B'L'' = BL, L'M'' = LM, M"E" = ME, WH" = ED
ensuite, par les points de division, on ^levera des ordonn^es Egales aux portions correspondantes des generatrices, savoir :
B"e = GB', L^X=HL', M> = YM', \i''i = \Yi',...,
et la courbe Skiu^^aS" sera la transformde de la section du cylindre.
La tangente de cette transformee au point fx est ce que devient la tangente pnmitive (MT, M'T')J or celle-ci etant Thypot^nuse d'un tpfengle rectangle qui a pour base MT et pour hauteur YM', et dont les angles demeurent imariahles (n^* 162), il n'y aura qu'a prendre la sous-tangente M"T" = MT, et tirer la droite T'>. Cette ligne devra toucher la transformee en jx, point qui est ici assez prfes de Vinfie^ion;
cHlpmB n. — DBS SECTimrs plahes. ioi
oar cette circonstance arrive en e, attendu que le point (E, E') est evidemment celui oil le plan tangent d\x cylindre serait perperuiiculaire au plan sdcant, ce qui est la condition essentielle pour Tinflexion^ ainsi que nous I'avons demontre dans la note du n° 226.
PROBLEME II. Trouper les points de section d^unplan quekonque PQR' a^ec une courbe dont les projections sont ABCDEF et A'B'C'D'E'F.
233. Ce probleme rentre tout a fait dans le precedent; car, si Ton imagine le cylindre vertical qui projette la courbe donn^e suivant ABCDEF {fig. 62), et que Ton construise, comme au n^228, la projection verticale A*'B"C"D"E" de I'intersection de ce cylindre avec le plan PQR\ il est clair que les points cherch^s devront se trouver sur cette intersection r et comme ils sont aussi sur la courbe donnee/il n'y aura qu'a examiner si ces deux courbes se rencontrent quelque part sur le plan vertical. Ici elles out trois points communs, L% M'» N^ que Ton projettera sur le plan horizontal en L» M, N, et ce sont Ik aussi les points oil le plan PQR' coupe la courbe proposee. II est vrai qu'il existe un quatrifeme point de rencontre entre les projections verticales; mais on reconnait aisement que ce point n'est pas commun aux deux courbes, parce qu'il tombe, pour Tune sur Tare CD, et pour I'autre sur Tare DE.
Nous avons ponctue les arcs de la courbe qui sont au-dessous du plan, parce que nous regardons celui-ci comme existant reellement, afin de faire mieux ressortir la situation des diverses parties de la ligne a double courbure : mais il n'en est pas de meme dans I'epure 69, oil le plan secant se trouve combine avec une surface, et oil nous avons du, suivant la convention generate 6tablie au n^ 108, regarder ce plan comme enleve, apr^s avoir coup6 le cylindre.
254. Dans le probleme pr^c^dent et dans des questions analogues, on donne quelquefois a la courbe auxiliaire A"B"D". . . le nom de courbe de recherche ou courbe d'erreur^ parce que les constructions que nous avons employees peuvent 6tre presentees sous le point de vue suivant. Si le point inconnu, oil la courbe proposee perce le plan PQR\ ^tait projet^ en B, que je prends au hasard sur la projection horizontale ABCD • . . , il faudrait qu'en menant par ce point, consider^ comme ap« partenant au plan, une parallele (BE, K'B"') a la trace PQ, cette droite allat passer par le point (B, B') de la courbe; or cette parallele me fournit B"au lieu de B' pour projection verticale du point B; par consequent, Thypoth^se d'oii je suis parti est une erreur. En repetant un essai semblable sur le point C, je trouve une autre erreur en sens oppose, puisque j'obtiens une projection verticale G' situee plus haut que C' : d'oii je conclus que le veritable point cherch^ est entre B et C, et qu'en reit^rant de pareils essais pour des positions interm^diaires, je finirais par tomber sur le point de section (M, M'). Mais, au lieu de chercher k obtenir immediatement ce point precis par des tatonnements multiplies, il est plus commode de construire un certain nombre de points quelconques de la courbe d' erreur; puis, de les reunir par un trait continu dont la rencontre avec la courbe proposee fournira le point demande (M, M").
PROBLEME III. itoM donnd un cylindre oblique h base quelconque, trawler i^les
lOa LIVBB IT. — raTEKSVCTMNS DB SmVACB.
projections de la section droite de ce cylindre; a^. le rabattement de cette section; 3^ le diveloppement de la surface et la transformee de la courbe qui setvait de Imse ; avec les tangentes a ces diverses courbes.
