CHAPITRE IV

DES poly£:ores ri^guliers.

68. Un poly^dre est dit ref^/ter lorsque toutes ses faces sont des polygenes reguliers egaux, et que tous ses angles solides sont aussi egaux entre eux. On sait qu'il

G^metrie Leroy*

34 uvRE I. •— BBS mioinss vr des iPMm*

n'existe que cinq genres de poly^dres qui remplisseDt eea conditions, sayoir : i^ h tdtraidre^ forme par quatre triangles equilateraux, assembles trois k trois autour d'un mfime sommet; of^ Voctaedre^ forme par huit triangles equilateraui^, assembles quatre a quatre; 3^ Vicosaidre^ forme par vingt triangles equilateraux, assemble cinq k cinq; 4** Vhexaidre ou cube, forme par six carres reunis trois a trois; 5^& doddcaidre, compose de douze penta^ones r^guliers, assembles trois a trois. II ne saurait y en avoir d'autres, attendu qu'un plus grand nombre de triangles, de ear* res ou de pentagones reguliers, que Ton voudrait reuqir autour d*iin mefne point, donnerait lieu a une somme d'angles plans qui egalerait ou surpas^erait 36o degr^s; et pour prouver Texi^tence de ces cinq corps reguliera, ixous ^lUons apprendre ^ lea construire.

DU TETRAEDRE. {PL g, fig, i.) Avec le c6t6 donn^ / du polytedre, on construira sur le plan horizontal uct triangle equilateral ABC; et au centre S 4^ cercl§ circonscrit, on elevera une verticale (S, S'H') dont la grandeur sera fouraia par la cdte SK d'un triangle rectangle ASK construit sur AS comme base, et ayee une hypotenuse AK 6gale k AB. Alors, en joign^nt le point (S^ S') avecles trois sommets primitifs, on obtiendra un corps forme par quatre trianglea dvidemment egaux et reguliers. Les angles tri^dres sont aussi manifestement egaux.

OCTAEDRE. [PL Qffig- 2l.) Avec le c0t6 /, formons dans un plan horizontsit c(ue|conque un c?rre(ABCP, A'C); puis^ p?tr le centre (S, H') elevon^ uQe verticale que nous proiongeroQs, au-dessus at au-dessous, d'une quantite S'H^ oo S^'H' egale a la demi-diagonale SB. Alors, ep joignant les points (S', S) et (S'', S) avec les quatre angles du carr^, nous forpierons un corps compost de c(eu$ pyramides qua-r drangulaires, dont lea huit faces aeront evidenamept des triangles equilateraux : car cela revient k faire faire au carr6 ABCD un quart de revolution autour de sa diagonale AC ou BD. D'ailleurs les angles solides en (S, S'), (A, A'), (B, B')f- seront aussi 6gaux, puisque chacun d'eux appartiendra k une pyramide quadrangulaire identiqueavec la premiere (SABCD, S'A'B'C'D').

ICOSAEDRE. {PL g^fig. 3.) Avec le c6t6 donn^ /, et dans un plan horizontal quelconque^ Qonstruisons un pentagone regulier (ABCDE, B'A'S'); etsursQU^X!^ vertical, cherchons un point (S, S') tel, qu'en le joignant avec les sommets du pentagone, on obtienne cinq triangles ciquilat^raux. Pour cela, il suffit ^videmment de former sur SD, comme base, un triangle rectangle DSH dont Thypotenuse DH soil 6gale a / ou DE; de sorte que le cote SH de ee triangle fournifa la hauteur ineonnue A'S' de la pyramide pentagonale (SABCDE, S'B'E'). Dans un autre plan horizontal Q'M', dont nous fixerons plus tard la dist?in.ce au plan B'E% tragons un second pentagone LMNPQ egal et concentrique avec ABCDE, mais tourne de maniere que ses sommets L, M, N,... soient placj^a aux Qiilieux des area que sous-tendraient les cdtes CD, DE, EA,... dans le cercle circonscrit; puis, en prenant la distance L'S" egale k A'S', formons la pyramide pentagonale (SLMNPQ', S*'Q'M') evidemment 6galek la precedente. Maintenant, joignons par dea droites ehaque sommet du pentagone superieur avec les deu^ sQmmeta voisioa du pentagone inferieuPi camoM (C| C'} avec

(Q» Q') et(L, I/), (D, D') avec (L, L') et (M, M'),..., et nous obtiendrons ainsi line zone intermiidiatre de dio) triangles d^ja isbcfeles, taais qu'il faut tacher de rendre equilM^Ttuowi en choisiBdant conTenablemefit Tlntelpvallfe B'Q' des deux pentagones, intervalle que 6ous Rtroos laiss^ ci-dessus ihd^termin^. Or, pour que la droite (CL, CL')«oit egaleli hQ,, il rafflt de confetruipe le triangle LCK avec une hypotenuse LK igalek LQ, et leedtiCK dotinera la differeftce de niveau qui doit exister entreC et L', ou bien rinterv&lIeB'Q' qtt*il fellait mettire ehtre les deux pentagones paralleles. On aura doncainsi fomi6 un e()rps <^Dmpos6 de f)ihgt triaiigles equilateraux, assemblies eiiiqiicinq; it% les aiigles solideis eeront aussi ^gaiiit etitre eux, parce qu'a chaque Mmmei (C, C), (L^ l/),^». oa pourfft fconceroif une pyramide pentagonale identique avec la premiere (SABGDB, S'B'B').

