UVBB II. — Vm SUBFACES BT INM PI^ANS TANGENTS

revolution, autour d'une autre droitefisoe qui finest pas dans un n^imephm wee la premiere.

Pour le d^moDtrer, representons la droite fixe par OZ {fig'^'])^ et la droits oiobila par ADM : soit OD leur plus courte distaace qui sera hprizontate, si Ton regarde Faxe OZ comme vertical. Cette ligne OD d^rira daiisle mouvemeBl de revolution autour de OZ, un cercle horizontal EDF qui sera evidemment le plus petit des paralleles, ou le cerde de gorge de la surface; et 1^ tangente DP a ce cercle sera necossairement la projection horizontale de la droite mobile ADH; d'oii il ^uit qu0 cette droite ira pereer le plan qieridien quelconque ZOX, en un poiiit M situ^ sur la verticale elevee par le point P ("). Or> si I'ob construisait ainsi tous \^ points M, M% F,... dans l^squels le plan fixe ZOX estsucGessiveaient rencoatite par la 4rQit0 mobile ADM dans ses divei^es positiims, on obtiendrait la miridi^ne MM^F de la surface engendree par cette droite; et» par coBsequent, la questioB est reduite % prouver que cette courb^ MM'F est une hyperboJe qui a pour demi^axe r^cl la distance OG = OD. Pour y parvenir, rapportons le point quelconque M ^ des CQOihdonnees paralleles aux axes OX, OZ; et comm« la disfonce OD reste invariable pendant le mouvement de la generatrice, aussi bien que Tangle MDP formi^e pw oell^-rci avec rhorizon, posons

OP = 0?, PM = z, OD = <^, tang MDP = a; alors le^ triangles rectangles MPD et QDP dop^eront

Ttmn MP MP

t^ngMnp = ^ = ^^==; ou bien, en substituant les notations prec^dentes,

a = f » d'od a* a?* — «* s= a*^*;

equation qui prouve que la meridienne est bien qne hyperbole qui a pour demlrgxe reel x = d\ done le lieu parcpuru par la droite mobile ADM est effeotivemeqt un hyperbolo'ide de revolution a une nappe.

141. Cette surface admet une seconde geniratrice rectiligne; en efiet, si dws le plan vertical MDP tangent au cercle de gorge, on trace une droite BND qui fa£^, avec la verticale DY, un angle NDV egal k VDM, cette ligne BDN, en tourn^nt au^i auto^r de OZ, engendrera lamSmesiafaee que ADM, parce que deux points quelconques M et N, pris a la oierne hauteur sur ces droites, decriront le meiue circle MNL* Pour, justifier cette demiere assertion, il suffira de joindre deux k deux lea points fif, N,Z, V, oil un memo plan horizontal rencontre les diversesliguesdont nous venous ^ parler ; et, a I'aide des triangles rectangles MVD, NVD, qui sout evidemment egau3(, on tlemonlrera que les triangles rectangles ZVM, ZYN le sont pareillement ; d'oii

(*) La figure %st cens^ construitei en perspective sur ca plan ZOX comme tableau; el, par ooni^AiueDt, toutas leg lignes princiivdea situte derri^jre w plan o«t M poAQtuto. *

CHAPlTltE IV. — PI.AJffS TAl^GENis; AtX SURFACES l>k Al^VdLUTION. 63

I^oti cbnclufa que ZM = !!N, fet qu'aiiisi les dfeUi polhtd M et N se ttouveht bieri ^ h it)i§ine distance de I'axfe OZ. II riisulte de \\k qii'll existe sur Thyperbdloidift deux system^s de droites,

Af A^f A^f*»» ei Dy -D^y I^B'***9

doht le premier se compose des positions successives qiie prend la geh^ratrice At), et ledeuxiSmedesdiVerses positions occupees par BD. D'ailleurs, pui'sque toutes ce's droites sont deux k deux dans des plans yerticaux, tel& qu& MDN, il s'eti^uit que iouies tes generatrices des deux i^s times se projetteM^ sur le cerble de gorges ^want des tdngenies a cette circonferehce,

