CHAPITRE PREMIER

DES SURFACES Dl^VELOPPABLES.

156. Une surface est dite diSyeloppable lorsque, etant suppos^e flexible, mais inextensible> ellepeut itre itendue surunplan, sans dprouver aucun changement dans sa superficie. Or on sent bien que toute surface, par exemple une portion quelconque de sph^r8, ne jouit pas de cette propri^te; c'est pourquoi il deyra y avoir, dans le mode de g^n^ration d'une surface developpable, quelque condition particuliere qui lui permette de subir cette transformation, et c'est ce que nous expliquerons bient6t (n° 17S). Mais avant de nous 61eyer k ces gen^ralites, il nous parait utile d'examiner d'abord deux genres particuliers de surfaces qui peuvent ainsi etre diveloppdes sur un plan ; ce sont les cylindres et les cones. D'ailleurs, le moment est venu d'introduire ici les considerations de la methode infinitesimale qui, bien entendue, presentera toute la rigueur desirable, et offrira dans la suite le double avantage d'abreger les raisonnements, et de se prater avec facility aux operations graphiques de la G^ometrie descriptive.

157. La tangente d'une courbe etant la limite des positions que prend une secante, lorsque deux de ses points de section se rapprochent indefiniment, on pent considerer la tangente comme une droite qui passe par deux points infiniment voir sins sur la courbe, ou qui a un iUment de commun avec elle ; par la on substitue, il estvrai, a la courbe proposee, un polygone inscrit dont les cdtes et les angles exterieurs sont infiniment petits, et dont cbaque c6te prolonge remplace une tangente; mais toute propriete qui, dans un tel polygone, sera vraie independamment de la grandeur absolue de ses cotes et des angles compris, subsistera egalement lorsqu'on multipliera de plus en plus ces petites cordes en les rapprochant de la courbe ; par consequent, cette propriete aura lieu pareillement quand on passera k la limite, c'est-k-dire quand on considerera la courbe en question et ses veritables tangentes.

158. D'ailleurs, nous avons d^montre rigoureusement (n^95) que, dans toute surface, les diverses courbes trac^es par un meme point avaient leurs tangentes en ce point situees dans un plan unique ; done ce plan, que nous avons nomme tangent, pourra etre considere comme ayant de commun avec la surface un elAnent super^ ficiel forme par Tensemble des iUments lineaires communs aux courbes et a leurs

tangentes ; ce sera Terement de contact, qui se trouvera en general in/inimeni petit elans tous les sens, k moins que la surface ne soit d'un genre tel, que le plan tangent se trouve le meme pour plusieurs points conseculifs.

70 L1VRB' III. — SURFACES D^VELOPPABLES ET ENVELOPPES.

159. [Fig. 48-) Dans un cylindre, par exemple, noussavons (n**99) que le plan BAT est tangent tout le long d'une mfime geileratrice AMB; done ici ce plan aura de commun avec la surface un element superjficiel ABB' A' indefini en longueur, mais compris edtrei Ifes deux g^nSratHcSS iiifthiitifent yoisines qui jfiissent par les points A et A' communs k la base AC et \ sa tangente AT. On voit que nous distinguons ici, comme dans la note du n** 109, I* element de la surface d'avec la gindratrice; et cela est essentifel : cfei*, dans les silrfaces gauches, nous reconnaitrons que cette derniere droite sera commune aussi a la surface et au plan tangent, tandis que I'element superficiel indefini en longueur ne se trouvera pas tout entier d^n^ ce pidii.

de ttl^ine, une s(lt*foce conique qiii est ioiicli^e par son jptan tangeit tout le long d'tihe gfineratrice (n*^ 100), aura de commun avec ce plan uii element siij^erficiel iiid^ilnl et( longueur, mais compf is cintre deiix g^hetamces iriflniinent voisiries.

