculaire a la trace
GHAPITRE II. — PROBL&MES SCR LES LMSfES DROITES, ETC. !23
PQ : il coupera le plan donne suivant une droite qui formera avec PR Tangle «; par consequent, si Ton rabat ee profil autour de PR, et que Ton construise Tangle RPR'' = 0), puis que Ton ramene le point R" sur la verticale RR', la droite R'Q sera (n^ 45) la trace verticale du plan donne ou repose la base du parallelipipede. D'ailleurs, si nous rabattons ce dernier plan autour de PQ, le point projete en B, et qui est situe en B" sur le profil, se transportera 6videmment en b; de sorte que Ab sera le rabattement et la vraie longueur de Tar6te projet^e en AB sur le plan horizontal. Alors, en tirant la droite Ad egale a /' et perpendiculaire sur A6, on obtiendra deux des cotes de la base rabattue; puis, en relevant cette face, on ve?ra aisement que ces deux cotes sont projet^s suivant AB et AD, et le parallelogramme ABCD sera la projection horizonlalede la base du parallelipipede. Cela pose, Tarete perpendiculaire k cette base et qui part de Tangle B, est projetee horizontalement (n** 53) sur la droite indefinie BP perpendiculaire h PQ, tandis que sur le profil, cette arfite est representee dans sa veritable grandeur par la ligne B"F", egale a l" et menee k angle droit sur PR"; par consequent, si Ton projette Textremite F" en F, BF sera la projection horizontale de Tarete en question : puis, en formant le parallelogramme ABFE, et achevant les autres faces par le moyen de diverses paralleles, on obtiendra aisiment la projection complete ABCDHEF6 de tout le corps sur le plan horizontal.
Quant k Tautre projection, on observera que les c6tes AD et CD se trouvent dans leplanPQR', etqu'ainsi (n**25) leurs projections verticales sont A'K' et M'N' qui, par leur rencontre, determinent le point D', projection verticale de Tangle D (*). Si, de plus, on projette le sommet C en C sur M'N', on pourra achever le parallelogramme A'D'C'B'; et apres avoir mene par les quatre angles de cette base, des perpendiculaires a la trace QR', il suffira de projeter sur ces droites indefinies les points E, F, G, H, en E', F', G', H', ce qui d'ailleurs devra fournir des droites respectivement parallMes aux c6tes de la base inferieure A'B'C'D'.
II restera enfin k discerner quelles sont les aretes visibles sur chacun des plans de projection, en observant les regies etablies n°* 13 et 16; et Ton devra se rappeler que le point de vue 6tant different pour le plan vertical et pour le plan horizontal (n**16), une meme arfite, telle qu'ici (AD, A'D'), pent etre visible sur un des plans et invisible sur Tautre.
ThAme du changement de plans de projection.
52 {bis). II arrive quelquefois, dans une epure de coupe de pierre ou de charpente, que pour trouvcr certaines parties du probleme, on a recours a des plans de projection auxiliaires, differents de ceux qui ont servi a exprimer les donnees de la question. Ce passage d'un systeme de plans a un autre systeme s'explique et se
(*) Onpourrait aussi Irouverles points D', C, B', d'apr^s leurs projections horizontales et leurs hauteurs au-dessus de la ligne de terre ; car ces hauteurs seraient fournies par le profil oil les points en question sont projette tous sur ia droite PR".
a4 UVRE I. — DBS DROITEff ET DBS PLANS.
justifie dans chaque exemple par des considerations fort simples, qui ne m^ritent pas qu'on les regarde comme formant une theorie nouvelle. Toutefois, pour satisfaire aux programmes des services publics, nous allons donner ici quelques regies
generales.
I. Si les plans primitifs, que je designerai, pour abreger, par P et F, ont pour ligne de terre ay, et qu'on veuille substituer au plan P un autre plan horizontal P* qui ait pour ligne de terre x^y^f autour de laquelle le plan P* sera rabattu sur le plan F, suivant I'usage ordinaire, il est evident qu'un point de Tespace qui avail pour projection horizontale A et pour projection verticale A', devra conserver cette
dernifere projection A', et quant a sa nouvelle projection A^ sur le plan horizontal P*, on Tobtiendra manifestement en prenant sur la droite AA' une distance/A* egale ^ eA. De meme, le point de Tespace (B, B') aura pour nouvelles projections B' et B'; et enfin la droite ( AB, A'B') aura pour projection verticale A'B', et pour nouvelle projection horizontale la droite A'B' parallfele k AB.
Pour un plan quelconque n qui aurait ete d^fini sur les plans primitifs par ses traces ajS et ]3/, la trace verticale restera 6videmment la meme ^/;
et quant k sa nouvelle trace horizontale sur le plan P', elle partira necessairement
du point & sur a?'j^, et sera la droite &e parallele a a]3. On agirait semblablement si Ton voulait deplacer le plan vertical P', en le laissant
parallele ksa premiere direction.
II. Supposons maintenant que des deux plans primitifs P et F qui ont pour ligne de terre ar/f on veuille garder le plan horizontal P, et remplacer P' par un plan P' aussi vertical, mais ayant pour ligne de terre sur le plan P, la droite quelconque xy , autour de laquelle il faudra concevoir que le plan P' a tourne pour se rabattre
sur P. Alors, une droite qui avail pour projections primitives AB et A'B', conservera necessairement la meme projection horizontale AB. Quant k sa nouvelle projection verticale surP', il suffira evidemment d'abaisser des points A et B des per* pendiculaires sur la nouvelle ligne de terre a?y ; puis, en prenant les hauteurs
on obtiendra la nouvelle projection A'B*
sur le plan rabattu P'.