!«• I*ar chaqiie point R de la sui'face il passe deux de ces droites; car leis g^nlS^ ratrices AD ettiD Viehdrorit passer, a deux 6poques difTferentes de leur r^vdlution, par ce point R; etellesy occuperont deux positions necessairement diStincteS ftAg, Rtia, piiiscjiie la preihiere sera situee a gauche, bt la seconde ^ droite du ^hu rti^ridien Zdtt. 11 siiit de Ik que le plan tangent en ft sera diSterminfe (n** 105) pit* Tehsemble des deiix drbiles RA, et RB^, puisque ces lignes se trouvent sur la isurfece, et qu'elles sont elles-memes leurs propres tahgentes. Mais il importe beaucoup d'observer que le plan AsRBs^ quoique renferniant la droitfe RB2 toutentifere, nesera pas tangent dans un autre point de cette ligne; car en Da, par exemple, le plan tangent sera AjDaBa; or ce dernier ne peut coincider avec AaRfij, jpairfe qlii^ les deux generatrices AsRet AsBa appartiennent au mfime systfeme, et dfes lors lie saiirdetit 6tre contenues dans un meme plan, comme nous allons le demontrer.

145. {Fig. 47.) Deux droites AD et A^Dj, qui appartiennent au mSme systemede generatrices y he se trouveni jamais dans un m.Smeplan. En effet, ces droitts 6tant projeiees horizontalement sur les tangentesDT etD^T qui se coupent en T, ne poui-raient avoil' de communs que les points qui sont situes sur la verticale TS; or cette vefrticale ira evidemment rencontrer A2D2 en S au-dessus du cercle de gorge, et AD aU-dessbusen S', parce que les parties inferieureis de ces deux generatrices du mfeme s^stfeme Sont inclin^e^ TUne et Tautre k gauche de leurs m6ridiens respectife ZODj et2;0D, tel (j[ue Ife point 1" est entre ces m^ridiens. Done, t^ Ifes droites AD et A^Dj ne sauraient se rencontrer; 2^ elles ne sont pas non plus paralleled, car Ifeurs projections hori2bntkles se coupehten T; ainsi^ il reste d^itiontre que deux generatrices da systfeme A ne se trbtivent jamais dans un meme plan.

A la yerite, les prbjections horizontales de deUx de ces droites se tirduveront paral- Ifeles, quand dh cotnparera celles qui passent par les ejctr6mites d'un m£me diaittfetredu cercle de gorge; tnais, dansl'espaee. Tune de cte generatrices sera inctinee k di^oite, et I'iiutte a gauche du plah m6lridien mene par eediam^tre, de sorte qu'elles seroht loin d'etre paralleles entre elles ; et d'ailleurs il est bien etidetit qu'alors elles ne pourrbnt pais hbn plus se tOuper.

On demontrera d'une maniere toute semblable que les droites B, Ba, B,,... du second systeme ne sont jamais deux a deux dans un meme plan.

144. Chaque droite du systeme A coupe (sans changer de position) toutes les droites B} 6a, B,,«,. €le rcuUre systime. Gela est evident pour AD et DB qui sont dans le

64 UVRE n. ^ DES SURFACES ET DES PLANS TA1V6E1ITS.

m^me plan vertical; mais comparons AD avec une droite quelconque BjDa de I'autre systeme. Ges deux lignes sont encore projetees sur les tangentes au cercle de gorge DT et DjT, et puisque celles-ci se coupent en T, la verticale TS' ira necessairement rencontrer les droites en question AD et B2D2; mais cette rencontre aura lieu pour chacune d'elles au-dessous du cercle de gorge, attendu que DA estinclinee a gauche du meridien ZOD, et D^Ba a droite du meridien ZOD^^ tandis que le point T se trouve entre deux. D'ailleurs, d'aprfes la forme de la meridienne, il est evident qu'une droite comme TS', qui est parallele a Taxe OZ, ne peut percer la surface qu'en deux points, dont un seidS' sera sur la nappe inferieure au cercle de gorge; par consequent, ce point unique devra coin cider avec ceux oil la verticale TS' a dejk rencontre les generatrices DA et D^Bs qui sont sur cette nappe; done ces generatrices se coupent effectivement au point S'.

II faut seulement observer que quand on comparera deux droites appartenant Tune au systbme A, Tautre au systeme B, et passant par les extremites d'un meme diamfetre du cercle de gorge, ces droites auront les projections parallbles, et elles seront elles-memes dans Tespace parallSles Vune a r autre; de sorte que leur rencontre n'aura plus lieu qu'a une distance infinie, mais du moins ces deux generatrices seront encore dans un meme plan.

