LITRE II. — DES SURFACES ET DBS PLANS TAHGENTS
qui nousoccupele nom de paraboloide hyperbolique , parce que Tanalyse apprend que toutes les sections planes que Ton peut y tracer, ne sont jamais que despomboles ou des hyperboles, parmi lesquelles il faut comprendre les cas particuliers oil cette section se trouve une droite isolee, ou bien deux droites qui se coupent (*).
90. II importe d'observer ici que le paraboloide hyperbolique ne saurait jamais etre de revolution; car, d'apres ce que nous venons de dire sur la nature des sections planes, aucune de ces courbes n'est jamais fermee, et par consequent ne peut etre circulaire.
91 . La maniere dont nous venons dMndiquer la formation du paraboloide hyperbolique offre, a la verite, une sorte de discontinuite graphique, puisque au-dessus du point 0, la parabole qui servait de directricedevient imaginaire; mais, comme I'analyse explique aisement cette difficulte, nous avons prefere conserver ce mode de generation, parce qu'il presente plus d' analogic avec les surfaces precedentes, justifie mieux les denominations imposees aux deux paraboloides, et manifesto clairement I'existence des deux droites OL et OK situees sur le second. Neanmoins nous citerons encore un autre mode de generation, tout a fait continu, et commun k ces deux paraboloides.
Sur le meme axe OX {Jig. 87), et dans des plans perpendiculaires, construisez deux paraboles A'^'OD'^ et B'"OE* quiaient le m^me sommet, des parametres quelconques, et leurs concavites tournees dans le meme sens; puis faites glisser Tune des deux parallelement k elle-meme (n^ 75), sans alterer sa forme, mais de maniere que son sommet reste constamment sur I'autre parabole fixe : vous obtiendrez ainsi le paraholoide elliptique.
Prenezdeux paraboles A"OD", B'"OE*' [fig. 38) construites comme ci-dessus, mais ayant leurs concavites tournees en sens contraire ; puis faites encore glisser, parallelement a elle-meme, la courbe A''OD" constante de forme, et de maniere que son sommet parcoure Tautre parabole fixe : vous produirez ainsi le paraboloide hyperbolique (voyez Analyse appUqude, chap. VIII).
92. Pour completer la connaissance des lieux geometriques employes le plus frequemment, il nous resterait k parler des surfaces d^veloppables et des surfaces GAUCHES; mais, outre que les propri^tes caracteristiques de ces deux classes de surfaces ne peuvent etre bien nettement comprises qu'aprbs avoir vu les plans tangents, il nous semble qu'il vaut mieux laisser au lecteur le temps de se familiariser avec les exemples cites jusqu'ici, par des applications nombreuses et des con-
(*) Pour bien lire \9ifig. 38, on devra se rappeler que nous la supposons trac^ sur le plan vertical D'OA' comme tableau de perspective; ainsi toutes les lignes ponctuees sont derridre ce plan. Apr^s tout, comme il est assez difficile de donner une id6e nette de la forme de ce paraboloide par un dessin en perspective, on fera bien de consulter un module en relief qui peut se construire aisement au moyen de simples ills tendus en ligne droite suivant une certaine \oi\ voyez les v^ 555, 556 et laySJ?. 120. Quant k I'^quation du paraboloide hyperbolique, rapport^ au sommet pour origine des coordonn^, et a I'axe OX comme axe des x, elle est
CHAPITBE U. — DES PLANS TANGEKTS EN Gl&NEEAL. ^5
structions varices; et plus tard, nous nous occuperons specialement de ces deux classes de surfaces qui sont trfes-importantes.
93. Revenons maintenant a la question indiquee n^ 69, et qui avait pour but de trouver un mode de reprdsenter graphiquement une surface. Or, puisque, d'apres la definition generale donnee au n^ 70, une telle grandeur est toujours produite par le mouvement d'une certaine ligne, il sufBra, pour atteindre le but propose, de mctrquer sur les plans de projection diverses positions de la g^n^ratrice, assez nombreuses et assez rapprochees pour que ce systime de courbes puisse peindre auxyeucc la continuite de la surface^ sa courbure, ainsi que I'etendue de ses nappes. D'ailleurs, parmi les generatrices de diilerente espece qu'admet toujours une meme surface, on devra pr^ferer celle qui, par sa simplicite ou sa regularite, est la plus propre a faire image ; et quelquefois, pour mieux atteindre ce but, on tracera en meme temps deux systbmes de generatrices, tels que seraient les meridiens et les paralleles dans les surfaces de revolution. G'est effectivement par des moyens semblables que nous avons deja figure, sur nos dessins en perspective, les diverses surfaces dont nous avons parle dans ce chapitre.
94. En outre, il est aussi tres-utile de marquer les traces de la surface, c'est*k*dire ses intersections avec les plans de projection, ainsi que les contours en dedans ou au dehors desquels se trouveraient projetes tous les points de cette surface, lorsque du moins il existe de pareilles limites ; car ces contours sont des especes de protiis, qui accusent d'une maniere souvent tres-sensible les formes des objets : mais, pour apprendre k determiner exactement ces contours, il faut que nous ayons parle des plans tangents. Observons toutefois que, quand la forme de la surface nous sera bien connue d'avance, nous pourrons nous borner, pour simplifier nos dessins, a employer seulement quelques-uns des moyens de description dont nous venons de donner le detail.
