LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS

met (S, S'); d'ouil resulteque si Ton construit (n^27) leur intersection qui est projetee suivant PR et P'R', il devra arriver que la premifere de ces lignes passe par S et Tautre par S', ee qui fournira une verification des constructions anterieures. D'ailleurs les traces verticales devront toucher en F' et F'' la courbe suivant laquelle le cone est coup6 par le plan vertical, courbe qui se construira en cherchant les points oil les diverses generatrices vont percer ce plan de projection.

125. Mener un plan tangent a une surface conique, parun point donnd au dehors.

[Fig.l\'x.) Soient encore ABC la base du cone et (S, S') le sommet; on determinera, comme ci-dessus, le contour apparent de la surface sur chacun des plans fixes, et nous representerons par (N, N') le point assigne dans Tespace. Le plan tangent que Ton cberche, devant contenir une generatrice, passera par le sommet (S, S'), et, par suite, il renfermera la droite (SN, S'N'); done, en cberchant le pied (P, P') de cette droite, et en menant a la base les tangentes PEQ, PGV, ce seront les traces horizontales des deux plans tangents qui satisfont a la question. Quant aux traces verticales, on les determinera par le moyen de la droite (SN, S'N') contenue dans les deux plans, ou bien par le secours des aretes de contact de ces plans, lesquelles sont evidemment (SE, S'E') et (SG, S'G'). On pourrait encore employer une horizontale auxiliaire menee dans cbaque plan par le point (N, N'), comme nous Tavons deja fait plusieurs fois.

124. Trowerun plan qui soit tangent a un cdne, etparallele a une droite donnie. {Fig. 4^2. ) Conservons les memes donnees que precedemment, et soit [mn^m'n') la

droite k laquelle le plan tangent doit etre parallble. Comme ce plan passera necessairement par le sommet, si nous menons de ce point et parallelement a (m/i, m'n')' la droite (SP, S'F), cette derniere sera evidemment contenue dans le plan demande ; par consequent, la trace (P, P') de cette droite appartiendra a la trace horizontale du plan tangent, laquelle sera Tune des deux tangentes PEQ, PGV menses k la base. II y aura done encore deux solutions, et les traces verticales de ces plans se determineront comme au numero precedent.

125. Puisque tout plan qui est tangent a une surface conique dans un point, touche necessairement cette meme surface tout le long d'une droite (n^ 100) , la remarque faite au n® 118 s'applique ici; et il en resulte qu'on ne saurait exiger qu'un plan soit tangent a un cone, et passe en meme temps par une droite ou par deux points donnes; k moins que la droite qui reunirait ces deux points ne passat t^lle-meme par le sommet, caralorscela reviendrait a n'assigner qu'un seul point exterieur, comme au n*^ 123.

En terminant ce chapitre, nous ajouterons quelques probl^mes dont nous indiquerons seulement les moyens de solution, en invitant le lecteur a s'exercer au trace de ces epures.

126. Par une droite donnee, mener un plan qui fosse ^ avec le plan horizontal^ unangle determine a. D'un point quelconque de la droite on abaissera sur le plan horizontal une perpendiculaire et une oblique, en dirigeant celle-ci parallelement au plan vertical, et de maniere que sa projection sur ce dernier plan forme Tangier

CUAPITRE IV. — PLANS TAR6ENTS AUX SUaPACES DE R^OLimOlf. B^

avec la ligne de terre. Alors^ ea imaginant que cette oblique tourne autour de la • veriicale, elle decrira un cdne droit dont la trace horizontale sera un cercle bien facile a determiner, et dont toutes les aretes se trouveront aussi inclin^es sous Thorizon d'une quantite angulaire a ; par consequent, si Ton mene a ce cone un plan tangent passant par la droite donnee, ce qui rentre ici dans le problfeme du n® 125, on obtiendra evidemment un plan qui satisfera aux conditions assignees par la question.

127. Menerd un cylindre donnd, un plan tangent dont VincUnaison sur le plan horizontal soit a. On construira, comme dans le problfeme precedent, un c6ne de revolution dont les aretes fassent Tangle a avec le plan horizontal; puis, en tirant par le sommet une droite parallele aux generatrices du cylindre, et faisant passer par cette droite un plan tangent au cdne (n^ 123), il restera a mener au cylindre un plan tangent parallele acelui-la, problemequi se resoudra, comme au n^ 117, en menant a la base du cylindre une tangente parallele k la trace horizontale du plan qui touchait le c6ne. On sent bien que le probleme deviendra impossible, lorsque la parallble menee par le sommet du cone aiixiUaire aboutira dans Tint^rieur de sa base.

Si Ton proposait la mime question pour un cdne defini par une base quelconque, il faudrait modifier la solution en prenant pour sommet du cone de revolution le point meme qui sert de sommet a la surface conique assignee par le probleme; ensuite, on devrait mener une tangente commune aux bases de ces deux cones, et ce serait la trace horizontale du plan demande.

128. Par un point donnS, mener une droite qui soit tangente a une surface conique et parallele a un point donnS.

Mener a un cdne ou dun cylindre un plan tangent qui soit perpendiculaire d un plan donnd.

Etant donndes les deux projections de I'a^xe d'un cylindre de rSi^olution, avec la grandeur de son rayon, trouver sa trace horizontal et son contour apparent.