On demontrera d'une maniere analogue que chaque generatrice du systeme B coupe, sans changer de position, toutes les generatrices du systeme A, ou du moins se trouve dans un meme plan avec chacune d'elles.

i45. On designe sous le nom general de surface gauche, toute surface engendree par une droite qui se meat de teUe sorte que ses positions consecutives ne se trouj^ent pas deux a deux dans un m6me plan. Or, en considerant Thyperboloide actuel, soit comme lelieu des diverses positions A, A2, A,,... queprend la generatrice AD dans son mouvement de revolution autour de OZ, soit comme le lieu des diverses droites B, B2, B„... de Tautre systeme, on voit (n^ 143) qu'il satisfera a la definition pre* c^dente; par consequent Thyperboloide de revolution a une nappe appartient a cette classe generale de surfaces que Ton nomme gauches, et dont nous nous occuperons d'une manibre speciale au livre YII.

146. {Fig. 47- ) Si par le centre de Thyperboloide, on mene, parallelement aux generatrices DA et DB, deux droites Oa et 06, celles-ci formeront des angles egaux avec la verticale OZ, et par consequent elles decriront, en tournant autour de OZ, un seul et meme cone droit dont toutes les aretes seront respectivement paralleles aux gendratrices A, A2, A,,... et B, B2, B,,... de Thyperboloide. Ce sera le c6ne asrymptotique de cette dernibre surface; car, pour le deduire de celle-ci, il suffit evidemment de poser

OD = (f = o, dans a'ir»-a« = a*(f»

qui representait (n** 140) le meridien de Thyperboloide : or, par cette hypothese, on obtient pour le meridien du cone droit, z = ± ux; c*est-k-dire deux droites qui sont bien les asymptotes de Thyperbole precedente.

GBAPITRB IV. — PLANS TANGENTS AUX SURI ACF.S DE RlSvOMmON. 65

147. D'ailleurs, lorsque Ton fait varier la distance &, sans changer a ou TinclinaisoD de la g^n^ratrice AD, on obtient successivement divers hyperboloides qui ont pour meridiens des courbes semblables; car les axes de Thyperbole sont ^ et ol&, et leur rapport est a, quantite independante de la distance &. II resulte de Ik que tous ces hyperboloides sont des surfaces semblables et concentriques; et comme cettc similitude doit s'^tendre aussi au cone asymptotique pour lequel & est nulle, on pourra affirmer que, quand un mdme plan coupera Thyperboloide et le c6ne asymptotique, les sections faites ainsi dans ces deux surfaces seront des courbes semblables et concentriques (*). Cette remarque nous sera utile plus tard.

148. Api^s avoir fait connaitre la nature et les principales proprietes de I'hyperbolo'ide engendre par la revolution d'une droite, occupons-nous maintenant de la representation exacte de cette surface au moyen de deux plans de projection. Nous regarderons toujours I'axe fixe comme vertical, et alors ses projections seront et rO'Z' {Jig. 46); quant k la droite mobile, prenons-la dans une situation quelconque ou elle sera projet^e suivant ADB et A'D'S; puis construisons d'abord la meridienne de la surface, en cherchant les points dans lesquels le plan vertical OG est rencontre par les positions successives de la droite (AB, A'S). Or, d^jk dans la situation actuelle, cette droite perce le plan 06 au point (M, M"), lequel appartient k la courbe demandee, et celle-ci devra toucher en ce point la projection A'M''§. En eifet, quoique dans I'espace la tangente de la meridienne et la droite (AB, A'S) soient tr^s-distinctes Tune de Tautre, ces droites sont neanmoins situ^es toutes deux dans le plan tangent de la surface au point (M, M''); et comme ce plan est necessairement perpendiculaire (n^ 129) au plan meridien OG, etpar consequent au plan vertical de projection, il arrivera ici que A'S se confondra avec la projection verticale de la tangente, et qu'ainsi la droite A'S touchera elle-meme la projection de la courbe meridienne en M''.