160. [Fig. 48.) tJNe suriPACE CYLiNDKiQbE ESt t6Cjodb(s bevfeLdPFAfiLfi ; car imaginons qii'eile k 6te coUp6e par ufl |)lan perperidiciilaire J( ses g6n6^atrices, ^iiHant Une ftourbe CA qui se tiommfe la' Section droite (*) Oii section orthogohdle dii cylihflrt, et qiie fious regarderons coilime sa biise, ou cottime \i dir^ectfice d6 la al'oitfe ttlol)ile'qui k erigendre cette surface; piiiS Substitiiohs, |)0Ur iiri rhomeht, 5[ cette cdii<*be tin polygone ihscriiCAA'A" [fig 49), ce qui transformera le cylindre en un jprJsme droit. Alors rioiis poUrrons faire tourner la face B"A" A'B' atitour de Tareite 8' A' to^iAk chardier6, jusqu'^ ce qu'elle vienne se placer dans le plan de la face B'A'AB; etpar la le c6te A' A", transporte ^n K!a'\ se trouvera ^itue sur le prolongerheiit de AA^ puisqu'ils continueront d'etre (ous fes deiix perpen'dicutaires k I'sif^te A^B'. fensUite, on poui'ra ^aire tourner la face compos6e fiAa"i" aiitour de la charnifete AB, jusqu'k ce qu'elle arHve dans le plan de la face siiivanie; et, eii continuant ainsi, bn amfenera toUteS les faces A\x prisme k etre sifu^es cfans un plan Unique, k la siiite les unes des autres, de sorte que la surface prismatiqiie se trouvera developpde, sans avoir change de superficie. En outre, observoris bien que tons l^scot^s du {)o!ygoiie CAA'A'' formeroht, apres le developpement, une seule et rtlSnle Ugne droite k laqdelle toutes les aretes dii prisme continueront d'etre perpehdiculki^es, aihsi que lious Favons prouve pour les deux premiers cdtes AA' et A' A''; et qii* la longueur de cette drqite sera egale a la ^omme des cotes dii polygone prirfiltif, tandis qiie les diverses aretes AB, A'B!', . . . auroni conserve les longueurs qu'elles avaient auparavant.

1(J1. [tP'ig. 48.) Or il est bien evident que toutes ces consequences seront egale- Brtefit vraies, qtlelle qufe soit la grandeur des angles e^ des cotes du polygone que Ton a fiubstitiie k la coui*!)^ CAA' ; par consequent elles autont lieu aussi dans un

(* ) Nous appellerons souvent, pour abreger, cylindre droit, celui dans lequel on prendra pour base ou pour direclrice la section droite, sans vouloir exprifner par U que cette Section esi un cercle, auquel cai nous dirions que c'est on cylindre de revolution. Du reste, cette d^nonnnation n'indiquera rien de parrticth lier dans la nature du cylindre, puisqu'oa sent bien que loute surface cylindrique peui ^tre rameo^e a 09 cas en la coupant, comme ici, par un plan perpendiculaire k ses g^u^ratrices.

GBAPITRE I. — SURFACES D^VELOPPABLES. 71

cylindre qui est la limite des prismes inscrjts, ou, si Ton veut exprimer ^ifferemment la jneipe idee, dans un cyljodre qui n'est autre clfose qu'un prisme dont I^ base serait un ppfygop^e infinitesiptaL On pent done affirmer : i** que toute surface cylindrique est developpable; i^° qu'apres cette transformation, lq> section ofthogonak ou perpendiculaire aux generatrices, devient une droite dopt ja jpngueur egala le perimetfe de cette section; 3^ que les generatrices restent perpendioulaires a c^tte droite^ en conservant d'ailleurs leurs longueurs primitives, soit au-dessus, soit audessous de cette base.

