CHAPITRE I. — CEN^ATION DES SrBFACES, ETC
que les Ugnes ponctuies indiqueront les portions de courbes situees derrierele plan de cette ellipse, et nous conserverons cette hypothfese dans tout ce chapitre. Si, dans un plan perpendiculaire ^ OC, nous construisons une autre ellipse A'B^D' qui ait pour ses demi-axes Tordonn^e 0'A' = af de la premifere ellipse, etune droite O'B' = b' de grandeur quelconque, mais perpendiculaire sur 0' A'; puis, que nous fassions mouvoir la courbe A'B'D' de manifere que ses axes, restant parall^les k eux-
memes, conservent le rapport primitif 3 > et que I'un d^eux coincide successivement
avec les cordes D'A', D'^A'', DA,..., de Tellipse fixe CAF; alors le lieu geom6trique ainsi engendre sera la surface que Ton nomme ellipsoide. Lorsque le plan de Tellipse mobile passera par le centre 0, elle atteindra son maximum de grandeur, puisque le demi-axe variable a' deviendra Tordonnee maximum OA = a; etsi Tonrepresente par OB = 6 la longueur que prendra au meme instant le second axe l/y les trois lignes
AD = !aia, BE=2b, CF = 2c
seront ce qu'on appelle les diamitres principaux' on les axes de Tellipsoide. D^ailleurs on doit apercevoir que cette surface sera fermee de toutes parts, puisqu'au dela des points C et F, I'ellipse mobile aurait ses deux axes imaginaires (*).
82. Si Tellipse generatrice A'B'D' etait un cercle, c'est-k-dire qu'on eut choisi O'B' egal a O'A', la surface deviendrait (n** 78) un ellipsoide de revolution qui aurait pour meridien la courbe directrice CAF; et deux des diametres principaux de la surface, savoir OA et OB, seraient egaux entre eux. Enfin, dans le cas oil les trois axes OA, OB, OC seraient tons de meme longueur, Tellipsoide d6g6nererait en une sphere.
85. HYPERBOLOIDE a une nappe (fig. 35). Substituons k Tellipse directrice une hyperbole A' A'' A, dont le demi-axe r6el soit OA = a, et le demi-axe imaginaire OG = c; puis, dans un plan perpendiculaire a OG, et sur deux axes, dont un soit la corde A'D' de Thyperbole, construisons encore une dilipse A'B'D' : en la faisant mouvoir d'aprfes la meme loi que precedemment, elle engendrera Vhyperbo^ hide a une nappe^ ainsi nomme parce que cette surface n'aura evidemment qu'une nappe unique, mais indefinie comme Thyperbole directrice. Lorsque le plan de Tellipse mobile passera par le centre 0, elle atteindra son minimum^ puisque I'axe variable D'A' sera devenu egal a DA, qui est la plus petite corde de Thyperbole; c'est pourquoi la courbe ABDE est nommee V ellipse de gorge^ et les trois droites
AD = :ia, BE=:i6, GF=ac
sont les trois axes de Thyperboloide : mais le dernier CF ne rencontrant pas la sur-
( *) En exprimant par Tanalyse ce mode de g^n^ration, on obtient pour T^quaUon de Tellipsoide rapport6 a ses azeSy
yitytzV Analyse appliqude h la g^m^trie des trois dimensiofu, chap. IX.
G^mStrie Leroy. 6
4? LIVR& n. — QES SURF4f:C8 BT HES PLANS TANGENTS.
face, est dit Yaafe imaginairt, quoique la quantity reelle ac ue soit que le coefficient de Texpression imagiuaire que fouruirait Tanalyse, en cherchant les points de la surface qui seraient situes sur la droite indeiinie OCQ' (*).
84. Lorsque les deux axes riels OA et QB sout 6gaux, Tbyperboloide est de revolution (n*^ 78), pulsque alors TelUpse g6neratrice A'B'D' devient un cercle; aussi, dans ce eas paFticuUer, la surface pour rait etre engendree par la revolution de Thyperbole A! k'' X autour de son cure imaginaire OCO'.
83. ITYPERBOLOIDE a deux nappes [fig. 36). Sup les demi-axes OA = a, OC ^ e, eonstruisons encore une hyperiMle, mais pUe^e de maniere que OC soit Taxe r^el; puis faise^ns mouvoir, eomme pree^demment, Tellipse A'B'D' ; elle engendrera u»e autre espece d'byperboWide qui aura deux nappes indefinies, et s6pdr6es Tune de Fautre par un intervalle ou il n'existera aucun point de la surface. En effet, entre les points Get F, la corde variable A'I>'» qui sert d'axe ft Tellipse mobile, deviendra imaginaire, et il en sera necessairement de meme du second axe O'B', qui doit conserver aveele premiet un rapport constant : de sorte que la gen^ ratrice^ se trouvant totalement imaginaire dans cet intervallct ne fournira aucun point reel de la surface. Cependant^ comme pour le point 0, on sait que le demi-axe
O'A' deviendra egal a OA. y/— i, si Ton veut construire le coefficient reel de Tautre axe, qui est pareillement imaginaire, il faudra porter sur une perpendiculaire au plan AOG, une longueur OB telle que
0' B' G%. i/=l OB