Ensuite, un point quelconque (/i, n') de AB d^crira, pendant le mouvement de revolution, un arc de cercle projete sur nN et sur Thorizontale n'W : done ce point (n, /i'), quand il arrivera dansle plan vertical OG, se trouvera projete en (N, N'); ainsi ce sera Ik un nouveau point de la courbe meridienne G'N'M'G'', et tous les aut'res se construiront de la meme mani^re. En appliquant ce precede k Textremite (D, D') de I'horizontale (OD, O'D'), qui est perpendiculaire k la fois sur Taxe et sur la g^neratrice, et qui mesure leur plus courte distance, on obtiendra le point (F, F) de la meridienne le plus rapproche de Taxe, et c'est ce point qui, dans la revolution complete de la droite mobile, decrira le plus petit des parall^les de la surface, ou le cercle de gorge projete ici sur'DFE et E'F. De meme, le pied (A, A') de la gen^ratrice, decrivant un cercle ALG qui sera la trace horizontale de la surface, fournira un point (G, G') de la meridienne : et quoique cette courbe doive evidemment s'etendre d'une mani^re iliimitee, puisque la droite generatrice a ellememe une longueur indefinie, neanmoins, pour donner une idee plus nette de la

(*) Voyez VJnafyse appliquce a hi ^c(>mctne ilcs //wi.v diniv nutans, eh:. p. IX,

Geofnetric Leroy, 9

66 UVBB n« — DES SURFACES BT DUf PtA^S TlNG^IITS,

surface, nous admettrons que la dro^f:e qnobile e$t termin^e aux ^ev^n points ( A, A') et (B, g), egalement distant? du point (D, D') qm decrit le circle de gorge; de sorts que la portion de surface que nous considererons ici, sera termiaee ^ deu% cercles egaux projetes horizontalemept sur GAH, et verticalemept sur G'H' et Gr"W. Aureste, nous avons demontre (n*" 140) que le meridien G'FG" 6tait pne branebe d'hypprbole qui avs^it pour axe reel }e diametre E'F du cercle de gorge; et Ton devra pbseryer qu'ici, compiedffns tofite surface de r^VQl^tion^ fe mondien principal GT'G'' forme precisepient le contour apparent; d^ h surface par rapport au plan vertical, puisque tons \p$ plans tangents )e jioqg d^ ce m^ridiep lui sont perpendicur« lairei3(n'' 129). Par une raison semblabte, ie ppptour apparent de I'hyperboloide relativement au plan horizontal, est Ip cercle de gorge QF^ le long duquel tous leq plans tangents sont evideipment verticaux.

149. [Fig. 46.) Pour completer la rpprdsentatiop grapbiquo de cat byperboloide, d*apres le mode de gen^ratiop par uno )igne droite» il faut construiro un certain nombre de positions de cette generatrice rectiligpe. Or, puisqu'elle doit restep k une distance constants de raxe(0, Q'Z'), sa projection borizontale sera toujours taogente au cercle DFE; menons dopo a volonte la tangente AzD^Ba, puis projetpf)s le pipd As sur la ligne de tcrre cq A'29 ^ lo point de contact D2 sur KF en D'2; alors nous obtiendrops A'a P'2 S2 pour la projection verticale dela droite qui etait projetee ))orizontalemept suivant A3 B, ; d'ailleurs, l-extreinite S2 qui est sur le cercle superieur G"W\ devra evidemnient se trouver projetene en Bj* ce qui ofTrira une verification. Les autres positions de la generatrice s^ construiront d'une manierc analogue, et leurs projections verticales devront encore toucA^rl'hyperbole mer jdienne, ainsi que nous I'avons demontre au num^ro pr^c^dent pour I9 premiere droite ADB; seylement, il faut obsorver que quand on cboisira la projection horizontale parallele k la ligne de terre, compe KL, la projection verticale corresponidJxt^Q'Ssevdil'cisyTnptote de Thyperbole, puisqu'en effet une pareille g^neratrice qe rencontrera plus le plan meridien OG qu'a une distance infinie, sans cesser d'etre, en projection verticale, tangente kl'hyperbole meridienne.

4150. Pour obtenir des resultats plus symetriques, on a, dans Tepure actuelte, divise le perclp GAH en quatorze parties egales, et trac6 d'abord les cordes AB, A2B2» A3 Bs »..., de maniere k sous-tendre ua mdme nombre d'arcs partiels; par Ik ces cordes, n^cessairement igales, se sont trouvees tangeptes a un m^me cercle £DF» puis on en a deduit les projections verticalei^, comme nous I'avons dit au numi^ro precedent. D'ailleurs, quoique ces cordes aboutissent deux k deux aux ipemes points de division sur le cercle GAH, on distinguera aisement les parties situees au-dessous du cercle de gorge d'avec les parties superieures, puisque les premieres etant invisibles sur le plan horizontal, sont ici repr^entees par des kgnes ponctuees. Quant au plan vertical, les portions de generatrices situees au delk du plan meridien GOH qui renferme le contour apparent de la surfece (n^ 148) par rapport a ce plan de projection, sont les seules qui deviennent invisibles et qui aient dCi etre ponctuees.