162. [fig. 4^0 S'il existait sur le cylindre une pourbi^ quelcpnque GMM', elle se trouverait rerapjacee, §uf Je prisme, par un polygone GMM'M'', dopt les cotes ne changeraient pas de longueur, lorsqu'ils seraient entraines avec les faces du prisme, dans leurs mouvements de rotation autour des aretes successives; mais ce polygone changerait de forme, puisque Tangle interieur MM'M"(') deviendrait MM'^''. Toutefois, comme dans ce developpement le cote M'M" tournera par un mouvement de revolution autour de la charniere B'M', il s'ensuit que Tangle B'M'M'- demeurera constapt et egal a B'M'm': il en sersi de meme de Tangle BMM' ou TMA qui restera invariaj^le, et dont un cdte TMlVf' deviendra, a la limite, la tangents de la courbe que remplace actuellepient le polygone GMM'. Si d'ailleurs on observe que toutes ces proprietessontindependantes de la petitesse plus oumoins grande des ^ees du prisme, et qu'ainsi elles doivent encore etre vraies pour la limite de ee prisme, ou pour le cylindre de la^^. 4^, on en deduira les consequences suivantes :

i^ [Pig' 48f ) Quand on developpe un cylindre sur leqpel est tracee une courbe queloonque GM, cette ligne se change en une autre courbe. que nous appellerons la transformee de la premiere, et dont les arcs ont la mime longueur abiolue que ceux de h coijFbe priqaitive.

^^ Les porliofis de generatrices MA* M' A', . . . , comprises entre cette courbe et {^ section ortbogoqale CAA', restent de mime grandeur, et tou]Qnts peq>endiculaires 4 la droite sijivaat laquelle se transforme la base GAA'.

V C^aquq ti^f^gente MT a la cqurbe primitive forme, avec la generatrice MA, un Mgk jjfifi depieifre iwariahk; et d*ailleurs cetie droite MT se retrowe, apres le devejeppeiP^Qt^ tangf^nte a kt transformde. Cette derni^re assertion se justifie en obserygpt que, sur le fj^veloppeionent du prisme, la ligne MT ne cesse pas d'etre le prolongement d'un cote du polygone trai)$form6. Nous verrons bientot, dans plusieurs gpure^t la maniferp don| on fait u?age de ces diverses proprietes pour exeputer graphiqi^eipefft le devejioppement c|'un cylindre, et pour y construire les transformeea de§ coufbej p)*if|[^itivei[pent tr^cees sur ce corps.

^^3. N(xu^ ^yo|?^ djt qji'une coufbe quelconque GMM' tracee sur un Qyljpdre, se

(t) Le 8upplto«)|k de cet Agle, savoir M'M'/, lequel serait ooinpris entre deux tangentes consteutiveB, f^ nofnmQ an^^c de contin^ence^ et peut servir k appr^ier la courbure de la courbe en cet endrojt, ^(oqM npps rexpliquerons bientdt (n'^ 198).

'JSt LIVBE Ul. — - SI7BFAGF.S D^VELOPPABLBS ET KNVET.OPPES.

changeait, apres le developpement de cette surface, en une autre ligne qui generalement 6tait encore courbe; cependant il y a des cas particuliers oil cette transformee peut etre rectUigne, et pour trouver plus facilement les conditions qui s'y rapportent, substituons encore au cylindre et k la courbe le prisme droit et le polygone GMM' de la/^. 49. Alors, pour que le cote WW, transports en Wm\ se trouve sur le prolongement de MM', il faut et il sufBt evidemment que Ton ait

angle B'M'/w"= A'M'M = BMM';

et puisque nous ayons vu (n^ 162) que le premier de ces angles demeurait Sgal k Tangle primitif B'M'M", la condition prec6dente revient a celle-ci :

a7i^feB'M'M" = BMM';

comme il en serait de meme des autres cdtes consScutifs compares entre eux, on en conclut que tons les cotes du polygone GMM'M" doivent couper les aretes du prisme sous un angle constant. Maintenant, si Ton transporte au cylindre ces relations qui devaient toujours avoir lieu sur le prisme, quelque petites que fussent ces faces, et si Ton se rappelle (n^ 157) que les prolongements des cdtSs du polygone deviennent, k la limite, les tangentes de la courbe continue vers laquelle converge ce polygone, on en dSduira ce theoreme : Pour quune courbe GM, trac4e surun cylindre^ de^ienne regtiligne apres le dd\^eloppement de cette surface, Ufaut et il suffit que toutes les tangentes de cette courbe f assent un angle constant ayec les gdniratrices du cylindre. Les courbes qui satisfont a cette derniere condition, se nomment des h6liges, quelle que soit la base du cylindre sur lequel elles sont tracees : ainsi les helices sont les seules courbes qui deviennent rectilignes, par le developpement de la surface cylindrique qui les contient.

