CHAPITRE I. — SURFACES Dl£vELOPPABLES
sera le lieu de generatrices rectilignes situ^es deux k deux dans un mSme plau ; et consequemment la condition enoncee au n^ 174 est vraiment necessaire pour que la surface soit developpable.
177. II resulte immediatement de Ik que le plan qui louche une surface des^elop^ pable dans un point quelconque P, est tangent tout le long de la generatrice APMB qui passe par ce point. En effet, puisque (n® 175) toutes les courbes AD, PX, BC, . . . ont leurs Elements lineaires AA% PP', BB\ . . . situes dans le plan des deux droiles infiniment voisines AM'B, A'M'B\ il s'ensuit que ce plan renferme toutes les tangentes en A, P» B, . . . , et par consequent c'est bien un seul et memo plan AM'A'ou BAT, qui touche la surface developpable tout le long de la generatrice AMB. Ainsi, dorenavant, quand on voudra construire le plan tangent relatif k un point Q donne sur une telle surface, il suffira de le faire passer par la gindra-' trice AQB et par la tangente AT a une courhe trade sur cette surface par un point quelconque de AB.
Cette proposition, que nous ay ions d^jk d^montree (n^ 99, 100) pour les cylindres et pour les cones, est done commune a toutes les surfaces developpables; et elle merite d'autant plus d'attention, qu'elle ne se yerifiera pas dans les surfaces gauches, quoique celles-ci admettent pareillement des generatrices rectilignes. D'ailleurs, elle ya nous seryir bientot a indiquer un nouyeau mode de generation des surfaces deyeloppables, en les regardant comme des envehppes d'un plan mobile (n*> 183).
Obseryons aussi que le plan AM' A' ou BAT qui est tangent a la surface deyeloppable, coincide precisement ayec le plan osculateur de Tarete de rebroussement YMU, puisque les deux generatrices AM' et A'M' sont tangentes k cette courbe.
178. {Fig> 5i.) Nous ayons dit que la courbe YMU formee par les intersections Buccessiyes des generatrices, se nommait Varite de rebroussement de la surface deyeloppable; et pour sentir la justesse de cette denomination, il n'y a qu'a regarder chaque generatrice AB comme composee de deux parties MA et MB, Tune situee audessous et I'autre au*dessus du point de contact M; puis designer sous le nom de nappe inferiewre la portion de surface engendree par les parties MA, M' A', M"A'',..., tandis que les parties MB, M'B', M"B", . . . formeront la nappe superieure (*). Alors, si Ton yeut passer d'une nappe a Tautre, en cheminant sur la surface d'une maniere continue et dans une direction quelconque (excepte dans la direction d'une genera* trice), on s'aperceyra aisement que ce passage ne peut ayoir lieu qu'en suiyant une courbe SNa, qui presentera un point de rebroussement a I'endroit ou elle rencontrera la ligne VMU.
Comme cette circonstance est tres-importante k remarquer, essayons de la rendre
[*) Ces parlies de g^n^ralrice se prolongeraient ind^finiment; mais^ pour rendre plus sensible la forme oppos^e des deux nappes, nous supposons ici que ces droites se terminent k deux plans horizontaux qui coupent la surface suivant les courbes AD et BC, dont la premiere tourne sa convexit6« et la seconde sa concavity vers Tobservateur.
78 UVBE m. — SURFACES DjiyELOPPABLES ET EBfVELOPPES.
plus sensible, en projetant toute la %ure sur un point vertical quelconque; so)gp( done i^nu [fig. 62) la base du cylindre vertical (jui passe p^r la courbe VNU, et ab^ cih\., . [fig. 5 1 et Ss) les projections des generatrices, lesc|ue)les seront necessai-r rement tangentes a vnu. II s'ensuit deja qu'aucune de ces droites ne penetrera dans le cylindre vertical vnu, et qu'ainsi les deux nappes de la surface d6veloppable restent en dehors de ce cylindre, sur lequel elles viennent s'appuyer le long de la courbe VNU. D'ailleurs, si Ton regarde ce cylindre comme un corps solide, et la g^neratrice projetee sur ah comme une droite inflexible qui roule, sans glisser^ sur ce cylindre en demeurant tangente a la courbe VNU, il est evident que cette droite mobile parcourra la surface d6veloppable en question. Or dans ce mouvement on aperQoit bien qu'un point quelconque S, fixement attache a la partie superieure mh de la generatrice, ira d'abord en se rapprochant du cylindre, et viendra en 6' quand la generatrice se projettera sur a' i', puis en n lorsqu'elle sera projetee sur a" 6". Mais, au delk de cette position, le point g6n6rateur se trouvera au-dessous du point de contact de la generatrice, quand elle continuera de rouler sur le cylindre vertical ; de sorte que le point mobile commencera des lors a s'icarter de plus en plus de ce cylindre, et il viendra en a"* pour la position a'^h"^ en a"" pour a"" 6'"', . . . . D'ou Ton doit voir clairement que la courbe SS'na" decrite par le point 6 se composera de deux branches qui offriront un rebroussement en n, et dont la premiere €6' /i sera situee sur la nappe superieure de la surface, tandis que I'autre n a'* sera sur la nappe inferieure. Nous etudierons en detail, au n® 456, le cas particulier oti la courbe VNU est une helice.
