EST D0NN

129. [Fig. 43-) Puisque par chaque point M pris sur une surface de revolution (n^' 75), il' passe toujours un meridien AMD et un parallele FMG, si Ton construit les tangentes MT et MY k ces courbes, et que Ton mene un plan par ces deux droites, ce sera (n^ 103) le plan tangent de la surface en M. Or la tangente MV, situee dans le plan du cercle FMG, est evidemment perpendiculaire a la fois au rayon MO et a I'axe AO; done elle Test aussi au plan meridien AOM, et par suite le plan tangent qui contiendra MY sera lui-meme perpendiculaire sur ce meridien. Cette consequence etant independante de la nature dela courbe AMD et de la position

Gcometrie Lerojm "

du point M, il cfft ?6Stllte c6 thedi^feme rfemai^quable f Dtt/i^ /oii<<? iai/«ice rfe n^olution, le plan tttHgeni eit pefpehdkulaire aU plan mifidien qui passim par k point de contact.

IW; Efl ffldbsrtltslu poiftt M utie nopmale MN a la sUrfoce, cette droite, perpendicdlairt kU pkh taiigenl, se tr&uvel^a liiScetoaitettieflt renferm^e dins le plan meridien AMD J doii6, daasloiite stirfa(5e de f6lrolution. Id normcUe va retteonirer lasbe.

Dd p\m, 6ette i^etidontre se fait au m^me point, pour toutes les normales MN, PN, FN,..., qui repondent k un mfime parallele. En efifet, lorsque le plan meridien AMD toiiriie autoui* de I'axe, en enttiiifiattt avec lui les droites MN et MT, la pre- Wiifefetfe ccJsse pa& d'etre perpendicultfire a Tautre; en outre, cette droite mobile Ulllf, tottloiifs ftnftf^M^ dans le plan iftferidieti, se trouve, cortime eelut-ci {n^ 129), pefp<ttdfif6«triilref i^u^essivdnifetit \ ch^qtte tanfgetitct MY du parallele ; done MN est Ken pWpffeftdlciilaire If delix tangentesy et par cond^ueht normale k la surface; daris tottt*sl#s posStio-fisf qtt'etle occupe eti toUfnant autoiir de Taxe AD. D'ailleurs; {Mfis^^ d^tls ee' mouteufifent le point N de la tierrnale MN reste immobile, il en F^^altcf (|ue tcniUs^ le^ Aotmalei menses le long d'tin mifne paraltik forment toujauh Un c6he MofT dtint lif s&mmm est stir Vdace : liiais ce sommet change en passant d'un parallele a un autre.

Aprfes dfvoi^ falit i^efmarquei^ ces propri^t^s g^m^frsAes et comiAmres k toutes les surfaces de r6vo>irtion, noiis allons nous oteciiper de la construction do plan taftgeht.

131 . Paf un point donni stir une surface de r^olution dont le mSridien est connu^ menet tin plan qui sort tdtngeni a cette surfojce,

{Fig, 440 Pour simplifier les constfuctioTis, choisissons notre plan hoffz&ntal de inanifere qfu'iJ SOtt perpendicrtaire \i Taxe de revolution : alors cette droite se trouvant verticale, elle sera projetee horizontalement en on poiAt O, et verticalemerit stiivant la drOite O'Z' perpendiculaire ^ la ligne de terre. Soil d'aillenrs A'B'D' la projection du meridien principal, c'est-a-dire de celui qui est parallele att plan vertical, 6t qui se trouVe projele horizotitalement sur OB parallele a la ligne de terre : ici ce m^ridl^i^ est tttte ellipse dont un des diamfetres principaux coincide avec Taxe de rotation, et par suite la surface sera un ellipsoide de revolution (n*^ 79); mais les raisonnements et les constructions seraient enti^rement semblables pour toute autre courbe meridienne. Le plus grand des paralleles, ou bien Vdquateur de la surface, est evidemment le cercle decrit par le demi-a^e C'B', lequel se projette horizontalement sur un cercle BKE egal au premier, et forme le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal (n^ 106); en effet, tout le long de f^quateur (B'E', BKE) les plans tangents sevoni veriicauXf puisque chacun r^nfermera la tdfngente du meridien, laqnell^ est une verticale comme B'B. Quant au contour apparent de la surface par rapport au plan vertical, ce sera le meridien pn>M?ipf«l(A'B'D'E', BE); car ce coiitour doit etre formfe (n** 106) par les points de conl^ct de tous les plans tangents perpendiculaires au plan vertical : or les plans AMgente lelong de cette courbe meridiehne sont (n^ 129) tons perpendicufoires k son plan, et par suite au plan vertical de projection. Noiis n'ajouterons pas iei d'autrei^ positions de la gen^ratme poUr figurer (n^ 95) la forme de la surface^