164. {Fig. 48.) Elles jouissent d'ailleurs de cette autre propriety bien remarquable : Un arc quelconque d^heUce GM est la ligne la plus courte que Uonpuisse tracer sur le cjlindre, entre ses extremiies G etlA. En effet, si on lui compare une autre courbe comprise entre les points G etM, ce dernier arc ne deviendra pas rectiligne quandon aura developpS le cylindre; done alors il sera plus long que Tare d'hSlice qui sera devenuune drotte : mais nous avons vu (n^ 162) que, dans ce developpement, les transformees conservaient la meme longueur que les courbes primitives; done aussi, avant le developpement du cylindre. Fare d*helice Stait plus court que toute autre ligne passant par les points G et M.

165. II importe d' observer ici que toutes les courbes qui deviennent rectilignes apres que le cylindre est developp6, etaient primitivement gauches ou a double courburCf c'est-a-dire que trois tangentes infiniment voisines, ou trois elements consecutifs, n*etaient pas dans un meme plan. En effet, revenons au polygone de la /ig. 49, et consid6rons-y trois cotes consecutifs, KM, MM', M'M", que nous supposerons dirigSs de maniere a former, avec les aretes du prismet des angles egaux entre eux et dSsignes par a. Si ces trois cotes pouvaient etre dans un plan unique, il en serait certainement de meme pour trois droites menees par un point quelconque G,

CUAPITRE I. — SVBFAGES DlSvBLOPPABUSS. 73

parailelement k ses cotes : or ces trois parallMes, formant auBsi chacune un meme angle a avec I'arete GD, se trouveront situees sur la surface d'un cone droit dont GD sera I'axe, et Ton sent bien qu'une telle surface ne saurait avoir trois de ses generatrices dans un meme plan, puisque alors trois points de la circonference qui lui sert de base seraient en ligne droite. Done il est pareillement impossible que les trois cotes cons6cutlfs KM, MM', M'M", se trouvent dans un meme plan; et cette proposition ayant lieu quelle que soit la petitesse de ces c6tes, demeure egalement vraie pour leurs prolongements, lorsque le polygone degenfere en une courbe continue ; auquel cas ces prolongements sont les tangentes memos de cette courbe. Ainsi les helices sont toujours des lignes a double courbure.

166. II faut seulement exceptor de cette conclusion generale un cas unique, qui est celui ou Tangle a se trouve droit; car alors le cone qui nous a servi tout a Theure k etablirla proposition precedente se r^duit lui-meme a un plan. D'ailleurs, Thelice particuliere qui r^pond a Thypothfese actuelle a = 90**, n'est autre chose evidemment que \^ section droite Q,kA! \ et noussavons, en effet (n^ 161), que cette section devient rectiligne apres le developpement du cylindre; mais du moins nous pouvons affirmer que, de toutes les courbes planes trades sur un cylindre^ il r^y a que la SECTION ORTHO6ONALE qui devienne rectiligne apres le ddvehppement de cette surface.