179. En r^sumant tout ce qui precede, on trouve les consequences suivantes: I® Pour qu! une surface soit ddveloppable, ilfaut et il suffit quelle soit engendrde pat une droite quise meuve de maniere que toujours deux positions consicutives se troui^ent dans un nUme plan. C'est la une propricte earacteristique pour toutes les surfaces de cette classe, laquelle comprend evidemment les deux genres particuliers des cylindres et des cdnes; puisque, dans le premier, les generatrices rectilignes 90nt toujours parallbles, et que dans le second elles se coupent toutes au meme point.
n^ Une surface diveloppable admet toujours une arete de rebboussememt formee par les intersections successives des generatrices; ces droites sont tangentes a Tarete de rebroussement, qui d'ailleurs divise la surface en deux nappes distinctes. Dans les surfaces coniques, Tarete de rebroussement se reduit a un point unique qui est le sommet; et dans les cylindres, cette arete se trouve transportee tout entiere a une distance indefmie.
3^ Leplan tangent d'une surface developpable est common pour tons les points d'une meme generatrice rectiligne, et il coincide avec le plan osoulateur de I'arete de rebroussement.
4^ Dans le developpement de la surface, les portions des gineratnces, aussi bien que les arcs d'une courbe quelconque tracee sur la surface, ne changent pas de lonrgueur absobie ; et les tangentes a cette courbe forment avec les generatrices des angles quidemeurent constants. Mais il n'en est pas ainsii des angles de contingence^ com-
€ftAPlTRE 1. — SVBFACES D^VELOPPABLES. 79
pris entre deux de c^s tatigetites cons^cutives; et par consequent la courbe primitive a poui' transformee une ligne dont la courbe n'est plus la meme qu'auparavant (*).
180. {Fig. 5i .) Voyons maintenant de quelle maniere on pourra remplir la condition qui a servi (n^ 174) k la definition des surfaces developpables. Prenons deux courbes quelconques AD etBC fixes dans I'espace; puis, assujettissons une droite mobile k glisser sur ces directrices, mais de maniere que ses positions consecutives se trouTetit deux k deUx dans un meme plan. Apres avoir choisi sur la premiere Courbe uti point qUelconque A', il ne faudra pas le joindre avec un point arbitraire de la deuxi^me, parce que rien n'assurerait que la droite ainsi tracee serait dans lin meme plan avec la position trfes-voisine qu'elle prendrait ensuite (**) ; mais imaginons une surfece conique qui ait pour sommet le point A' et pour base la courbe BC, et menoos-lui un plan tangent qui passe (n^ 125) par la droite k'T tangente , au point A' de la dlrectrice At); alors, si Ton constrUit la droite A'B' suivant laquelle ce plan touchera le cdne auxiliaire, je dis que A'B' sera la position que doit pretidre la gen6ratrice de la surface developpable lorsqu'elle passe par le point A' dela directrice; etlesautres positions A" B", A'^B'^,.,. s'obtiendront d'une manifere semblable. Pour justifier cette construction, il suffit d'observer que, quand la droite mobile passera de la position A'B' a une position infiniment voisine A"B'\ elle pourra etre censee glisser sur les tangentes A' AT et B'B"S' qui coincident avec les vraies directrices dans Tintervalle des elements A' A" et B' B" : or ces deux tangentes sont ^videmment situees dans un plan unique, qui est le plan tangent que nous avons mene au c6ne auxiliaire; done aussi les deux generatrices A' B' et A"B" se trouveront dans ce meme plan.
