CHAPITRE III
RESOLUTION DE l' ANGLE TRiilDRE.
55. Dans un angle solide a trois faces SABC {jig. a3), le sommet offire trois angles plans et trois angles diedres : les premiers sont les angles recttlignes formes par les aretes entre elles, les autres sont les inclinaisons mutuelles des faces. De ces six angles, trois quelconques etant donnes, il s'agit de trouver les autres, ce qui offre six problfemes distincts; car, en designant par A, B, C les angles difedres qui ont respectivement pour aretes SA, SB, SC, et par a, §, 7 les angles plans oh faces qui sont opposes a ces angles diedres, on peut donner :
I® Les trois faces ou angles plans «, €, 7
2^ Deux faces et Tangle diedre compris tt, 6, C
3** Deux faces et Tangle difedre oppose a Tune d'elles. ... «, €, B
4® Deux angles diedres et une des faces opposees A, B, €
5* Deux angles diedres et la face comprise A, B, 7
6* Les trois angles diedres A, B, G
Ce sont Ik evidemment les seules combinaisons vraiment distinetes; et tnSme 4es trois derniers cas peuvent se ramener aux trois autres par le secotirs d'un angle triedre supplimentaire.
$4* D*uii point quelcoaqua S' pris dans Vintirieur de Tangle solide S« akaissoas une perpendiculaire sur chacune de ses faces; et pour fixer les idees» regardons la plan BSC cpmine horizontal et Tarete SA comme situee au-dessus de ce plan. Nous formerons ainsi un second angle triedre S' ayant pour aretes la verticale S' A^ avec les deux droites 6' B\ S' C, respectivenient perpendiculaires sur les faces ASC, ASB; et ce nouvel angle solide est dit supplementaire du premier, parce que les £ices ei les angles diedres de I'unsont les supplements des angles diedres et des faces de Tautre. Mais, avant de deryiontrer ees relations reciproques, observo^s qu'il n'e«t pas indifferent, pour former le nouvel angle solide, d'abaisser les perpendiculaires de tel ou tel point de Tespace; car trois droites ou trois plans qui se coupent en un meme point S', et qui sont prolong^s de part et d'autre de ce point, determinent toujours huit angles triedres differents, parmi lesquels il n'y en a que deux (symetriques Tun de Tautra et opposes par le sommet) qui soient vraimeqt supplementaires de Tangle donpe SABC» Aussi, pour ne pas commettre d'erreur dans la maniere de proloQgar les perpendiculaires, nous avons reoommande de les abaisser sur les faces, k partir d'un point pris dans Tinterieur de Tangle solida propose; epsuite on pourra transporter oil Ton youdra dans Taspace Tangle S' ainsi forme,
55. Cela pos6, fm designant par A', B', C les angles diedres compris entre les face3 qui se coupent suivant S' A', S' B', S' G, et par a\ 6', y les faces opposees a ces aretes, on voit que le plan A'S'B', perpendiculaire aux deux faces BSC, ASC, les coupera suivant deux droites A'E, B'E, qui seront elles-memes^^ii^erpendiculalres sur SC; et par consequent Tangle A'EB' sera la mesure de Tangle diedre G. Or le quadrilatere plan S' A' EB' a deux de ses angles qui sont evidemment droits, savoir : A'et B'; done las deux autres sont supplementaires, et Ton a
A'S'B'-f- A'EB'=i8o% oubien y'-hC = i8o«;
on prouvera de meme que . S'4-B = i8o*',
en considerant les quadrilatferes 6' A' DC et S' C FB' formes par les sections que produisent les faces A' 8' C et B' S' C dans Tangle solide S. Done Us faces de V angle solide S' sont bien les supplements des angles diedres de S.