167. [Fig. 49* ) A Toccasion des helices qui, comme nous Tavons reconnu, ne sont pas des courbes planes, nous ferons observer que, dans toute courbe gauche^ telle que GKM, situ6e d'une maniere quelconque dans Tespace, si trois elements voisins KM, MM', M'M" ne sont pas dans un meme plan, du moins cette condition sera toujours remplie pour deux elements consecutifs MM' et M'M"; et le plan MM'M" se nomme le plan osculateur de la courbe au point M. Pour le point K, au contraire, le plan osculateur serait KMM', et ainsi de suite; de sorte que les divers plans osculateurs se coupent deux k deux suivant un element interm^diaire, et ils ne coincident tons ensemble qu'autant que la courbe est plane. D'ailleurs, par les considerations exposees plus haut, cela revient evidemment k definir le plan osculateur comme celui qui passe par deux tangentes injiniment voisines.

168. Observons encore qu'une ligne courbe continue, plane ounon, n'a jamais qu'une tangente unique en un point donne ; mais elle admet Evidemment une infinite de normales, c'est-k-dire de droites perpendiculaires k la tangente, et menees par le point de contact de celle-ci : or toutes ces normales forment necessairement un plan perpendiculaire k la tangente, et quel'on appelle leplan normal de la courbe au point en question. Cost precisement le contraire de ce qui arrive pour une surface, laquelle admet, en chacun de ses points, une infinite de tangentes formant le plan tangent, etune normale unique perpendiculaire k ce plan.

169. Une surface conique est toujours d^veloppable. Sans passer ici par toutes les considerations interm^diaires que nous avons cru devoir employer pour le cylindre, regardons immediatement la base du cone, qu'elle qu'elle soit, comme un polygone infinitesimal CA^' A" {fig. 5o), et ce cone lui-meme comme une pyra-

Giomitfie Leroy. lO

^4 LIVRE in. — SURFACES D^VELOPPABLES ET ENVELOPPES.

mide dont chaque face SAA' sera un element superficiel iufmiment etroit, qui se trouvera commun (n*' 139) a la surface et a son plan tangent le long de la genera trice SA. Alorson pourra faire tourner la face SA'A" autour de Tarete SA', jtisqu'a cc qu'elle vienne se placer dans le plan de la face SA'A, et a la suite de celle-ci; puis, faire tourner le systeme de ces deux faces autour de Tarete SA, etles amener dans le plan de la face precedente. En continuailt de la sorte, on obtiendra un secteur polygonal (*) compose de toutes les faces de la pyramide, mises a cote les unes des autres dans un menie plan, et dont par consequent la superficie egalera Taire de cette pyramide; d^ailleurs, 11 est evident que dans cette transformation, les cotes et les angles des faces SA'A'', SAA',... resteront invariables, ainsi que ceux des triangles quelconques SM'M", SMM',..., tandisque les angles AA'A", MM'M" changeront de grandeur; et comme ces dif erses circonstances sont egalement vtaies qUetle que soit la petitesse des faces de la pyramide, elles subsisteront done pareillem^nt pour la limite de ce corps, c'est-a-dire pour un c6ne suf Idquel les polygenes CAA' A" et GMM'M" deviendront des courbes continues, dont les tangentes set* ont les prolongements des elements A A' et MM'.

170. De la resultent evidemment les consequences suivantes : i^ Toute surface conique est devehppable, et dans cette transformation les generatrices, ou des portions quelconques de ces droites, ne changent pas de longueur.

a^ La base du cone, ou toute autre courbe tracee sur sa surface, devient une ligne dont la courbure n^est plus la meme que celle de la courbe primitive, et qu'on nomme la transformee de la premiere; mais les arcs de cette transformee conserveni la mime longueur absolue que cenx de la courbe primitive. Si cette dernibre avait d'abord tons ses points a une distance constante du sommet, la transformee serait un arc de cercle decrit avec cette distanc^e pour rayon.

3** Chaque tangente de la courbe primitive forme avec la generatrice du c6ne an angle qui reste invariable dans le developpement de cette surface ; et cette premiere droite redevient tangente a la transformee. Nous verrons plus loin de quelle maniere on emploie ces diverses proprietes, pour executer graphiquement le developpement d'une surface conique.