CDAPITRE IV. — 1ILAV8 VANGBNi'S A0X SURFACES UB mhmLVTUOI. (9

parce qu'eile est suffisammeDt iadiquee par ee qui prie^de; raais bous verroDS cependant plus loin (n"" 137) la oianiere de eonptvuira ies pve|(etioBS ({'autaut de courbes meridienBes que Ton voudrait en tracer.

132. Gela pose, soit M la projection horizontale du paint dapni mr<M durfaoe; U ne faudra pas prendre arhitr^iresaent la seoonde projection de ee poi^t* ptiiaqu'il doit etre situe a la rencontre de la verticale M avec le meridien projete suivant OK. Or, si Ton fait tourner oelui-ci autour de Taxe ( 0,0' 2- ), juaqu'a ce quHl eaincide avec le meridien principal OB, il se trouvera alors projete Y6rticaleaieat auiraat A'B^D', et eoHime, par suite de ce deplacement, la projection M aura decrit Tare M6^ ap en eendura que la projection verticale du point cherche se trouvd acjUiaUeoAcnt eii Q' ou en G'^ Maintenant si Ton ramene le meridien mobile dana la poaition OK, le point en qqestion, qui pendant ce mouvement ne changera paa de hauteur, Fec^tera prejete verticalement sur rhorizontale6'F ou 6''P; d'eii il suit 6videai(nent que, dans aa position primitive, il qtait prejele vei^ticalemeat en M' ou ea M'^ 9 aiqsi, il y a snr la surface deux points (M, M') et (M, M'') qui sanf l^ua et I'autre projet^ horizontalement en M.

i^3. {Fig. 44-) €onsidirons le premier (M, M') de cea points, et poup deter* miner le plan tangent qui s'y rapporte, noua rasaujettirons fn^ 103) a passier par deux tangentes de la surface, savoir ; la tangente au meridien et la tapgente au parallfele; mais, comme la projection de la courbe meridienne relative au point (M, M') n'est pas donnee. imm^diatement, et qu'aiqsi nous ne pauvoaa pas lui mener directement une tangente, nous rabaltrons encore le plan veptical OMI^ &^r le meridien prindpat OB. Par la le point (M, M') sera transpojpte en (G, G-), et il seta facile alors de coi^str^ire la tangente G'H- qui viendra pf rcer le plan horizontal au point H sur OB : puis, si Ton ramene le meridien mobile dans ta position OMK, le pied H de cett^ tangente decri^a evidemment un are de cerele termine en T, tandis que le point de contact Q' reviendra en M'; dpnc, en prQJetant le point T sur la Ugne de terre, on obtiendra M'T' et AIT pour le^ projeelions de la tangente au meridien qui passe par le point (M, M')- OAiservons d'aiUeur^ que ce^te tangeqte prolonged doit rencentrer I'ax^ de la surface, au meme poiqt 2' ou abautii^ sait la droite G'H'.