235. Soil ABO) {Jig. 60) la directrice du cylindre que flous e^upposons plane, et dont Dous adoptons le plan pour plan horizontal de projection; soit d^ailleurs (EE'\ E'E"") la direction des generatrices. Alors, en menant k la base les tangentes BB"" et DD'' paralleles k EE'', ce seront les traces de deux plans tangents verticaux, et, par consequent* ces droites formeront le contour apparent du cylindre snr 1^ plan horizontal (n^ 106); tandis que les tangentes EE' et FF% perpendiculaires k la ligne de terre, £6urnironU pour le contour apparent sur le plan Tertieal, les g^ni§ratrices E'E'^et F'F"^, qui ne sont autre chose que les traces de deux plans tangents perpendiculaires au plan vertical. Nous supposons d'ailleurs que le cylindre est termine, et/erm^ par deux plans horizontaux E'P et E*'F', ce qui rendra invisibles sur le plan horizontal les aretes CC\ FF'% . . . , et manifestera d'une maniere plus sensible la situation de ces aretes inf^rieures. Pour mieux accuser aussi la forme de la surface, nous regarderons toutes les aretes que nous aurons besom d'employer, non comme des lignes auxiliaires, mais comme des gdniratrices q«i^ marquees en traits plains ou ponctues^ feront discerner les parties sup^rieures ou anterieures d'avec les parties opposSes de la surface.
236. Cela pose, puisque la section droite ou section orthogonale d'un cylindre est la courbe tracee sur cette surface par un plan perpendiculaire aux generatrices, et que d'ailleurs toutes les sections paralleles faites dans un cylindre sont identi-^ ques, menons, par un point quelconque Q de la ligne de terre, les traces PQ et QR'^ respectivement perpendiculaires aux projections des generatrices, et cherchons rintersection de la surface avec le plan PQR'. Pour obtenir cette intersection, nous couperons les deux surfaces par divers plans auxiliaires qui soient tons verticaux et pamlUles aux arites du cylindre, parce qu^ainsi nous n'aurons k combiner que des sections rectiUgnes; d'ailleurs, afin de simplifier Toperation ulterieure du dSi^eloppementf il sera bon de conduire ces plans par des points de la base, qui soient deux a deux sur des cordes GM, EL, . . . paralleles k la trace PQ. Toutes ces di^po* sitiona etant admises, nous pouvons operer de deux mani^res.
237. Prmiiere methode. Soient GKi et IF les traces d'un plan secant vertical : elles reneontrent celles du plan PQR' aux points E et F; par consequent, Tintersectiou de ces deux plans est la droite (GI, FE') ; mais, comme il importe de determiner cette ligne avec une grande exactitude, atteudu que pour les autres plans auxiliaires il nous sufQra evidemment de mener des parallbles k FK', nous allons construire un troisifeme point de cette droite. Cherchons, par exemple, celui qui est projete en S; et pouic cela, imaginons par ce point une hdrizoiitale parall^le k la trace PQ. Cette parall^le, qui sera necessairement contenue dans le plan PQR', aura pour projection horizontale SR, et elle ira percer le pkm vertical en R% sur la trace donnee Q'R'; done R'S', parallfele a la ligne de terre, sera sa projection verticale ; et si Ton y rapporte le point S en S% ce dernier devra appartenix a la droite FE'S'.
D'ailleurs le mebie plan auxiliaire GKI a du couper le cylindre snivant deux •aretes dont les pieds sont en 6 et H, et qui^ par suite, sont projetees verticalement sur G'0*'et H'H"'; par consequent, la rencontre de ces deux droites avec la section K'S' foufnira deux points g^ et A' de la projection verticale de la courbe demandee. Ensuitfe, on les projettera sur GHK en g et A, qui seront deux points de la projection faorizontale de la meme courbe.
Maintenanti oonsiderons un autre plan secant MNY. II foupe le plan PQR' suivant une droite dont la trace est (V, V); et sans chercher d'autres points, nous sommes certains que cette section est V'm' parallele a K'S'; puis, comme ce plan MNV coupe aussi le cylindre suivant les deux arfites M'M' et N'N" qui rencontrent la droite Y'm' en m' et n\ ce sont la deux nouveaux points de la courbe cherchee, qu'il restera ensuite k projeter horizontalement sur MY en m et n. Le meme proeede, applique a d'autres plans secants, fournira ainsi les deux projections ambncd et drriVrt! d d' de la section orthogonale du cylindre.
238. Deuxieme methode^ (^^8- ^^O Soit ACY un plan vertical parallfele aitx aretes du cylindre : il coupe cette surface suivant deux generatrices partant des points A et C, et le plan PQR' suivant une droite qui part du point Y et se trouve perpendiculaire a ces generatrices. Done, si Ton rabat ce plan secant autour de AY, en portant la hauteur YZ* de Y en Z'', la droite kZ" et sa parallele €(/' seront les positions nouvell^ des genisratrices; tandis que la perjiendiculaire \e"a'% abaissee sur ces lignes, fera connaitre les rabattements a" eft d' de deux points de la courbe cherchee. Ensuite, pour un autre plan secant MNY, il suftira de mener Mm" et Nn'' parallelement k AZ"; et la droite Ym" parallele a Ya'\ fournira encore les rabattements m" et n" de deux nouveaux points de la section droite du cylindre. D'ailleurs, il deviendra superflu de tracer les projections de cette courbe, attendu que les rabattements ainsi obtenus sufSront, comme on va le voir, pour con^ruire la vntie grandeur de cette courbe, et po>ur effectuer le dS^eloppernent du cylindre, oe qui est le but principal du problfeme actuel (").