56. Maintenant, considerons les angles diedres de S'; les deux faces B'S' A' et CS' A' coupent le plan BSC auquel chacune est perpendiculaire, suivant les droites A'E et A'D; done Tangle rectiligne DA'E est la mesure de Tangle diedre A'. Mais dans le quadrilatere SDA^ E, les angles D et E sont evidemment droits, puisque la face A'S'B' est perpendiculaire sur SC, et A'S'C sur SB; par consequent, les deux autres angles de ce quadrilatere sont supplementaires, et Ton a
DA'E-hDSE = i8o«, ou bien A'H-a=i8o«;
on prouvera de meme que. , B'-f-S = i8o°,
au moyen des quadrilateres SEB' F et SDC F. Done les angles diedres de &' sont les
a8 LIYRB I. — DES DROITES VT DES PLANS.
suppliments des faces de^\ et Ton peut dire que ce dernier angle solide est ^ son tour supplimentaire de V angle S'.
57. Remarquons ici qu'en decrivant, du point S comme centre, une sphbre d'un rayon quelconque SA, elle serait coupee par les faces de Tangle solide S, suivant trois arcs de grands cercles AB, BC» CA, lesquels formeraient un triangle sphirique^ dont les cotes mesureraient les angles plans a, §» 7, et dont les angles ne seraient autre chose que les inclinaisons A» B, G des faces de Tangle solide. Par consequent, la construction de ce dernier, d'apres la connaissance de trois de ses elements^ revient k la solution graphique des problemes que traite par le calcul la trigonometric sph^rique. D*ailleurs, si Ton transportait au centre S Tangle solide S', ses faces couperaient la meme sphere suivant un autre triangle qui serait le triangle supplementaire ou polaire de ABC, et dont on fait usage aussi dans la trigonometric sph^rique (*).
58. Revenons maintenant aux six problemes que nous avons ^nonces n® 53, et observons que, quand on donne les trois angles diedres A, B, G, on peut trouver tout de suite leurs supplements, qui seront ( n° 55 ) les faces a', 6', 7' d'un autre angle solide S'; or si, par le premier cas du n^ 55, on sait deduire de ces nouvelles donnees les angles diedres A', BS G' de cet angle S', il n'y aura plus qu'k prendre les supplements de ceux-ci pour obtenir (n^ 56) les faces a, §, 7 de Tangle solide primitif S. On voit par Ik que le sixieme cas se ramene au premier; et de meme on reduira le cinquieme au deuxieme, et le quatri^me au troisi^me. Nous aliens done nous occuper seulement de la resolution des trois premiers problemes.
59. Premier cas. itant donnees les trois faces a, §, 7 {^g. 24) d'un angle solide, trouver les trois angles diedres A, B, G.
Soient A''SB, BSG, CSA'les trois angles donnas, supposes rabattus sur le plan de la face BSC, que nous regarderons comme le plan horizontal de Tepure ; il est clair que, pour recomposer Tangle solide, il suffirait de faire tourner les deux faces laterales A" SB, A'SC autour des droites SB et SC, comme charnieres, jusqu*k ce que les deux lignes SA"et SA' vinssent coincider Tune avec Tautre; et leur position commune dans Tespace serait celle de la troisieme arete, dont nous designerons la projection inconnue par SA. Pour la determiner, prenons sur les droites rabattues SA' et SA'^ deux distances quelconques, mais egales, SD' = SD''; alors les points jy etW devront evidemment se reunir dans la formation de Tangle solide; puis, comme en tournant autour des droites SG, SB, ils ne sortiront pas des plans verticaux DTD,
(*) A la rigueur, pour avoir le triangle polaire de ABC dans la situation oCi on Temploie ordinairement dans la lrigonom6trie, il faudrait adopter Tangle solide sym^trique de S'A'B'C, lequel s'obtiendrait enprobngeant les trois arStes au deli du point S'; c'est-&-dire qu'il edi fallu, d^ le commencement, Clever par le somniet S trois perpendiculaires aux faces de cet angle solide, Tune sur BSC et situ4e du mdme c6t6 de celle face que Tar^te SA; I'aulre sur CSA et du ro6me c6t^ que Far^te SB; enfin, la troisieme sur ASB et du m^me cdt^ que SC. L'angle solide ainsi construit aurait coup^ la sphere pr^istoent suivant le triangle polaire de ABC; mais la figure edi 6v6 peu intelligible sans le secours des triangles sph^riques: c'est pourquoi nous avons pr^f^^re la conslruction du n"* 54 ; d'autant plus qu'ici, oii il ne s'agit que d'angles solides, ceux qui sent sym^triques I'vi de Tautre se trouvent compost avec les mdmes 61^ments dispoete aeulo* ment dans un autre ox^Te, et que les relations suppUmentaires sent 6galement vraies«
GHAPITRE 111. — R^OLimOM DB l' ANGLE TRliiDRE. 39
ITED, perpendiculaires a ces derniferes, il s'ensuit que les points rabattus en D' et D" iront coincider avec le point de Tespace qui est projete horizontalement en D, et, par consequent, la troisifeme arete de Tangle solide aura pour projection SDA.