Quant au pa^fall^le relatif k ee point (M, W), il efd evidemmeat projete aur le cercle GMF et sur G'F; par consequent, aa tangente est Tborizonlale (MY> MT^) perpendicplaire au plain meridien OMK. Maintenant, le plan qai re«|ern^era las deux tangentes ainsi Seterminees, aur^ pour trace hojrizontale upc droite TU paasant par le pied T de la premiere tangente, et meaee paraU^^emeat a MV qui est one horizontale contenue dans ce plai^ tangent; puist an auia la tr^ee \erticale UV de ca meme plan, en construisant le point V ou la draite ('filY, DA' Y') va tfifcei^ (e plan vertical.

Le plan taiigeplpelatif au point (M, M'') a'ohtiendra d'une mani^ anaJiog^^, en rabattant d'abord le point W en 0" sur* le Bi^ndien priacipah et men%nt a ^lai-^ci la taageifte G^'L'. i^suita le pied (L, V) de celte draita etaat ramwe d^nt la mvir

€p IJVBB n. — DBS SURFACES ET DBS PLANS TAHISBHTS.

dien 0E» viendra en R; et comme la tangente aa parallble est ici (MV, WW"), les traces du plan tangent seront RS parall^le MY, et SV".

134. II est bon de remarquer que, d'apres la direction de la tangente MY au parallelet cbaque plan tangent a une surface de revolution aura toujours sa trace horizoniale perpendiculaire aceUe duplan meridien qui passe par le point de contact, du moins tant que Taxe de la surface sera vertical.

135. Observons encore que les deux plans tangents en (M, M') et (M, M''), ayant leurs traces TU et RS paralleles» devront se couper suivant une horizontale; ety par suite dela symetrie de la surface actuelle> cette horizontale sera situee dans le plan deTequatear E'B'. En effet, comme les tangentes G'H' et G"U a Tellipse meridienne se rencontraient necessairement en un point a! situe sur Taxe de cette ellipse, ce point transporte en 6' dans le meridien OK avec les deux tangentes, leur sera toujours commun, et restera dans le plan de I'equateur E'B' : done Thorizonlale, qui est Tintersection des deux plans tangents, passera par le point &\ et c'est aussi pour cette raison que les traces verticales de ces plans doivent se couper en un point V situe sur la droite E'B'§' prolongee.

136. {Fig. l\[\.) Pour obtenir la normale de la surface de revolution au point (M, M'), on se rappellera (n^ 130) que toutes les normales, le long d'un meme parallele, vont couper I'axe au meme point, et que d'ailleurs cbacune est renferm^e dans le plan meridien qui passe par le point de contact. Ainsi, apres avoir rabattu sur le meridien principal le point M' en G', on tirera par ce dernier une droite G'N' perpendiculaire k la tangente G'H'; puis, en joignant le pied N' de cette normale avec le point donne M', on obtiendra la normale N'M' relative a ce dernier point. C'estlk du moins sa projection verticale; et quant a sa projection horizontale, elle tombe evidemment sur OM.

Observons ici que cette normale ^tant perpendiculaire au point tangent TUV, les traces de ce dernier devront se trouver (n** 33) respectivement perpendiculaires aux droites OM et N' M' y ; ce qui ofTrira une verification des constructions dejk effec* tuees pour le plan tangent, ou meme, si Ton veut, un moyen de trouver a priori ses traces, puisque alors il s'agirait de mener par un point connu (M, M') un plan perpendiculaire a la droite (MO, M'N'). Voyezn'' 36.

137. On a vu (n^ 132) qu'il 6tait facile, en partant de )a projection horizontale M d'un point de la surface, de conclure la projection verticale M' ou M" : si done on applique le meme proc^de k divers points K, M, Q..., pris dans le plan meridien OK, on pourra ainsi construire la projection verticale de la courbe meridienne renferm^e dans ce plan, et cette courbe devra etre tangente aux droites TM' et R'M''; puis, enrepetantla meme operation pour d'autres plans meridiens que OK, on obtiendrait autant de positions que Ton voudrait de I'ellipse mobile A'B'D', ce qui servirait k completer la representation graphique de la surface.