171« Pour qu'une courbe GMM', tracee sur un cone, devicnne /^c^i%ne apr^s le developpement de la surface, il faut evidemment et il suffit que deux elements consecutifs WA\ M'M", soient diriges de maniere que

anglem!W=m!t\

et comme left prolongements de ces elements sont les tangentes de la coilt*be primitive, cela revient k dire que deux tangentes consScutii^a de cette courbe doimu farmer des angles igaux avec la gindratrice interm^diaire : mais ces angles ne sont

(*) Ou plutdt, te syst^m^ de deox decteurs opposes par le sommet, si ron ddveloppe en mAme temps la pyramide sup^rl^ure SBB'B' qui remplace la denxidme nappe du cdne.

CBAprrwiR I. — svwPACBs ]iivEM>PF4iiLU. 75

plus constants pour toutes les tangentes, ainsi qu'il arriy^it dans le cas dp cylindre (n^ 163).

172. {Fig* 5o. ) Toute courbe qui verifiera la conditioq prece(}ente, jouira aussi da la propriete d'etre la ligne la plus courte que Von puisse tracer en^re deux de ses points, sur la surface coaiqqe; et cela par les meipas raisons qui out ete donne^s dans le n^l64:niais cette courbe ne presentera pas 1^ forme d'une spirale qui s'el^verait de plus en plus vers le somip^t S du cone. En effet. Tangle SMAl' sera moindre que SM'M^ puisque ce dernier iBgalera SM'^; ainsi riqcUnaison SM; de chaque tangente sur la generatrice correspondante etapt d'abord un angle aigu qui va toujours en augmentant, la distance SM deviendra miniinurn lorsquc cet angle sera droit, et alors on obtiandra le point de la courbe le plus rapproche du sommetS; puis au del^, cette CQurbe s'en eloignera de plus en plus, puisque Tangle SM^ deviendra obtus, et continuera de eroitre. Ainsi, sur un cone de revolution, p^r exemple, 1^ ligne la plys courte entre deux pointy de la b^sa circulaire n-est pas Tare de ce cercle compris entre ces deux points ; mais c'ast unci aspece de courbe hyperbo- Uque dont le sommet sp trouve a agale distance des daux points en question, et qui, apres la developpement du cone, deviendrait une corde du cercle daps lequel la base primitive serait transforrnde. Les deux rayons p^ralleles a cette corde etaient, sur le cone primitif, les generatrices asymptotes de la courbe en question.

173, Au contraire, une courbe qui, sur une surface conique quelconque, jouirait d'une propriete analogue ^ cel)e de Tbelice (n^ 163), c'est-^^-dii*f9 don); chaque tangente ferait un ^ngle constant avec la gdneratriQe passant par le point da contact* presenterait la fprme d'une spirale qui s'approcherait indetiniment du sommet, lequel serait k son egard un point asymptotique : puis, d^ns le develpppement, cette courbe deviendrait evidcmment xxnt spirale logarif /unique f car on sait que cette derniere a la propriete de couper tons ses rayons vectaurs sou$ up apgle constant.

Si cet angle eta^t droit, la transformee serait un cercle; et alors tpus les rayops vecteurs etapt egaux, la courbe primitive tracee sur le cope pa pourrait etre qu'une courbe spheriqu£, c*est-a-dire qui resulterait de Tintersection du cone propose ^V6C une sphere ayant pour centre le sommet. {Voyez n^ 319.)

174- {Pig' 5|.) Surfaces developpables quelconques. Gen^ralisons m^inter pant las considerations que nous avop^ employees pour les cones et les cylindres, e|; in^aginons qu'une surface soit engendree par une droite mobile dont les positipr^ consecutives, ou ipfiniment voisinas, se trowvent deux a dewjp dans un mime plan. Nous indiquerons blentot (n^ 180) divers modes de satisfaire a cette condition; m^is, pour Tinstant, il nous suiKira d'admettre qu'elle a ete remplie d'une manifere quelcopqua, et que AB, K'W* h!'Wf . . . , sont des positions infinipient voisines de la droite mobile. Alors, d'apres la difipUion de la surface, les dau]^ generatrices con* secutives AB et A'B' sp /couperont necessairement {*) en un certain point M'; d^