D'aiUeurs le plan vertical FD, perpendiculaire a SC, devra couper les deux faces qui passent par cette arete, suivant les droites FD et FD' qui, etant relevees, comprendront entre elles un angle egal a I'inclinaison de ces faces, et qui formeront un triangle rectangle avec la verticale D ; par consequent, si Ton rabat ce triangle autour de FD, en elevant sur cette base une perpendiculaire indefinie DG' que Ton terminera par un rayon FG' = FD', on obtiendra ainsi Tangle rectiligne G'FD pour la mesure de Tangle difedre C qu*il s'agissait de trouver.
De m6me le plan vertical ED coupera les deux ^ces passant par SB, suivant des droites ED et ED" qui, 6tant relevees, comprendront entre elles la mesure de Tangle dibdre B ; et comme ces droites forment aussi avec la verticale D un triangle rectangle dont elles sont la base et Thypotenuse, on pourra ais^ment construire le rabattement G''ED de ce triangle, et Tangle B sera mesure par DEG". On observera d'ailleurs que les deux verticales DG' et DG'' devront se trouver egales, puisque Tune et Tautre expriment la hauteur du point unique de Tarete SA, qui est projete en D.
Pour obtenir le troisieme angle difedre A, on menera un plan secant perpendiculaire a SA par le point de cette ar^te qui est projete en D, et rabattu en D' d'une part, et en D'' de Tautre. Ce plan coupera les faces lat^rales suivant des droites D'N et D"M , respectivement perpendiculaires a SA' et SA"; et consequemment son intersection avec la face BSCf sera la droite MN qui devra evidemment se trouver (n^33) perpendiculaire sur la projection horizon tale SA de la troisieme arete. Si done avec les trois lignes D"M, MN, ND', on construit le triangle PMN, Tangle au sommetPsera precisement la mesure de Tangle difedre qui a pour arete SA.
Remarquons en outre que ce triangle, avant d'etre rabattu autour d6 MN, avait son sommet P situ^ au point de Tarete SA qui est projete en D. Mais puisque cette charni^re MN est perpendiculaire, comme nous venons de le dire, au plan vertical SA, le point P n'aura pas du sortir de ce plan ; et, par consequent, il faudra qu'il se trouve rabattu sur le prolongement de la droite SDA, ce qui est une verification -essentielle k observer.
60. Les constructions pr^c^dentes sont pareillement applicables au cas ou les trois angles a, S, y, ou bien quelques*uns d' entre eux, se trouvent obtus : seulement, pour que le problj^me soit possible, il fauttoujours, i^ que les trois angles a, S, 7, fassent une somme moindre que quatre droits; 2^ qu'en outre le plus grand de ces angles soit moindre que la somme des deux autres. En effet, si ces conditions n'etaient pas remplies par les donnees de la question, il est facile de voir que les operations grapbiques fourniraient pour la construction des triangles FDG' et EDG", des hypotenuses plus courtes que les bases : tandis que ces triangles seront possibles, si les deux conditions ci-dessus enoncees sont satisfaites, et, par suite, Tangle solide pourra etre compose avec les donnees du problems.
