CHAPITRE II

DES SURFACES ERVELOPPES.

190. On appelle surface enveloppe^ ou simplement enveloppe^ le lieu des intersections consecutives d'une autre surface mobile, qui varie de position et meme de forme, d'aprfes une loi determin^e. Ge lieu ayant, comme nousallons le voir, la propriete de toucher le long d'une courbe, chacune des positions de la surface mobile est appelee avec raison Tenveloppe de toutes ces positions, tandis que ces dernieres se nomment les em^eloppees. D'ailleurs, par un motif que nous expliquerons plus tard (n^ 203), on donne le nom de caractSristique k Tintersection de deux envelop-* p6es consecutives, et c'est le long de cette caracteristique qu*a lieu le contact de Tenveloppe et de Tenveloppee. Ainsi, lorsqu'un plan se meut suivant une certaine loi (n^' 182-186), il admet pour enveloppe une surface developpable, lieu de ses intersections successives qui sont ici des droites, et voila les caracteristiques ; tandis que les enveloppees sont les diverses positions du plan mobile, dont chacune louche Tenveloppe suivant une de ces caracteristiques. Mais pour mieiix iclaircir ces

GHAPTTBE^ II. — BES SVftriCBS ENVELOPPES. 83

BOtions geuerales, rl faut consid^rer des exemples moins particuliers, et ou !es enveloppees soient des surfaces courbes.

191 . {Fig. 55.) Imaginons une sphfere mobile dont le centre parcourt la verticale OZ, et doirt Ic rayon OA rarie suivant une certaine loi ; de manifere, par cxemple, qtfrl coincide succcssrvement avec les diverses ordonnees OA, O'A', O^A", ... d'une courbe AA'Xfraceedans le plan vertical de la figure. Alors deux sphferes infiniment voisines, et 0', se couperont evidemment suivant un cercle komontal projef^^SUf fa corde BC; de meme la sphere Of coupera la troisifeme 0* suivant le cercle B' C, et ainsf des aatres. Or tons ces cercles ayant leurs centres sup OZ et teufar plarn^ pef perfdfculai^es a. cefte droite, appartiendront ( n** 78) a une surface de r^vofutiotK qui tauchera, en Fenveloppant, chacunedes spheres mobiles. En effet, les deux cercles infiniment voisins BC et B'C^ se trouvant a la fois sur la surface de revolution et st/r la sphfereO', ces deux surfaces ont de communstous les 616ments superficiels situ6s sur la zone infiniment 6<roite BB'C'C : par consequent elles ont Tune et Fautre les m^mes pkns tangents, ou bien elles se touchent tout le long de cette zone. De mfime, la surface de revolution sera tangente k la sphere 0" le long de la zone B'B"C"C'; ainsi cette surface generale est bien Yemeloppe de toutes les spheres qui sont les erweloppies^ et le contact avec ehacune d'elles a lieu le long d'UB des cercles B€, B'C, . . . , qui dont les caractiristiques ou les intersections de deux enveloppees cons6cufives.

192. Si Ton ne considere, pour un instant, que les grands cercles des sphferes mobiles qui sont sitiles dans le plan vertical de la figure, on voil que leurs circonferences forment, en ^*entre-coupant, une suite d'arcs BB', B'B*, . . . dont la ligne erwebppe donnera evidemment le meridien DBFF de la surface de revolution! La forme de ce meridien d^pendra de la loi suivant laquelle varieront les rayons OA, 0' A', . . . ; si, par exemple, tons ces rayons 6taient constants de grandeur, les caracteristiques seraient toutes des grands cercles 6gaux entre eux, et le meridien une droite parallfele a OZ. Ainsi, lorsquune sphere constante de rayon a son centre en mowemtntsur une droite, Vemehppe de Tespace qu'elle parcourt est un cytindre de revobitian.

193. Lorsqu'au contraire le meridien DBF d'une surface de revolution est assign6 d'avance, il faut evidemment rendre ehacune des envelopp6es sphiriques, tangente a ce m6ridien, en prenant les normales BO, B'O', . . . pour les rayons de ces difT^rentes- Spheres ; ainsi, Ton peut dire g6n6ralement que toute surface de re^^olu-tion est Venveloppe de Vespace parcouru par une sphere Tnobile, qui a pour rayon variable la portion de chdque nomtale comprise entre le meridien et I' axe.

