LIVBE II. — DES SURFACES ET DBS PLANS TANGENTS
Quant au plan tangent relatifau point (R, R"), il se trouvera determine par les deux droites de systemes opposes, qui se coupent en cet endroit :
L'une est (BRQ, B'R'^Q") pour le systfeme A,
L'autreest (ARP, A'R"F) pour le systeme B.
Ainsi la trace horizon tale de ce plan sera la ligne AB» et la trace verticale s'obtiendrait, comme ci-dessus, par le secours d'une horizontale menee dans ce meme plan a partir du point (R, R")-
154. Revenons au plan tangent PSV qui touche Thyperboloide au point (R, R') {fig. 46), et remarquons que sa trace horizontale PQ se trouvebien perpendiculaire au plan m^ridien OR qui passerait par le point de contact, ainsi que cela doit arriver (n^ 134) dans toute surface de revolution dont I'axe est vertical : mais ce plan tangent PSV n'est pas tangent a Thyperboloide dans tout autre point, tel que (T,T') de la droite (PRA, P'R'a) qu'il renferme, puisque sa trace horizontale PQ ne saurait etre perpendiculaire au m^ridien OT. D'ailleurs, par ce point (T, T') de la droite (PRA, P'R'a) qui appartient au systfeme A, il passe une generatrice (HTBa, H'T^a) du systeme B, laquelle est ^videmment situee hors duplan dont nous par- Ions, puisque lepied de cette generatrice est en H hors de la direction de PQ. Par consequent, le plan PSV ne satisfait pas, pour le point (T, T'), a la definition du veritable contact, qui consiste k renfermer les tangentes a toutes les lignes situees sur la surface; tandis qu'au point (R, R') ce plan contient non-seulement les deux generatrices qui s'y coupent, mais aussi la tangente du parallfele qui est pr6cis6ment (RV, R'V) , la tangente du meridien, et celle de toute autre courbe trac^e par ce point sur Thyperboloide.
Nous avions dejk prouve cette propri^te singuliere du plan tangent k Thyperboioide gauche dans le n^ 142; mais nous avons cru devoir insister sur cette cir- Constance etTappuyer ici par de nouvelles considerations, parce qu'il importe de se former une idee bien nette de la position d'un plan qui est ainsi tangent dans un point (R, R'), et sicant dans torn les autres points commons avec la surface, qu'il coupe ici suivant les deux droites (PRA, P'R'a) et (QRB, Q'R'S).
155. Tousles problemes relatifs aux plans tangents, que nous avons resolus dans ce livre, portaient sur des surfaces cylindriques ^ coniqueSf ou de rdvolution. Nous n'en ajouterons pas maintenant de nouveaux exemples, pour d'autres genres de surfaces, parce que la methode se reduit dans tons les cas k employer le precede general indique au n^ 103, et que nous rencontrerons dans la suite assez d'occasions de Fappliquer; mais il resterait k traitor la question du plan tangent, lorsque le point de contact nest pas assignd sur la surface. Nous Tavons fait tout de suite k Tegard des cylindres et des cones, parce qu'ici la solution 6tait trop simple pour la differer; quant aux autres surfaces, il n'en est pas de meme, et Ton a besoin quelquefois de s'aider des methodes relatives aux intersections de surfaces; c'est pourquoi nous renverrons les problemes de ce genre k un des livres suivants.
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