61. Riduire un angle a F horizon. Ceproblfeme^ qui est utile dans la levee des
3o LIVRE U -^ DBS DE0ITBS BT DES PLANS.
plans, a pour objet da trouver la projection horizontale d'un angle a qai est connE de grandeur, et dent les cotes font, avec la verticale abaissee du somniet, des angles donnes € et 7. Or, si Ton imagine un angle solide ayant pour ses trois aretes cette verticale et les deux cotes de Tangle propose a, on connaitra les faces a, S, 7 de cet angle solide, et la projection demandee sera evidemment Tangle rectiligne qui mesure Tangle difedre A compris entre les deux faces verticales; par consequent, ce probleme rentre dans celui du n^ 59, et pourrait etre resolu de la meme maniere, si la supposition qu'une des aretes est ici verticale, ne permettait de don«ner k la figure une disposition plus commode.
(Fig- 25.) Dans un plan quelconque, formons, avec la verticale SA, les angles ASB = 7, ASC = 6; puis, en laissant invariable la grandeur de ce dernier, faisons-Ie tourner autour de SA jusqu'a ce que le cote mobile 6G forme, dans Tespace, un angle a aveq le cdl6 fixe SB ) par la nous obtiendrons Tangle donne, exactement dans la situation que lui asaigne le probleme, et ensuite il nous sera facile d'en deduire la projection horizontale. Or, dans ce mouvement de revolution autour deSA, le pied C du cote mobile decrira un arc de cercle CC, dont le centre sera en A, et il s'arretera sur cet arc en un point C tel, que sa distance au point fixe B sera evidemment la base d'un triangle qui aura pour cotes des droites egales k SB et SC, tandis que Tangle compris egalera a, Si done on construit sur le plan vertical un angle BSC = a, ^t que Ton prenne SC = SG, la droite BC sera la distance dont nous parlions; puis, en la rapportant par un arc de cercle de B en C, on connaitra la position C oil doit s'arreter le pied du cot^ mobile SC, et, par suite, cette droite se trouvera projetee horizontalement suivant AC. D'ailleurs, le cote fixe SB etant projete sur AB, on en conclura que Tangle a, dans Tespace, a pour projection ho^ rizontale BAC^; ainsi ce dernier angle, qui pent etre plus grand ou plus petit que a, est celui qu'il f^ut employer sur une carte topographique oil tons les objets doivent etre representes par leurs projections.
62. DEUXiiiME CAS. J&tant donnees deux faces a, € dun angle, solide ^ a^ec tangle diedre camprU G, trower les auires parties.
(Fig. 26.) Soient BSC = a, GSA' = § les deux faces donnees rabattues sur le plan horizontal; en faisant tourner la seconde autour de SG jusqu'k ce qu'elle forme avec BSG Tangle diedre G, on obtiendra deux faces de Tangle solide dans leur veritable situation. Or, pendant ce mouvement de rotation, un point D' pris a volonti sur Tarete mobile ne sortira pas du plan vertical DTM perpendiculaire a la char* niere; si done, dans ce plan rabattu autour de FM, on construit Tangle MFK = C, et que Ton prenne la distance FG' = FD', il est evident que le point D' viendra coincider avec G\ et, par suite, qu'il sera projete horizontalement en D, lorsque la face mobile ASG aura pris Tinclinaison assignee par la question. Maintenant, le point de Tespace qui a pour projection D et G' appartient a la troisieme face inconnue, et si on la conceit rabattue autour de SB, le point (D , G') ne sortira pas du plan vertical DED'' perpendiculaire a cette eharniere ; done, comme ce point doit aussi rester i une distance du sommet egale a SD', si Ton decrit avec cette distance un arc de
CHAPirne ttl. -* RESOLVTIOIV l>fi L^ANOtE TR1EOBE. 3f
cercle, il coupei»a la df oite ind^finie DE au point D" qui determinera Tangle D"'SB pour la troisicme face inconnuo. Alors les trois faces de Tangle solide etant trou* v6efl, on rentrera dans le problemc du n** 59, qui a enseigne it conetruire les angldi diedres.
Oti pouvait aussi en)ployer la distance MG' (Jui 6gale Avidemmdnt MD", pour decrire un aire de cercle dont la rencontre avec le premier aurait determine le point D".
