CHAPITRE PREMIER

DE LA GtNfiRATlON DES SURFACES, ET DE LEUR REPRliSENTATION GRAPHIQUE.

69. Pour repr^senter graphiquement une surface, nous avons annonce (n'' 7) qu'il ne faudrait pas, comme pour les lignes, chercher k construire sur deux plans fixes les projections des differents points de ce lieu geometrique; en effet, attendu que sur une surface, et k partir d'un point donne, on pent cheminer dans une infinite de directions, le moyen precedent n'aurait d'autre resultat que de charger

GBAPITKB I. — Gl&miBATIOW DBS SUBPACBS, ETC* 3'J

les plans fixes d'une multitude de points et de lignes dont on n'apercevrait pas la liaison, et dont Tensemble surtout ne peindrait nullement, a I'oeil du spectateur, la forme de la surface, sa courbure plus ou moins prononcee, et le nombre de ses nappes. Nous emploierons done un autre procede (n^ 93), deduit de la nature meme de cette grandeur, dont il faut, avant tout, etablir une definition precise.

70. Par le mot surface on ne doit pas entendre simplement une serie de points ou de courbes aussi rapproches qu'on youdra les uns des autres, mais n'ayant entre etix aucune dependance fixe; il faut encore que ces points ou ces lignes soient soumis a quelque liaison commune et continue, dont I'expression analytique ne serait autre chose que Tequation de la surface, et dont la definition geom^trique doit etre enoncee ainsi :

Une, surface est le lieu de toutes les positions que prend successivement^ dans I'es^ pace, une ligne mobile qui change de situation^ et sou/vent mime de forme d'apris une hi ddtemdnde et continue.

La ligne mobile se nomme la g^n^ratrige, et par ces mots, une hi ddterminde^ il faut entendre des conditions telles, que, pour chaque point donn^ de I'espace, elles ne laissent plus rien d'arbitraire dans la forme ni dans la position de la generatrice. Or le moyen le plus commode ordinairement pour exprimer (du moins en partie) la loi de ce mouvement, c'est d'assigner une ou plusieurs lignes fixes, nommees directrices, sur lesquelles devra constamment s'appuyer la generatrice dans toutes ses positions : de sorte que pour definir compl^tement une surface particulifere, il faut indiquer la nature de la generatrice, la maniere dont elle se meut, et les directrices sur lesquelles elle doit glisser pendant son mouvement {*). Lorsqu'on change seulement ces directrices, on obtient diverses surfaces qui appartiennent toutes k une mime famille; et d'ailleurs on doit sentir que chaque surface individuelle est susceptible d*une infinite de modes de generation. Nous allons en citer plusieurs exemples, tant pour eclaircir la definition generale, que pour acquerir

(*) Ce8t effectiyement par la traduction en analyse de ce mode de g^n^ration, ou d'une propri^t^ 6quivalente, que Ton oblient toujours F^uation de la surface. (Yoyez Y Analyse appUqu/^ a la giom^trie des trois dimensions, chap. XIV. ) R^iproquement, lorsqu'un lieu geom^trique est d^fini imm^atement par r^uation F ( x, ^, z) = o, si I'on coupe cette surface par divers plans, horizontaux par exemple, on obtient les courbes

/i)« = a et F(x,7-,a) =0, (a) a = a' et F(x,^,a')=Oj 2= a" et F(ar,7,a') =o,

dont une quelconque est ce que devient la premiere quand on attribue k la constante a les valours successives a', a", par cons^uent, ces diverses courbes sont les positions successives que prendrait la courbe (i) at (a) si on la faisait mouvoir dans des plans parall^les, en cbangeant d'ailleurs ses dimensions d*aprte une loi qui d6pendrait de la maniere dont la constante a entrera dans T^uation (a) : aussi, en ^liminant ce param^tre entre (i) et (a), on retombe ^videmment sur T^uation F(x,7, z) = Oy qui se trouve done le lieu de toutes les positions de la premiere courbe mobile. Ajoutons d*ailleurs que, comme on pent adopter une infinite de directions pour les plans slants paralldles, ou mdme employer d'autres surfaces s^ntes, il doit ezisler pour chaque surface une infinite de modes de g^^ration.

38 LITBV Il^-^MES filHHPiCBS Wt BttS PLAVS TAffOMTS.

dis k present U connaissanee des lieux geometriques dont nous deVoM ^ire Utafi le plus frequemtnent.