Pour un plan quelconque n dont les traces primitives etaient aj3 el jS/, la trace
horizontale a]3 restera necessairement la lueme, et en la prolongeant jusqu'a ce
qu'elle coupe la nouvelle ligne de terre x^y^ en un point ^', ce dernier point appar-
CHAI^ITftS II. — . PROBLltMES DIVERS StR LES U6NBS DROITES, ETC. a5
tiendra k la trace verticale du plan n sur le plan P^ D'ailleurs ce plan P*, relev6 dans sa position verticale, coupe le plan vertical primitif P' suivant la verticale zz qui allait rencontrer le plan n au point z' ; done, quand on rabattra le plan P' autour de x^y*, cette verticale zz' deviendra la droite zz* perpendiculaire k la charniere a?y , et le point z* appartiendra a Tintersection des plans tt et P* ; c'est-a-dire que z* sera un point de la trace de n sur le plan P*, et consequemment cette trace chercheesera (J*js*6*.
III. Le cas qui precfede est le seul vraiment utile; mais, pour montrer que la
question est susceptible d'une solution tout k fait generale, nous aliens resoudre encore le probleme suivant.
Les plans primitifs etant le plan horizontal P et le plan vertical P', rabattus autour de leur ligne de terre XY, et sur lesquels on donne les projections M et M' d'un certain point de Tespace : on veut trouver les projections de ce memo point sur deux nouveaux plans P' et P*, perpendiculaires aussi entre eux, et dont le premier P^ a pour traces primitives a]3 et ]3/, tandis que leur ligne de terre ou leur intersection mutuelle est une droite projetee horizontalement sur ary. Nous n'avons pas besoin d'assigner sa projection verticale que Ton trouverait aisement, puisque cette ligne de terre est dans le plan connu a^y.
Par le point (M, M') menons un plan de profil perpendiculaire k aj3, et conseqmemment vertical; il aura pour traces horizontale et verticale MC^ etdd\ et couperale plan a]3y suivant une droite qui, rabattue avec le profil autour de Cd, deviendra ^videmment Cd\ Quant au point (M, M') entraine avec ce profil, il prendra une position M'" qui s'obtient en ^levant sur la charniere Cd une perpendiculaire MM* = HM'. Alors, en abaissant la perpendiculaire M'Y' sur Crf", et en relevant le profil, on doit bien voir que le point q'' serait la projection du point (M, M') sur le plan a/3/ ou P*.Mais, comme, pour faire usage du plan de projection P*, il fautnecessairement le rabattre sur notre feuille de dessin, faison&-le tourner autour de aj3, et le point 9'^ viendra se placer en m*. II reste a trouver ce que deviendra la ligne de terre projetee sur a?y, et situee dans le plan aj3y'. Or, en tirantdu point j^ une perpendiculaire ind efinie sur la charniere aj3, et en decrivant un arc de cercle avec le rayon /3y, on voit bien que y* sera le rabattement du point (y,y); ainsi la nouveile ligne de terre sera rabattue suivant ocy^. Enfin, si Ton con^oit le planP* rabattu aussi autour de xy*, il suffira de mener par m* une perpendiculaire indefinie sur ay^t et de prendre la distance Km* egale k M"q'% pour obtenir les deux projections
«|6 LIVAE I. — BfiS DROITES ET IVES PLANS.
m* et Tpf du point (M> M') sur les plans P* et P* rabettus autour dc leu* ligne de terreajy^.
IV. On voit assez, par ces details, qu'il n'y a pas la de theorie nouvellc ; d'ailleurs nousavions dejk maintes fois employ^ des precedes analogues dans le& epures qui precedent. Ainsi, dans \^fig* 9, le p!an de profil qui nous a serri est vraiinent un nouveau plan vertical ayant pour ligne de terre la droite VX. 11 en est de meme dans \^fig^ 16, oil le plan vertical PRR' rabatlu suivant PRR" peut etre appele un nouveau plan vertical sur lequel la trace du plan secant est A''B. Encore, dans \^fig^ i4f 1^ plan A9B' men^ par la droite et le point donne, et que nous avons rabattu suivant AiJ;B", peut^lre considere comme uu nouveau plan de projection, ayant pour ligne de terre A(p, et sur lequel la solution C'M"du probleme se trouve immediatement, puis se ramene ensuite sur les deux plans primitifs. Yoyez aussi \^fig* 60, oil la seconde solution ^quitatit \ projeter les aretes du cylindre sur un plan vertical auxiliaire BB" parallels a ces ardtes.
Ajoutons enfin que, danfe la^^. 13, la distance cherchee peut s'obtenir plus vite en regardant le plian vertical ACC mene par le point (A, A') perpendiculairement a PQ, comme un nouveau plan vertical que Ton rabattra autour de sa ligne de terre AC; alors, en cherchant la position A* que prendra le point (A, A') sur ce plan rabattu, et la nouvelle position DC^ que prendra la droite d'intersection qui reunit les points de Tespace D et C, il suftira d*abaisser du point A^ une perpendiculaire sur DC . Nous engageons le lecteur a executor cette construction, qui est fort simple.