63. Troisii^me CAS. Etant donnies deux faces a, 6 d'un angle soUdCf cwec Vangle diidre B opposS a rune d'eUeSy trouver les autres parties .
[Fig. n*].) Soient encore BSC=:«> CSA'==€ les deux faces donnies rabattnes sttf le pl-an horizontal. Si, dans un plan vertical EF perpendiculaire sur Tarite SB, on coHstruit Tangle REF =: B, et que Ton imagine un plan indefini passant par SB et ER, ce plaa indiquera la position de la face inconnue; de sorte que^ pour compo-' ser Tangle solidei il ne restera plus qu'li faire tourner la face A'SC autour de CS, jusqu'fiL ce que Tar^te SA^ vienne se placer dans le plan SER. Pendant ce mouvement de rotation^ le point D' de Tarete mobile ne sortira pas du plan vertical D' FM> niene par le point F perpendiculairement k la charniere CS ; et^ par consequent/ ce point D' s'arrStera sur Tintersection du plan vertical FM avec le plan indefini SER< Or cette intersection est une droite qui part de My et vient rencontrer la verticale F au meme point evidemment que la droite ER relevee; si done, pour trouver cette hauteur, on tire la ligne FR perpendiculaire k EF, puis qu'on reporte FR k angle droit sur FM de F en R', la ligne MR' sera Tintersection dont nous avons parU> et c'^sl sur cette droite que devra s'arr6ter le point D' de Tarete mobile SA'. AInsi, en difecrivant avec le rayon D'F un arc de cercle qui coupe MR' en G, on obtiendra, dans le plan vertical FM, la position G d'un point de la troisifeme ar^te SA, et il sera facile d'en deduire la projection horizon tale D.
Maintenant observons que ce point G, situ6 dans le plan vertical MF> appartient a la face inconnue: et que quand on rabattra celle-ci autour de Tari^te SB> it ne cliangera pas de distance par rapport aux points M et S situ^s sur la charaiere. Or ces distances sont evidemment MG et SD'; si done, avec ces droites pout rayons, on decrit deux arcs de cercle, leur rencontre D"' determinera le rabattement du point G(*), et par suite la face inconnue sera D"SB. Une fois cette face trouvee, on retombera sur le cas du n^ 59, et Ton saura construire les aotres parties de Tangle solide.
64. Remarquons que Tare de cercle decrit avec le rayon ED' coupera generalement la droite MR' en deux points G et g^ : de sorte que la face A' SC, en tournant autour de CS, pourra prendre deux positions dans ehacune desquelles Tarete SA' se trouvera situie dans le plan indefitii SER ou SMR'; pour Tune de ces positions, le point D' s'arrete enG, et pour Taulre il vient en g. Par consequent, si Ton rabat ce dernier point autour de SB, comme on Ta fait pour le premier, il se transportem
Mtoi^HAH
(*) On pouvait aussi trouver le rabattement D", en combinant un de ces deux arcs avec la droite DD' inei^ perpendieulairemetit k la charoi^e SB-, par la projection borizontale D du point Q,
3a LIYRE I. — DBS DROITES ET DBS PLAHS.
en rf", et d''SB sera alors la grandeur de la troisieme face inconnue. II y aura done . deux angles solides differents que Ton pourra composer avec les donnees a, € et B ; • resultat tout a fait analogue avec ce qui arrive dans la construction d'un triangle < rectiligne oil Ton connait deux cotes et Tangle oppos^ k Tun d'eux. K
II n'est pas besoin d'aj outer que si Tare decrit avec le rayon FD' ne faisait -que ^ toucher la droite MR% il n'y aurait plus qu'une solution; et que le problbme serait impossible, si cet arc ne rencontrait pas du tout la droite MR'.
Gependant il importe d' observer que la deuxibme solution devrait etre rejet^e, si le point g tombait sur MR' au-dessous de MF, c'est-k-dire au-dessous du plan horizontal (nous supposons ici qu'on aura soin de construire Tangle donne B, aigu ou obtus, toujours au-dessus du plan de projection). En effet. Tangle solide qu'on obtiendrait alors se trouverait evidemment compose avec les faces a^ §, et un angle di^dre suppl^mentaire de B : or, comme ce dernier est ici donn6 graphiquement, et non pas par la valeur de son sinusj il ne pent y avoir d'ambiguit^ sur sa grandeur, et, par consequent, il n'est pas permis d'adopter indiff^remment B ou i8o^ — B.