(^) EUes pourraieat 6tre parall^leB ; mais en constd^rant alors leur point de section coimne situ^ k rinfini, OA retx:ouvei!a ipviours 09 ca^ i^aqiicuiier 49ns ^'esp^ gdn^rale«

76 UVBE ni. <— SURFACES D^VEUIPPABLBS ET EinTELOPPES.

meme la gen^ratrice A'B' sera rencontree par A^B'' en un point M^", et celle-ci le sera par la suivante en un point M"*, etc. ; de sorte que ces intersections successives donneront lieu k un polygonc MM'M"M''. . . ; ou plutdt, puisqu'on suppose les generatrices infiniment rapprochees, cela formera une courbe continue VMM'M" U a laquelle toutes ces droites seront evidemment tangentes^ et qui se nomme Varite de rebroussement de la surface, par une raison que nous expliquerons bient6t (n^ 178).

175. (jFi^. 5i .) Cela pose, je dis que la surface engendree d'apres la loi precedante est de^eloppable. En efTet, puisque les deux generatrices consecutives AMB et A'M'B' sont dans un meme plan, elles comprennent entre elles une zone angulaire de la surface, infiniment etroite, mais indefinie en longueur, et qui est necessairement/?/a/u?; car, pour les diverses courbes tracees sur la surface, les elements lineaires AA', PF, . , . ayant deux points communs avec les droites AM et A'M', se trouvent tons dans le plan de ces deux generatrices. De meme, les generatrices A' M' B' et A" M" B'' comprennent un autre ddment superficiel, qui est plan et d*une longueur indefinie; et ainsi des autres. Alors, si Ton fait tourner le premier Element autour de la droite A'M'B' comme charniere, jusqu'a ce qu'il vienne dans le plan et a la suite du deuxieme element; puis, que Ton rabatte autour de A''B" le systeme de ces deux elements sur le plan du troisieme, on finira, en continuant ainsi, par derouler sur un plan unique toute la surface proposee, sans discontinuite et sans alterer sa«uperficie. D'ailleurs il est bien evident : 1** que par cette transformation on n'aura nullement change les longueurs des portions de generatrices MA, M' A',..., non plus que celles des arcs AA', A'A", ...; 2^ que les angles MA A' ou MAT, MA'A"ou MA'T', ... formes par les generatrices avec les tangentes d'une courbe quelconque AD tracee sur la surface, resteront aussi imariables; 3** qu'au contraire les angles de contingence tels que TA'T', ou leurs supplements comme A A' A", chan geront de grandeur, et qu' ainsi la courbe AD aura pour transformie une ligne dont la courbure ne sera plus la meme que primitivement, quoiqu'elle conserve le meme perimfetre. Par 1^, il demeure done prouv6 que toute surface qui satisfera a la condition du n^l74, sera developpable.

176. Reciproquement, ceite condition est nicessaire; car, pour qu'une surface puisse etre etendue sur un plan sans dechirure ni duplicature, il faut evidemment qu'elle se compose d'elements superficiels plans, qui soient reunis sexxXemeni deux a deux par des bords rectilignes indejinis, afin que ces droites puissent servir de chami^res pour faire tourner ces Elements superficiels, et les amener dans un plan unique a la suite les uns des autres. Tandis que, si la droite intersection de deux Elements contigus etait limitee par la rencontre d'un troisieme element, il existerait en cet endroit un angle triedre ou polyedre, dont les faces ne pourraient etre etendues sur un plan, sans laisser entre elles des interstices; et comme cette circonstance se repeterait pour chaque point oil se reuniraient plus de deux elements superficiels, il n*y aurait plus de continuite dans le developpement de la surface, et la superficie en serait alteree. Mais des lors que les elements superficiels se couitent ainsi deux a deux suivant les droites indefinies, on voit bien que la surface