181. [Fig. 5 1.) II suffirait mSme d'assigner une seide directnce pour determiner completement la surface developpable, si Ton assujettissait la droite mobile k deitieurer constamment tangente a cette courbe. Soit, en effet, VNU une ligne quelcotique, fixe dans Tespace, mais qu'il faut choisir a double courbure, si Ton ne veut pas retomber sur un simple plan. Construisons les tangentes AMB, A'M'B', A^M'^B",... pour des points M, M', M", extremement rapproch6s sur la courbe; ce, seront la autatit de positions de la droite mobile, et je dis que la surface, lieu de toutes ces positions, sera dSi^eloppable. Car les deux generatrices infiniment voisines AMB et A'M'B' ont de commun avec la courbe. Tune Telement MM', Tautre TeWmentM^M"*, done ces generatrices se coupentau point M', et, par consequent, eUessont bien situiesdans un mime plan. Un raisonnement semblable s'appliquerait aUx autres generatrices consecutives : ainsi il est certain que la surface, lieu de
(*) On doit excepter n^nmoins Tardte de rebroussement, pour laquelle les angles de contingence resteai inmriables^ puisqu'ici ces angles sont formes par les generatrices entre elles, et que ces droites servent prdcis^ment de chamidfes pout et^uter le d^reloppement. Ainsi, parr exemple, I'angle AM' A' demeure constant, aussi bien que son nipi^^ment MM'M'.
(**) A moins qu'on ne voulQt laiseer immobito le point de la droite plac6 en A' et laire gli69e# seuiement I'autre extr^mit^ sur la courbe BG ; mais par \k on n'obtiendrait qu'une surface conique, genre trop parti* ddier de surface developpable pour que nous nous y arr^tions.
8o UVRE UI. — SURFACKS DEVELOPPABtBS VT ENVELDPPES.
toutes ces tangentes, est developpable ; et dans le cas actuel, la courbe directrice VNU est precisement Tarfite de rebroussement, qui a toujours i^ouv plans osculateurs les plans tangents (n^ 177) de la surface developpable.
Voici encore quelques autres mani^res d'engendrer une surface developpable.
182. {Fig. 53.) Si, sur une surface donnee que nous designerons simplement par S, on trace une courbe fixe et quelconque CND...; puis, que par des points tres^ voisins N, N% N"",..., pris sur cette ligne, on m^ne a la surface des plans tangents P, P', F',..., qui sont ici figures seulement par les droites NP, N'F,..., ces plans se couperont consecutivement suivant les droites AM, A'M', A"M",..., qui se trowe-ront deux a deux dans un mime plan. En effet, les deux premieres resultant des intersections du plan P' avec le precedent P et avec le suivant P, sont evidemment situ^es Tune et I'autre dans le plan P'; de meme les droites A'M' et A"M" sont toutes deux dans le plan V\ et ainsi de suite. D'oii il resulte que ces di verses intersections determinent une serie de faces planes et angulaires AMA', A'M'A'\ A'^M^A*,..., qui approcheront de former une surface continue^ et evidemment developpable, d'autantplus exactement, que les points de contact N, N', N",... seront plus voisins sur la courbe CD. Or, pour atteindre k cette limite, il suiTit d'imaginer que le plan P roule sur la surface S par un mouvement continu, en lui demeurant perpetuellement tangent le long de la courbe donnee CND; alors on dit que la surface developpable en question est I'emeloppe des positions queprend le plan mobile^ parce qu'en efTet elle est touchee par ce plan dans chacune de ses positions, puisque celles-ci ne sont autre chose que les prolongements des petits elements superficiels AMA', A'M' A",... qui composent la surface.
183. Geci n'est point particulier a la surface qui nous occupe, et Ton pent dire gen^ralement que toute surface developpable est Vemeloppe des positions d'unplan mobile assujetti k se mouvoir suivant une loideterminie. En efTet, dans le cas gen^ ral, nous avons vu (n^ 177) que la surface etait touchee tout le long de la generatrice AA [fig. 5i), par un plan unique qui renfermait la g^n^ratrice infiniment voisine A'B', et qui, par suite, ^tait le prolongement de I'^lement superficiel AM' A'; de mSmCr le plan tangent consecutif serait le prolongement de T^lement A'M''A^ et ces deux plans se couperaient suivant la droite A'M'B'; desorte que les diverses generatrices etant les intersections des plans tangents consecutifs, on pent obtenir ces droites ou bien engendrer la surface developpable, en faisant mouvoir un plan ind^fini, de manibre qu'il prenne successivement les positions AM' A', A'M" A",.... Mais, dans chaque surface particuliere, le mouvement du plan mobile devra etre r^gie par une hi ddterminde, c'est-a-dire par des conditions telles, que ce plan ne puisse prendre qu'une position unique, pour chaque point de I'espace par lequel il passera.
184. Ainsi, par exemple, on pent assujettir le plan mobile k rouler sur deux surfaces fixeSf en demeurant constamment tangent k ces deux surfaces, pourvu toutefois que ni Tune ni Tautre ne soient developpables ; car on doit sentir que la condition de toucher une surface de ce dernier genre, meme en un point indetermine,
CHAPITBE I. — SVBFAGES Dl^VBLOPPABLBS. 8i
^quivaudrait k deux conditions distinctes, parce que le contact s*etendrait n^cessairement tout le long d'une menie genera trice (n** 177). Cette restriction est analogue k ce que nous avons dit podr les cylindres et les c6nes dans les n^ 118 et 125.