Par la meme raison, il faudrait rejeter les deux solutions et declarer le problfeme impossible avec les donnees actuelles, si les points G et ^ tombaient Tun et Tautre au-dessous de Thorizontale MF; ce qui, au reste, ne pourra arriver que quand Tangle di^dre B sera obtus.
Remarque. Quoique les trois derniers problemes du n^ 53 puissent 6tre ramenes aux trois premiers par le moyen d'un angle solide supplementaire, ainsi que nous Tavons montre au n^ 58, il est int^ressant et quelquefois utile d*en avoir une solution directe. Nous aliens done Texposer, en prevenant toutefois les lecteurs qui commencent k ^tudier la Geometric descriptive, que cette solution suppose la connaissance des plans tangents aux surfaces courbes; ainsi ils feront bien de differer la lecture de ce qui suit, jusqu'k ce qu'ils aient 6tudie au moins les chapitres II et III du livre second.
65. QuATRiiME CAS. £tant donnds deux angles diedres X ei B d'un angle solide, avec une ties faces opposdes 6, trouver les auires parties,
(PL ^^fig^ I.) Adoptons pour plan horizontal celui de la face inconnue 7, et tra^ns-y le rabattement ASC" de la face donn^e 6; ensuite, perpendiculairement k TarSte SA> menons le plan vertical D'EF, sur lequel nous tracerons Tangle D'ED 6gal au di^dre A donn4 par la question. Alors, si nous faisons tourner la face ASG' autour de AS jusqu'^ ce qu'elle yienne se placer dans le plan SED', le point D'se transportera en D' qui se projelte horizontalement en D; et pour composer Tangle solide, 11 n'y aura plus qu'4 conduire par Tar^te ( SD, ED' ) un plan qui forme avec le plan horizontal un angle ^al au di^dre B. A cet effet, dans le plan vertical EF, tirons la droite D'F qui fasse Tangle D'FD= B; puis, aprds avoir fait tourner cette droite autour de la verticale D'D pour engendrer un c6ne de revolution dont la base sera le cercle DF, me« nons ce cdne a un plan tangent qui passe par Tardte (SD; ED'). Ge plan aura pour trace la droite S6B tirte du point S tangentiellement au cercle du rayon DF, laquelle sera la troisi6me ar^te de Tangle solide en question, et d^terminera la face ASB = 7. Quant k la troisieme face a, qui est rabattue ici suivant BSC, on verra ais^ment qu'elle se construit en prenant sur la perpendiculaire DG une longueur 6D"' ^ale i la gte^ratrice D'F du c6ne auquel cette face est tangente.
66. ClNQUi^ME GAS. J^tont donnSs deux angles diedres A. etBd'un angle solide^ avec la face comprise y, trouper les autres parties,
{PL ^^Jlg* a.) Aprto avoir trac6 sur le plan horizontal un angle ASB = 7 pour repr^nter la face con-
CHAPITRB IV. — DES POLT^DRES 1l1^«ULlEnS. 33
nue, nenoDS un plan vertical EF perpendiculaire k Tardte SA, et tra^ns-y Tangle F'EF egal au di^re A ; semblablement, dans un plan perpendiculaire k TarSte SB, construisons Tangle G'KG = B. Alors les plans SEF' et SKG' seronl ceux des faces inconnues; et pour oblenir un second point D de la projection SDC de leur intersection, il suffira de les couper par un meme plan horizontal quelconque. On prendra done les hauteurs ^ales EH' = KL'; puisen menant des droites H'F', L'G', respectivement parall^les aux deux lignes de terre £F, KG, on obtiendra les deux sections horizontales F'D, G'D, qui par leur rencontre feront connattre le point cherch^ D. Enfin, pour rabattre les deux faces qui se coupent suivant SDC, on prendra les perpendiculaires MD''= EF', ND"'= KG', et ces deux faces auront 6videmment pour vraies grandeurs ASC? elBSC*.