71 . UNE SURFACE CONIQUE est le lieu de toutes les positions que pr end mni droite mobile SA, assujettie a passer toajours par un point fixe S {fig*> ^6) 9tk s'cp*^ payer constamment sur une courbe donnSe ABC, laquelle pent etre gauche oa i douhk courhure (voyez n^ 7). D'aprfes cette definition, la droite mobile SA est une generatrice eonstante de forme^ et variable de position seulement, tandis que I0 point fixe et la courbe ABC sont les directrices; d'ailleufs, cette ligne SA devant etre regardee comme indeftniment prolongee de part et d'autre du point S qu'on nomme le sommet ou le centre^ elle engendrera les deux nappes opposes et ind^fi-* nies SABC, Sa§7. Si Ton substituait a la courbe ABC une autre direotrice^ en cbfrn^ geant m^me le somniet S, on obtiendrait diversea surfaces individuelkis oppartenant toutes a lafamUle des odnes.

72. Mais ces surfaces admettent bien d'autres modes de generation. £n tetht, el nous coupons le cone SABC par divers plans paralleles, nous obtiendrons delk mctxons s^nblabks A'B' C\ A''B'X"^ c'est-a-dire des courbes oil il existefa des points 0', 0", tels, que les rayons vecteurs respectivement paralleleS) O'A' et (yA"", 0' B' et 0''B'% O^D' et 0''W,.* ^ auront entre eux un rapport constant : cette proposition, vraie quelle que soit la directrice ABC, se d6montre aisement par la thedrie des lignes proportionnelles. Pour fixer les id6es» nous admettrons que ABC soit yne ellipse ayant pour ses demi-axes OA = a» OB s i; alors les autres sections A' B'GS A'^B'^C^ supposees p^ralleles a cette base, seront aussi des ellipses dent lee axes M trouveront paralleles a ceux de ABC, et tels que

a a' of*

Cela pose, si Ton fait monvoir Tellipse ABC de manifere^ i^ que son centre pAr^^ coure la droite SO; 3^ que ses axes restent paralleles k leurs positions primitiveik; 3"" qu'ils decroissent ensemble, et proportionnellement aux distances SO, S0% SO"....; alors il est evident que cette ellipse mobile coincidera successivement avec A'B'C, A''B'X%..., etdeviendraainsi, pour la surface conique propos^e, uneg^n^*^ ra trice variable de forme et de position. Mais, pour r6duire ces diverses conditions a un enonc6 plus simple, il suffira de se rappeler qu'une courbe du second degre est determinee, dans son plan, par la connaissance decinq de ses points; par consequent, si Ton trace sur le cone cinq aretes fixes, SA, SB, SC, SD, SE, on pourra dire que, pour engendrer la surface, il hut /aire moui^oir T ellipse variable ABCde manidre que son plan dem^eure parallele a lui-mSme, et quelle s'appuie constamment sur ces cinq droites regardees comme autant de directrices.

Enfin, puisqu'on serait libre d*adopter pour les plans secants paralleles twe direction quelconque, et que mSme on pourrait couper le c6ne par d'autres stirfaces, telles que des sphferes d^crites du point comme centre avec un rayon variable, il demeure evident qu'il existe une infinite de lignes planes ou gaudb que Ton pent adopter pour generatrices d'une memo surface conique.

CBApnmR 1, — GiniRATioar bks svbiaces, ettc. 3g

75. UNfe SURFACE CYLINDRIQUB est le lieu des diverses positions que prend une dpoite mobUe kk^ qmglisse le long dune courbefixe ABC [fig. 219), eo demeursint par€iltile a une direction donnie. Mais ce premier mode de description, 011 la gfo^ratrioe AA' est eonstante de forme, n'est pas le seul admissible; car, puisque toutes les sections paralleles au plan de ABC seraient ici des courbes evidemment identiques^ on peut encore regarder la surface comme parcourue par la courbe ABC qui 96 moxwrait parcUHlement a eUe-mSme {*), en sappuyant toujowrs par le meme point surladroite kk\ laquelle deviendrait alors une directrice de la eourbe mobile ABC. En variant ensuite la direction des sections paralleles, on obtiendrait une infinite d'autres generatrices propres k d^crire le meme cylindre : au reste, ces surfaces peuvent 6tre consid^rees comme un cas particulier des cones; c'est celui ou le sommet s'^loigne k Tinfini.

74. Observons, en passant, que si la directrice du cone ou du cylindre itait une droite, la surface se r^duirait k un plan, lequel peut done 6tre d^flni comme le lieu des positions que prend une droite mobile assujettie, 1^ h glisser sur une droite fixe; a^ h passer constamment par un point donne, ou bien k demeurer toujours parallfele k sa premiere position.

75. UNE SURFACE DE REVOLUTION est engendree par une courbe quelconque GO'C qui tqurne autour d'une droite fixe DZ {^g. 3o), de manifere que ch^cun de ^s points G decrit un cercle dont le plan est perpendiculaire ct l*axe DZ, et dont le rayon est la plus courte distance GO de ce point au meme axe. Observons que ces divers rayons GO, G'O', G"0", quoique tous perpendiculaires k DZ, ne seront point paralleles entre eux lorsque la generatrice 06' G'' sera k double courbure; ou lorsque, etant plane, son plan ne renfermera pas Taxe DZ. D*ailleurs, les difTerents cercles, GMA, G'M' A',..., decrits par ces rayons, se nomment les paralleles de la surface.