HEXAEDRSi (W* g^/fg'. 4-) Aprfes avoir construitle carre ABCD, oh elfevera par «e6 qutttrfe iingleft d^BTerticale* (A, A' A"), (B, B'B"),,.. ^gales a AB; et en r6unis- Mnt leurs extremitea Bup^rietires par an autre earni, on obtiendra imiiiediatement le wlide 4ematidi&, lequel n'efit autre chose qu'uti cilbe.

DODl^BDRS^ {Pi. ^^fig. 5.) Dans Un plati horizontal quelconqueB'A'E', tra- 4ons un penuigone r(^gulter ABCDE dotit les cdtigs sdlent i^gaux ^ la longueur / assignee pour i^sarfetefedu polyfedre; pulsk chaque feomihet (A, A'), (B, B'), (C, C'),... ijoUtOM deux attires pentagones ^aux au preniier, et inclines de maniere a former <»nq angles tri%dl^d» Par \^^ nous obtiehdroiM Une calotte cotnposee de six pentag^ines, ^ termln^e M (JontoUr (KRStUVXTZWj K'R'S'T'U'V'X'Z'W) dOht nous enseignerons tout ^ Theure k trouver les projections. TraQons encore^ dans le plan horieontaU tin pentagone LfttNPQ egal et conceutrique avec ABCDE, tnais tourne dd maui^^e que see ftUgles soient aux milieux des arcs que sous-tendraient les cdtes AB^ BCv..< daus le eerele circonscrit; puis^ sur ce pentagoue LMNPQ, eonstruisons une calotte concave identique avec la pr^c^dente, et 6Ievous cette dernifere le long de la verticale (0, L'A'), jusqu'k ce que des angles saillants et rentrants aillent coincider avec les angles rentrants et les angles saillants de la premiere calotte. Tout cela est manifestement possible, puisqu'il ne s'agit que de reunir, a chaque sommet du contour, trois pentagones ideUtiques avec ceux qui ont deja forme les angles triedres (A, A'), (B, B"),...; maisil restera k savoir quelle est la distance verticale G'W qui e^parera les deUx pehtligoties horiasontaux. D'ailleurs, par la reunion de ces deux calottes, on aura produit un polyedre compose de douze pentagones 6gaux, et oil les angles solides seront aussi egaux entre eux, puisque chacun sera form6 par trois pentagones identiqUes.

Pour construire les projections de ce corps avec plus de clarte, commen^ons par la calotte inferieure dont nous placerons la base LMNPQ dans un plan horizontal G'Q'M' choisi k volonte; puis rabatlons sur ce plan les trois faces de Tangle trifedre (Q, Q'), en tra^ant les deux pentagones Vccyzi^,^ Q^z'wkh, identiques avecLMNPQ^ Alorst en operant cooime pour efaercher les angles diedres (n"" 59), il faudra mMer par les points rabattus jb et s' deux plans verticaux. Tun ta perpendiculaire ^ PQ» I'autre b'% perpendiculaire k QL; ces plans se coupant suivant la verticale Z,

36 LIVRE n. — BES SVEFACBS BT DBS PJLAKS TANGENTS.

c^est sur cette droite que viendront se reunir les points z et z' lorsqu'on recoraposera Tangle solide, et consequemment Z est la projection horizontale d'un des somniets du polyfedre, tandis qu*une de ses aretes sera projet^e sur ZQ qui doit ^videmment converger vers le centre 0. Quant a la projection verticale Z% on observera que le sommet en question appartient a un triangle rectangle qui a pour base Za et pour hypotenuse az : si done on construit ainsi le triangle aZe^, le cote Z& indiquera la hauteur G'H' qu'il faut porter sur le plan vertical pour obtenir la projection Z\ d'ou Ton deduira Tarete Z'Q'. On aurait pu aussi remarquer que, connaissant la projection horizontale ZQ de Tarete en question, et sa grandeur absolue qui egale PQ, on obtiendra la difference de niveau G^H' en construisant un triangle rectangle dont la base soit ZQ et Thypotenuse PQ.

Pour le sommet rabattu eny, il est certain que pendant le relfevement de la face aryzQP^ ce sommet ne sortira pas du plan vertical J7O perpendiculaire k la charniere PQ; et que sa plus courte distance yy finira par prendre une position parallele a acJ. Si done on prolonge cette derniere jusqu'a ce que oce soit 6gale k jy, et qu'on abaisse la verticale sX, le pied Xdevra etre rapporte suryy pour fournirla projection horizontale Y du sommet en question. Quant a la projection verticale Y% on I'obtiendra en remarquant qu'elle doit etre a une hauteur G'H" 6gale k Xe. On aurait pu obtenir le point Y en observant que, par suite de la symetrie des deux calottes, la distance BY doit ^galer QZ qui est dejk trouvee; et la hauteur G'H'' se deduirait de cette consideration, que la droite projetee sur ¥7 a pour vraie grandeur 7OM.

Enfin, la hauteur H^'M"" de la calotte superieure doit manifestement etre prise egale a G'H', ce qui permettra de tracer les projections verticales A', B', C, D', E', correspondantes k A, B, C, D, E; et on agira semblablement pour W, K', R'..., aprfes avoir trac^ sur le plan horizontal les longueurs CW, LK, DR,..., egales toutes k la distance QZ, que nous avons enseigne a determiner.