Cest aussi par des operations analogues, qu'etant donn^es les projections d'une gendratrice quelconque d'une surface de revolution, on en conclurait facilement le meridien principal, ou toute autre section meridienne. On pourra se proposer,

CHAprrn iv. — plans takoerts aux svbfaces de RivoLcnoir. 6f

eomme exemple, le cas oil cette g^neratrice est unedroite qui ne rencontre pets I'axe; et aiors on trouvera que la meridienne est une hyperbole, ainsi que nous le verrons plus loin (n^ 148).

138. [Fig. l\S.) Du plan tangent au TORE. Si Ton fait tourner un cercle (A'B'C'B'', ABC) autour d'une droite (0"Z', 0) qui ne passe point par son centre, mais qui est situee dans son plan, ce meridien circulaire engendrera une esp^ce de surface annulaire^ nomm^e xyxutore^ dont tons les points seront projet^s horizontalement entre VSquateur decrit avec le rayon OC = O'C, et le cercle de gorge decrit par le rayon OA = 0' A' : mais il faut bien remarquer que les deux demi-cercles B'C'B" et B'A'B*' engendreront deux nappes tres-differentes de forme, quoique Tune et Tautre viennent se reunir le long des circonferences parcourues par les extremites B' et B" du diametre vertical. La nappe ext6rieure est convexe^ c'esta-dire que toutes les courbes qui y seraient tracees par un meme point (N, N^), se trouYeraient situees d'un meme c6t6 du plan tangent en ce point. En efTet, pour d^terminei' ce plan, il faut construire la tangente NT' du meridien, et par le pied P de cette droite, mener une perpendiculaire PP' k la trace ON du meridien (n*^ 134); or on voit que la meridienne B'N'B* et le parallele NT sent tons deux a gauche du plan tangent NTP; et quoique nous ayons choisi le point (N, N') sur le meridien principal, afin de rendre plus simple la construction du plan tangent, il est bien evident que les memes circonstances arriveraient pour tout autre point de la nappe exterieure, puisqu'elle est de revolution et, par consequent, symetrique tout autour deraxe(0"Z', 0).

Au contraire, si nous prenons un point (M, M') sur la nappe interieure, le plan M"T'T, tangent en ce point traversera la surface; car le meridien B'M'B" sera evidemment a droite de ce plan, tandis que le parallele M'V se trouvera k gauche : aussi le plan M'TT coupera le tore suivant une courbe a noeud, qui est representee en projection horizontale par (MHEGE'^MA^^a'^M), et que nous apprendrons plus tard k construire {poyez n^ 267). Mais cette intersection n'empeche pas le plan M'T'T de renfermer les tangentes du meridien, du parallele, et de toutes les autres courbes tracees sur la surface par le point (M, M') ; de sorte que ce plan est reellement tangent au tore en cet endroit, et secant dans tons les autres points communs; circonstance qui tient k ce que la nappe interieure est une surface non corwexe ou a courbures opposdes, tout k fait comparable k la gorge d'une poulie.

139. Dans Tepure actuelle, ou nous avons voulu representor les principaux paralleles de la' surface, une partie dela trace verticale M' T' duplan tangent k la nappe interieure, se trouve, il est vrai, cachee par le tore; mais nous avons ddi neanmoins la laisser en trait plein, parce qu'elle regoit la projection verticale de la courbe d'intersection, dont la branche anterieure hrefg est visible sur le plan vertical.

140. HYPERBOLOIDE DE REVOLUTION a une nappe. Nous avons nomm^ ainsi (n^ 84) la surface que decrit une demi-hyperbole en tournant autour de son axe imaginaire; mais cette surface, qui jouitde diverses proprietes tres-remarquables, peut encore etre engendree par une droits assujettie a tourner^ par un mouvement de