194. Les surfaces de revolution admettent aussi pour enveloppee une autre surface generatrice dont la forme trfesnsimple en rend I'emploi fort utile dans certains arts. Imaginons que par des points tres-voisins M, M', M'', . . . {fig. 55) pris sur le meridien FDY, on lui mene des tangentes MT, M' IS M'' T\ et qu'on les fasse tourner, en meme temps que le meridien, autour de Taxe YZ. P&r 1^, ces tangentes engen* dreront des cones droits qui toucheront la surface de revolution chacun le long d'un

84 LIVHE lU. — SDHFACBS DIEVBLOPPABUES ET ENVELOPPES.

paraliMe; car la tangente MT ayant avec la meridienne {'element MM' commun, tous les ^lemeDts superficiels situes sur la zone infiuiment etroite MM'N'N seronty communs au cone TMN et k la surface generale ; done ces deux surfaces se trouveront tapgentes Tune k Tautre tout le long de cette zone. D'ailleurs, deux cones consecutifs^ TMN et T'M'N', se couperont evidemment suivant le parallele M'N' qui reunit les deux zones de contact; d'ou il resulte que toute surface de revolution pent aussi Stre regard6e comme Venveloppe {^) de Vespace parcouru par un cdne droit variable TMN, qui se meut de maniire que son sommet reste sur Faxe^ pendant que sa geniratrice recuUgne demeure tangente a la miridienne.

195. G'est par ce mode de generation que les tourneurs executent des surfaces de revolution. En efPet^ lorsqu'ils presentent au solide anim^ ffune vitesse de rotation le tranchant rectiligne de leur ciseau, ils produisent sur ce cylindre un tronc de c6ne qui est une des enveloppees de la surface generale qu'ils veulent obtenir; puis, en variant convenablement Tinclinaison de ciseau, ils engendrent une serie de zones coniques qu'ils savent fondre ensuite les unes dans les autres» en intercalant de nouvelles enveloppees, jusqu'a ce qu'ils arrivent a une surface qui soit sen* siblement continue.

G'est encore par le secours des enveloppes que les ferblantiers executent des surfaces developpables ; car ils se servent d'une enclume cylindrique ou conique, pour plier peu k pen la feuille de fer-blanc le long d'une s^rie de droites tracees dans son plan; etcelui-ci devient alors Fenveloppee mobile dont les petites zones el^mentaires composent la surface generale, laquelle se trouve ainsi I'enveloppe de toutes les positions qu'a prises le plan mobile de la feuille de metal.

196. Outre les enveloppees spheriques ou coniques qu'admettent les surfaces de revolution, ces dernieres pourraient etre encore produites par le mouvement d'un cylindre. En effet, si, par tons les points de la meridienne, on mene des droites perpendiculaires k son plan, et que Ton fasse tourner ce cylindre autour de I'axe, Tenveloppe de toutes ces positions sera necessairement la meme surface de revolution que produirait la rotation de la meridienne; car chaque arete de ce cylindre mobile a evidemment, pour courbe enveloppe de toutes ses positions individuelles, le parallele de la surface qu'aurait decrit le point correspondant de la meridienne.

Avant de passer k une espece trbs-generale de surfaces enveloppes, qui manifestera une circonstance bien remarquable produite par les intersections des carac* teristiques, etudions d'abord quelques propriet^s des Ugnes erwehppes relativement aux courbes planes.

197. DEVELOPPEES des courbes planes. {Pig. 56.) Soit ABX une courbe quelconque tracee dans un plan; concevons-la divisee en elements egaux BB'=B'B* s^B^'B", ..., et, par le milieu de ces elements, menons les normales infiniment

(*) n ne faut pas attacher k ce mot d'enoehppe I'idde d'une surface qui en renferme d'autres dans son int^rieur. L'enveloppe peut ^tre en dehors ou en dedans des envelopp^, et Ton veut seulement exprimer qu*elle toucbe chacune de cellea-ci tout le long d'une courbe,