67. Sixi^B CAS. £tantdonnes les trois angles diedres A, B, C ^un angle solide, trouver les trots faces
[PL S,^g. 3.) Sur le plan horizontal que nous supposons coYncider avec celui de la face inconnue 7^ marquons la droite arbitraire DA pour repr^senter une des ardtes de cette face ; et sur un plan vertical perpendiculaire k DA, tragons Tangle Y'AX 6gal au di6dre donn^ A: le plan Y'AD sera ainsi celui qui contient la face 6. Ensuite, d'un point T' choisi arbitrairement dans Tint^rieur de Tangle Y'AX, abaissons sur les faces 7 et 6 les perpendiculaires T'O, TT, et tra^ons les angles T'FO= B, T'G'r = C; alors, si nous faisons toumer ces angles autour des axes T'O et T'l', ils produiront deux cdnes de revolution auxquels la face inconnue a devra ^idemment 6tre tangente; de sorte que la question est r^uite k mener un plan qui touche k la fois ces deux cdnes, dont le sommet commun est en T' et dont les bases sont les cereles d^rits avec les rayons OF etl'G'. La solution directe consisterait k chercher la trace korizontale du second c6ne I'T'G', et k mener une tangente commune k cette courbe et au cercle du rayon OF ; mais on peut eviter le trace approximatif d'une courbe par points, en recourant aux considerations suivantes.
Inscrivons une sphere au c6ne T'OF le long du cercle horizontal MFN : le centre &»' de cette sphere s'obtiendra en tirant la droite Fai' normale au cdne dont il s'agit; et pour avoir une seconde sphere, egale a celle-li, et inscrite pareillement dans Tautre c6ne TTG', il faudra mener k angle droit sur T'G' la ligne T'H' = w'F, et achever le paralieiogramme T'H'K'y'qui foumira le centre ^'et le rayon <p'K'de cette nouvelle sphere. Cela pose, imaginons un cylindre qui soit circonscrit k ces deux spheres : il les touchera suivant deux grands cereles perpendiculaires a son axe qui est la droite (p'&>'; or le plan qui touchait les deux cdnes k la fois se trouvait necessairement tangent aux deux spheres : done il est aussi tangent au cylindre acluel, etla question se reduit k mener par le point T'un plan qui soit tangent a cette surface unique.
La methode directe serait done de tracer, dans le plan «>'¥' perpendiculaire a Taxe (p'o»', un cercle avec un rayon egal k fii>'F ; puis, de mener k ce cercle une tangente par le point od aboutirait sur ce plan la paralieie k Taxe mene par le point T'. Tout cela pourrait s'executer en rabattement sur le plan horizontal* mais il y a encore un moyen bien plus court. En effet, le plan cherche devant etre tangent k la fois au cylindre, k la sphere &>' et au cdne T'FO, son point de contact avec la sphere doit etre situe : 1° sur le cercle horizontal MFN qui est la ligne de contact de la sphere et du cdne; ^''sur le grand cercle contenu dansle plan 6>'V', et qui est la ligne de contact de la sphere avec le cylindre. Or ces deux cereles se coupent evidemment suivant une corde qui est projetee verticalement au point M', et representee en vraie position par MM'N sur le plan horizontal ; done M est le point de contact et BMS la trace horizontale du plan tangent demande: sa trace verticale, qui doit passer par le sommet T', sera des lors BT'C.
Maintenant que nous connaissons la grandeur ASB = 7 de la face horizontale et la projection SG de Tarete suivant laquelle se coupent les deux plans SAC, SBC', il n'y a plus qu'^ rabattre ces deux derniers autour des charnieres AS, BS, et Ton obtiendra aisement les deux faces ASC'= 6, BSC" = a. On observers que Tarete rabattue suivant SC' devra etre tangente au cercle decrit du point I' avec un rayon egal a I'G'; car ce cerde est la base du second cdne TTG' auquel le plan SBC' est aussi tangent.