185. On pent aussi exiger que le plan mobile soit constamment osculatem (n^ 167) k une courbe fixe, telle que la ligne VNU de la^?^. 5i ; c*est-k-dire qu'il passe toujours par deux elements consecutifs de cette ligne, qui alors deviendra ^ evidemment Tarete de rebroussement de la surface developpable, form^e par les '' intersections successivesdu plan mobile. ^
186. Enfin, onpeutfaire mouvoir ce plan de mani^requ'il reste perpetuelletuexii normal [n^ 168) kune courbe donnee VNU; car on reconnaitra, comme au n^ 182, que ses diverses positions se couperont consecutivement, suiyant des droites qui se trouveront deux a deux dans un memo plan, et formeront ainsi une surface developpable. Cette surface se reduirait evidemment a un cylindre, si la courbe donnee VNU etait plane, puisque alors tons les plans normaux se couperaient suivant des droites perpendiculaires au plan de VNU, et par consequent paranoics entre elles.
187. {Fig. 5i.) Examinons., maintenant, quelle condition doit remplir une courbe PFX tracee sur une surface developpable quelconque, pour qu'elle soit la Ugne la plus courte entre deux de ses points P et X. II faut et il suffit qu'elle dey'lexm^ rectiligne ^ipvh^ le d^veloppement de la surface; car, dans cette operation, nous Savons (n^ 179, 4**) que chaque transformee conserve la meme longueur que la courbe primitive ; etquand la surface est ^tendue sur un plan, il est bien certain qu'une droite est la plus courte ligne entre deux de ses points : done, etc.
Or> pour que la courbe PP' X admette une transformee rectiligne, it est n6cessaire
et suffisant que deux elements consecutifs f assent toujours des angles igaux wee la
gdndratrice intermSdiaire , c'est-a-dire que Ton ait pour chaque point de la courbe,
la relation
angle mVfi=MW.
En effet, comme ces deux angles resteront invariables de grandeur quand on fera tourner le premier autour du cote commun MF, il est Evident que lorsqu'ils seront amenes dans le meme plan, les deux elements PF et P' P se trouveront dans le prolongement Tun de Tautre, si la relation precedente est verifiee. Telle est done la condition que doit remplir la courbe PX pour etre minimum : mais il en resulte une autre proprietequi merite d'etre remarquee.
188. La courbe minimum PX a tous ses plans osculateurs normaux a la surface devebppable sur laquelle elle est tracee. Pour le demontrer, j'observe que, d'apres la relation admise dans le num^ro precedent, les deux tangentes consecutives PP'R et P'PR' font des angles egaux avec la genera trice A'M'; d'oii il suit que ces tangentes sont deux aretes d'un c6ne droit qui aurait pour axe la ligne A'M'; et puisqu' elles sont inftniment voisines, on doit regarder le plan RP'R' comme tangent au
Geonwtrie Leroy. 1 1
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cbne dont il s'agit» le long de Tarete RF. Mais, dans toute surface de revolution/ le plan tangent (n^ 129) est perpendiculaire au plan meridien qui passe par le point de contact; done ici le plan RFR' est perpendiculaire sur le plan AM' A' qni contient I'axe du cone et Tarete de contact P'R. Or le premier de ces plans n'est autre chose que le plan osculateur PFF de la courbe proposee, et le second est precisement le plan tangent de la surface developpable ; par consequent, il est vrai de dire que chaque plan osculateur de la courbe minimum est normal a cette der-niere surface.
189. {Fig. 53. ) Cette propriete dont jouit la courbe minimum est d'autant plus remarquable qu'elle se trouve egalement verifiee, quelle que soit la surface snr laquelle est tracee une pareille courbe. Soit, en effet, GND la ligne la plus courte entre toutes celles qui, sur une surface quelconque S, reunissent les deux points G et D : si par tous les points N, N\ K\ . . . de cette courbe, nous menons des plans tangents a S, ils formeront, comme nous Favons vu (n^ 182), une surface developpable S' circonscrite a S, et qui aura evidemment les memes plans tangents que cette derniere tout le long de la courbe minimum. II suit de la que, dans la direction CND, chaque element superficiel (infiniment petit en tout sens) de la surface S sera commun a la surface S\ et qu'ainsi la courbe GND, qui est supposee minimum sur la premiere, devra aussi se trouver minimum sur la seconde; mais, par cette der^ niere condition, la courbe GND aura ses plans osculateurs perpendiculaires (n^ 188) aux plans tangents de la surface developpable S' ; et comme ceux-ci sunt les memes que les plans tangents de S, on est en droit de conclure que, sur une surface quel^ conque, la courbe minimum a tous ses plans osculateurs nobmaux d cette surface.
