A'-(>A.V=^~OA

alors les deux droites AD = a a, BE = 2& seront ce qu^on nomme les axes imagt-naires de Thyperboloide k deux nappes, tandis que CF = ac sera Ycujce rdel (**).

86. Pour que cet hyperboloide fut de revolution, if iaudrait que les deox axes imaginaires OA et OB devinssent 6gaux, puisque cette hypotbese entrainerait fa relation 0' A' = O'F, qui change Tellipse generatrice en un cercle. Alors la surfeee pourrait etre engendree par la revolution des deux branches CA" A'' et FA^ de Fhyperbole primitive, autour de son axe rdel COF.

87. PARABOLOIDE etliptique. Maintenant, adoptons pour directrree fixe une parabole D"OA" {^g. 87), en faisant mouvoir perpendiculairement k son axe QiX une ellipse A'B'D', dont le premier axe 0' A'= a' soit Tordonnee variable de cette parabole, et dont le second O'B' = b' ait d'abord une grandeur arbitraire, mais eonserve to uj ours avec le premier un rapport constant. Dans ce mouvement Tellipse

(*) L'^oatioD de lliyperbelo'Mie^ une nappe, rapports k sea axes, eat

(**) L'^uation de Thyperboloide k deux nappes, rapport6 k ses axea, en prenantcelui qui est r6el pour ]*axe des Zj serait

COAPITBE I. — Glhr^RATION BES SURtrACES, ETC. ^3

mobile engendrera une surface composee d'une seule nappe indefinie dans le sens OX, etqui se nomme le paraholoide ettiptique, parce que toutes les sections planes qu'on y pent tracer ne sont jamais que des parabotes ou des ellipses (*).

88. Lorsque les deux axes de Tellipse generatrice sont egaux, la surface devient Ae rfevolution (n^ 78), etalors elle pourrait etre engendree par le mouvement de la parabole OA'A*', tournant autour de OX.

89; PARABOLOIDE hyperhoUqne. Enfin, tout en gardant pour directrice la parabole D"OA'' {fig. 38) , remplaQons Tellipse generatrice qui nous avait servi jusqu'ii present, par une hyperbole D'ff, A'G', construite dans un plan perpendiculaire a OX, et sur deux demi-axes O'A', O'B', dont le rapport restera constant, tandis que le premier, qui est Taxe reel de cette hyperbole, deviendra successivehientggalauxdiverses ordonnces O'A', O'^A'',..., dela parabole fixe. L'hyperbole mobile, en se mouvant ainsi parallMement k elle-mfime, decrira d^abord deux nappiss ouTertes k droite et k gauche , separees par le vide interieur du cylindre D'^OA", etqui s'etendront indefiniment, comme cette parabole, dans le sens O'X. Mais si nous laisons mouvoir Thyperbole mobile de 0' vers le point V, son axe reel O'A' diminuera, et deviendra nul en 0; par consequent les deux nappes dont nous vcnons de parler s'y r6uniront, et en mSme temps Thyperbole se reduira, pour cette position, \ deux droites indefinies KO*, LO/, qui seront tout entieres sur la surface, et parallbles aux asymptotes de toutes les hyperboles precedentes.

Au-dedsus du point O, en 0* par exemple, Thyperbole generatrice reparaitra, mais dans une situation inverse H*'B''G"', par rapport a ses asymptotes. En effet, les axes que nous avons representes graphiquement par O'A' et O'B', devaient etre \ la rigueur exprim^ par

a'=0'A', fe' = 0'B'v/^;

done, puisqu'en 0*" I'ordonnee de la parabole est imaginaire^ et qu*ainsi le premier

axe de Thyperbole mobile devient «'"= 0'"A'". yj—if il faut bien que le second at«, [^oor eODserver avec Tautre un rapport eonstaot, pretrne la forcne

•Lm -m ^ ^ f\m km ^ »

quantitts rdelle, representee siir la figure par O^'B*. Ceci montre qu'au-dessus de 0, Taxe r6e! O^'B* de Thyperbole gen6ratrice se trouvera dirige perpendiculaircment au plan A' OD' ; et les deux branches de cette courbe decriront encore deux nappes indefinies, placees Tune en avant de ce plan, Tautre en arriere, mais qui, reunies avec les precedentes par les droites KO*, L0/> ne prfeenteront dans leur ensemble qu'une seule surface non interrompue, dont les courbures seront de sens opposes, k peu pres comme cela arrive dans la gorge d'une poulie. On a donne a la surface

(*) L'^uation de ce paraboloide, rapports k son Bommel et a Taxe unique OX comme aie des x, est

•^H — ; = jr.