GHAPltRE iV. — PLANS TANGENTS AVt SURFACES DE REVOLUTION. 6^

ISl. On sait (li**l4l) querhyperboloide admet un dutre systeme de generatrices rectilignes, projetees ^gatetnfetit sur les tangentes au fcercle de gorge AB, AaBj^M mais qui ont dans I'espace una pd^iti6ii inverse par rapport k la verticale. Par example, calla de cesnouvelles droiteSqui serait projetee suivant BDA (*), aurait soil pied en (6, fi') at soi extr^mii^ fetip6rietit*e en (A, a), tandis qu'elle couperait \A droits At)fi du prenilef systfeme au fxiirit (D, D'); ainsi elle aurait pour projection verticale B'D'a, ligne qui a deja re^u la projection d'une droite LMC du premier 8^stfehi€!. CAst pdtit' 6v^te^ cette cdiiiMBence que nous n'avonS pas voulu repr6- ^enier, silr Tepure, les geilerairices drisdeiix systfemes kla fois; car autrement, les pa^ftie^ ^leihei^ des Une^ tdmbant stir les pdrties ponctuees des autres, il n'aurait ^Ihi eik |]6^dible de disti^guer les portions visibles ou invisibles dans chacun des fiystfiiiie^. Au surplus, il sera toujours facile, th&tne sur I'epure actUelle, de retrouvfefles dfblt^s du systfeme B quand on en auM bfesoiii, ^uiscfu'il suffira de prendre les {)ohioi!s pl^ines pour les parties |)cfnctu6ei^, et t^eciproqudment, comme nous ven6ri^ de fifidiquer pour la dtoite Bl)A. On potirra aussi multiplier davantage les g^n^ratHced, sifin d'obtehir plus H'l^ffei Siius le de^sin; mais rious avons 6ru devoir ici sacHfier (|tielc(ue ch'bsel soils ce derbier rapport, afin d'offrir plus de nettete dans la pdsitidil d^s pdnts dt des lignes r^^'arquabled qu'il fallait Signaler k I'attention fiii lectetir.

l52{. {Fig. 46.) liu plan tangent ct Vhyperboloide. SoitRla projection horizonfale c(ii ^oirit de contact, assignee par la question : pour obtenir Tautre projection, j'observe que par le point cohsidere sur la surface, il passe urie geueratrice du systfeme A, laquelle est projetee horizontalement suivant une tangente PllA au cercle di gorke, k v^rticaleiAent s'iiivant Fa; si done je projette R en R' sur cette dernifere droite, j'aurai determine completement le point de contact (R, R'). Mais il y a une sfeconde dotation; car, puisque je veux mener de R une autre tangente BRQ dii ce^cte de gorge, laquelle representera aiissi une generatrice dii systeme A projetfee verticalement suivant B'Q", je n'aurai qu'k projeter i( en R" sur cette dernifere ligne, etj'obtiendrai un second point (R, R") qui sera situe sur Thyperboloide, et qtii Silica pareillemeni sa projection horizontale en R.

1S3(: Cela pose, considerons le point (R, R'), et rappelons-nous (n^l42) qu'il doit passer par ce point unique deux generatrices de rhyperboloide : Tune est la ai-oiffe (PftA, P'R'a) dfeja employee et qui appartient au systeme A; I'autre appartfent au systfeme B et serait projetee sur (QRB, Q'R'§). Done le plan tangent en (K, tt') devra renter mer ces deux droites, et par suite la trace horizontale de ce plan s^ra 0P^« l^our determiner I'autre trace SV, il suffira d'imaginer dans ce plan tangent fet par Id point (R, R'), une horizontale dont les projections seront RV parallele S li trac4 OPS> et R'V' parallfele a la ligne de terre; puis, on constriiira le poii't ( V, V) du cette horizontale va percer le plan vertical.

(*) Pour indiquer plus clairement la situation des diverges g6n^ralnces, nous aurons toujours soin de citer, en premier lieu, la lettre qui d^ignera Textrdmit^ infMeure de la droite dont nous parlerons.