76. Si| par Taxe DZ, on mfene des plans quelconques ZOA, ZOM , on obtiendra des sections AA' A", MM'M", que Ton nomme les meridiem ou plutot les courbes TnAidiennes de Iqt surface^ et qui sont necessairement identiques quant a leur forme. En effet, ces plans meridiens coupent les paralleles suivant des rayons qui comprenuent des angles evidemment egaux AOM, A'O'M', A"0"W; par consequent, si Ton fait tourner le plan ZOM d'une quantite angulaire MOA, tous les rayons OM, O'M'i 0"M"» coincideront en meme temps avec OA, O'A', 0"A", et les courbes meridienne? se confondront Tune avec I'autre.

77. II r^wU^ ^ussi de la que la meridienne AA' A''» en tournant autour de DZ» parcourra toute la surface de revolution, et peut en etre regardee comme une nou- \^\e giiB&fdXv\w qui remplacerait la courbe primitive GG'G''* Cette derniere^ en

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(^) Une ooofbt eal dito le mouvoir paraiielement a elie-m^me lorsque deux q«eicofiqueft de sea coixiea demeurent toujours paralleles k leurs directions. primitives. Cette condition entraine Evidemment le paraU lElisme du plan de la courbe ; mais cela exprime en outre que cette courbe ne tourne pas dans son plan mobile*

4o UTRE II. — DES SITBFACBS VT DBS PLANS TAlTGEBrni.

etfetf sera distincte du m^ridien, lorsqu'elle n'aura pas tous ses points situ^s dans un meme plan passant par DZ, comme on pent le remarquer dans la figure actuelle, qui est censee construite en perspective sur le plan ZOBB"A''A ; c*est par suite de cette convention que nous avons ponctue les parties des paralleles et de la courbe GG'G" qui sont derriere ce tableau. Au reste, on pourra toujours construire le meridien d'apres la connaissance d'une generatrice quelconque, puisqu'il suffira de chercher les points dans lesquels un plan, tel que ZOB, coupe les diwers parallSles decrits par les points deGG'G''; et nous donnerons plus loin (n^l48) un exemple de cette operation.

78. Les surfaces dont nous nous occupons ici admettent un autre mode de generation qu'il importe de connaitre. Puisque tout plan perpendiculaire k I'axe DZ (^g. 3o) donne pour section un cercle dont le centre est sur cet axe (n° 75), et qui a un point commun avec la courbe GG' ou avec la meridienne BB', on pent done regarder la surface de revolution comme le lieu des disperses positions queprend un cercle mobile f toujours perpendiculaire a la droite DZ, et dont le centre parcourt cette droite, tandis que son rayon varie de maniere que la circonfSrence s'appuie conrstamment sur la courbe fixe GG'G" : cette ligne devient alors une directrice k laquelle on peut substituer le meridien BB'B", et le cercle mobile est une gindratrice variable k la fois de forme et de position. Cette definition, que Ton traduit plus aisement en analyse (*), offre Tavantage que, sous ce point de vue, toutes les surfaces de revolution forment une meme famille (n** 70) qui admet une gindratrice d'une espice constante; c'est le cercle mobile toujours perpendiculaire a Taxe, et dirige dans son mouvement par le meridien qui, seul, change d'une surface individuelle a une autre.

79. Ainsi, suivant qu'on adoptera pour meridien une droite, une ellipse, une hyperbole ou une parabole, on obtiendra un cdne, un cylindre^ un ellipsoide, unhyper^ boloide, ou un paraboloide DE REVOLUTION, pourvu d'ailleurs queTaxe de rotation coincide avec un des diametres principaux de la courbe; car autrem^entla surface^ quoique toujours de revolution, serait d'une espece plus compliquee. Un cercle, par exemple, qui tournerait autour d'une droite situee dans son plan, mais ne pas^ sant pas par son centre, produirait un tore qui est un genre de surface annulaire que nousaurons occasion d'etudier bientdt(n^ 138).

80. Ces divers exemples, k Texception du dernier, ne sont encore que des cas particuliers de surfaces plus generales qui, sans etre de revolution, nous deviendront utiles dans la suite, et dont il importe de connaitre la generation. Ce sont les surfaces DE second degri£ qui oifrent cinq genres distincts, sans compter les cones, les cylindres et les plans, qui en sont des vari^tes trop simples pour nous y arreter de nouveau.

81. ELLIPSOIDE. Soit une ellipse AGDF {Jig. 34) construite sur les demi-axes OA = a, OC = c : en la supposant trac^e dans un plan vertical que nous prendrons pour le tableau sur lequel la surface sera representee en perspective, il en resultera

(*) Voyez VAnaixse appUqueea la gSomStriefUs trois dimensions^ chap. XIV.