Neanmoins, si Ton veut deduire de la les^ projections de la section droite, il n'y a qu'Ji rapporter les points a", d\ m!\ n'\ ... jen a, c, m, n, . . . par des perpendiculaires a la charniere AY; puis, projeter ces demiers points en a% d^ mf, n\... sur les projections verticales des generatrices correspondantes.
239. II est des points remarquables qu41 fau^t construire preferablement a d'autres qui en seraient m^me tr^s-voisins, et Ton fera bien de commencer par Ik I'execution de Tepure.
i'' Si Ton applique Tune des deux methodes precedentes aux aretes BB'' et DD"" {Jig. 6o) qui ferment le contour apparent sur L^ plan horizontal, on trouvera les
(*) Cette m^thode ing^niease, qui est due a M. Th, Olivier^ reTient k choisir le plan vertical de projection parallele aux aretes du cylindre, et elle ofTre des avantages qui deviendront sensibles dans les op^ra* tions des n**241 et243. Cependant, sMl 8*agissait d'oblenirTintert section d'un cylindre oblique parun plan qielconque neti perpendiculaire aux g^nc^ratrices, il vaudrait mieux! suivre la premiere m6thode; G*esfc nt»uquoi nous Favons eonaerv^ ici^ afin de montrer conunent oa devra/.t agir dans un pareil oas.
I04 UVBC IV. — INTKRSECnOllS DE SUEFAGBS.
points (ft, V) et (rf, rf'), dans lesquels la courbe devra toucher\%% aretes en question, mais seulement en projection horizontale. En effet, quoique dans I'espace la. tangente de cette courbe et Tarete du cylindre soient trfes-distinctes Tune de Tautre, puisqu*ici elles sont perpendiculaires, neanmoins ces droites se trouvant situees toutes deux dans le plan tangent qui est 6videmment vertical pour le point (ft, ft'), il s'ensuit qu'elles doivent coincider en projection horizontale ; done la tangente se trouve ici projet^e sur BB'', et par consequent (n^ 102) cette ligne doit toucher la projection horizontale de la courbe.
Observons d'ailleurs que les points b ei d etant situes sur le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal, ils formeront les limites qui separent la branche visible bad de la branche invisible bed, pour Tobservateur qui considere cette projection.
2^ En appliquant aussi le proced^ g^n^ral a la recherche des points situes sur les argtes E'E* et F'P', qui ferment le contour apparent sur le plan vertical, on obtiendra les points (e, ^) et (/,/'), dans lesquels fa /?/xj/cc/ibn verticcUede la courbe sera touchde par ces droites. Ce contact resulte encore de ce que la tangente de la courbe dans I'espace et I'arete du cylindre sont toutes deux dans un plan tangent qui se trouve ici perpendiculaire au plan vertical; et par consequent la projection verticale de la tangente coincide avec celle de I'arete du cylindre. D'ailleurs, les points e' et/' seront ici les limites qui separent la branche visible ef a'm'J' de la branche invisible e! d*h!f\ pour I'observateur qui consid^re la projection verticale.
3^ Pour obtenir le point leplm hautet le ^oint le plus bos de la courbe, c'estk-dire ceux oil sa tangente est horizontale, il faut chercher d'abord sur la base ABCD, quelle que soit sa forme, les points A et G oil fa tangente sera paraUele a la trace horizontale PQ du plan qui coupe le cylindre : alors, si Ton construit par le precede general le point (a, a') de I'intersection qui sera situe sur I'arete AA'', je dis que la tangente en ce point se trouvera horizontale. En efTet, cette tangente doit 6tre (n^ 213) I'intersection duplan PQR' avec le plan tangent le long de I'arete A A"": mais, par hypoth^se, la trace horizontale A6 de ce dernier plan est parallele a PQ; done ces deux plans ne peuvent se couper que suivant une droite parallele a PQ, c'est-a-dire horizontale. II en serait de mdme pour I'arete CC*', qui fournira un point (c, cf) oil la tangente de I'intersection sera encore horizontale. Ces deux points sent tres-utiles k determiner, pour tracer la courbe avec facilite et exactitude, sur les plans de projection.
240. Maintenant, construisons la tangente de I'intersection pour un point quelconque {m, m'). Ce point se trouve sur I'arete mM; et le plan tangent du cylindre le long de cette g^neratrice ayant pour trace horizontale la tangente MT de la base, si Ton prolonge cette droite jusqu'a ce qu'elle coupe PQ en T, ce sera Ik un point de Tintersection du plan tangent avec le plan de la courbe, intersection qui n'est autre chose que la tangente cherch^e {n? 213). Done, en joignant le point de contact (m« nf) qui est dejk connu, avec le point T qui se projette verticalement en T' sur
