CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES, Io

la ligoe de terre^ on obtiendra Tm et Tm' pour les projections de la tangcnte demandee.

241. Rahattement. Pour obteuir I'intersection dans sa veritable forme» rabattons le plan PQR' sur le plan horizontal, en faisant tourner le premier autour de sa trace PQ; puis, cherchons ce que devient alors le point quelconque {m^m') de la courbe. Ce point ne sortira pas du plan vertical mY perpendiculaire k la charnifere; et comme sa plus courte distance a cette droite est evidemment la ligne (mV, m'V), il n'y a qu*k evaluer, par le procede general du u? 17, la veritable longueur de cette ligne» puis la porter de V en jx, et ce dernier point sera le rahattement de {m,m'). Mais observons ici que, si Ton a employe la m^thode du n^ 258, on connaitra immediatement la vraie longueur cherchee, car elle est evidemment Vm" ; de sorte qu'en d^crivant avec cette droite pour rayon un arc de cercle, il ira couper la ligne YM au point demande /x. De meme, les arcs de cercle decrits avec les rayons Ya" et-Yc" fourniront les points a et y; et par des operations semblables, on obtiendra la courbe aXfxSvfyc^ pour le rahattement de la section droite du cylindre.

242. La tangente {mT, m'T) de la courbe primitive ayant son pied T situe sur la charnifere PQ, ce point restera immobile pendant le mouvement de rotation ; et comme le point de contact {m, m') s'est transporte en /x, il s'ensuit que T/x est le rahattement de la tangente, ligne qui devra toucher exactement la courbe oXfxS... au point /x.

243. Developpement. Nous avons demontr^ (n^ 166) que, parmi toutes les courbes z'&E/ie^ tracees sur un cylindre quelconque, hi section orthogonale etait la seule qui devint une ligne droite aprfes le developpement de la surface. Par consequent il ne sufiisait pas ici de connaitre la base ABCD du cylindre, pour etre en etat de le d^velopper; mais il fallait necessairement chercher la section droite (abcdf aiy dd'\ et meme construire le rahattement a&^d de cette courbe, afin de pouvoir mesurer chacun des arcs aX, X/x,..., et de porter leurs longueurs rectifieeSy k la suite les unes des autres, sur une meme droite [*). Ainsi, en supposant qu'on ouvre le cylindre le long de Tarete AA" {fig. 6o et 6i), on prendra sur une droite indefinie o^les distances

aaXs = aX» XsjXs = X/x, /X2 6a = /x6, 63Va=:Sv,...;

puis, par tous les points de division, on ^l^vera des perpendiculaires indefinies sur la droite o^, etce serontla (n^ 161) les positions des generatrices apres le developpement. Ensuite, pour obtenir la courbe suivant laquelle se transforme, par cette operation, la base inferieure ABCD, il faudra porter sur ces perpendiculaires, les longueurs des diverses portions de generatrices comprises entre cette base et la

(*) Nous avons d^j&dii que, pour recUBer un arc tel que oX, il faut employer une ouverture de compas qnisoit contenue un certain nombre de fois sur cefc arc, mais aseez petite pour que la corde qu'elle repr^ sente se confonde sensiblement avec Tare partiel que sous-tendrait cette corde.

GdomStrie Leroy. 1 4

f o6 LITBE |V. — IOTF.R9ECnONS DE StTHFACBS.

section droite^ lesquelles out pour projections

(Aa, A' a'), (U, L'/'), (Mm, M'm'),..., et qui peuvent 6tre evaluees par le proce(16 general du n^ 47. Mais ici encore la methode du n°238 ofTrira un avantage sensible; car elle fournira imm^diateinent pour ces longueurs les droites rabattues suivant

k(f^ L/% Mm",..., que Ton transportera sur Ic d^veloppement en

et lacourbe A2L2MaB2C,D2A, qui passera par les extr^mit^s de ces droites, l»era la transformie de la base ALMBCDA.

La transformee de la base superieure s'obtiendrait g6n^ralement en portant, sur les perpendiculaires a o^y et au-dessus de cette ligne, des distances 4gales aux portions de generatrices qui seraient comprises entre la section droite et la courbe A'T'^M'^B",...; mais ici oil les deux bases sont paralleles, les longueurs des g6n6ratrices totales sont constantes; de sorte qu'il suffira d*6Yaluer'la grandeur d'une seule arete (AA% A'A"), laquelle est donnee par le rabattement AA, \jfig* 6o), puis de porter cette grandeur constante sur les diverses perpendiculaires k xyy k partir des points As* L^, M,,.... On obtiendra ainsi, pour transforflfi^ de la base sup6rieure, une courbe A4 L4M4C4 A, identique avec AaLsMaC, A,.

244. Observons ici que quand la base ABCD du cylindre sera un cercle, comme dans notre 6pure, ou meme une ellipse dont un des axes BD se itonv^r^perpendicu^ laire aux generatrices^ la section droite sera une ellipse dont les axes seroat (bd, h'd!) et [acy dd). En efTet, le plan qui serait men^ par ies deux aretes BB'' et DD" ayant alors, par hypothec, sa trace horizoBtale BD parallfeie k PQ, il devra couper le plan PQR' suivant une corde {hd^ h' d) parall^ie it PQ; par £onsj§queni cette cond« sera perpendiculaire sur les tangentes de la courba aux points (6, b) et (<i, d)^ puisque ces tangentes sont dans les plans verticaux BB'" et \MV\ Ainsi, la corde horizontale {jbd^ hfd) est n^eessairement un diam^reprinc^kdy ou un axe'de I'ellipse dans Tespaee, et le second axe, qui est perpendiculaire au premier, est {ac, dd)^ Mais il faut observer que ces deux droites, en se projetant sur le pkn vertical, ne restent pas perpendiculaires, et deviennent seuleinent diamitnss conj'ugues de a'6Vti?', tandis qu'elles continuent d'etre, en projection horizontale, les axes de la courbe ahcd.

D'apres cette remarque, et si Ton a eu soin de prendre les points G et M, E et L, . . . deux k deux sur des droites parallfeles k PQ, la section ortfaogjonale rabattne mivant oSye^ se trouvera divisee par (es gen^rata*ices en arcs egaux et symeiriquemeiit places quatre k quatre ; de sorte que, pour rectifier c^tte coarbe, il suffira de metni* rer seulement les trois arcs ok, Xfx et juiS, puis de porter ees longueurs sur a;^)^ quatre fois de suite, mais en renversant Tordre de ces arcs k cfaaque s^riie. Les longueuro des portions de generatrices oflriront aussi des relations analogues, qui permettront de n'empioyer que la premiere moiti^ de ces droites.

245. {Fig. 60 et6i . ) Pour obtenir la tangente deia transformee, qui n'oaCttutri

choge que ce qae devient U tangente primitive TM de H base do cylindre, ftprfes le deveioppement de cette surface, il faut se rappeler (n^ 162) quey dans cette operation, te triangle projet^ i^ur M/tiT reste iwaHable de forme. Or ce triangle est rectangle an point {m, n^); Vnn des cfrtes projete sur Mm est dejk rapporte sur le deveioppement en (12^^21 le second eoteT/n a pour longueur veritable Tjul qui est son rabattement t done, si Ton prend sur spy la distance /XjTa = julT, et que Von m^ne rhypot^nuse T<^M^, cette droitesera la tangeote de la transfbrmee au point M3.

Puisque, d'aprbs ce que nous venons de dir'^ pocur tin point quelconqne, ('angle TsMa/Xa forme par tfne tangente et par )'ar6te eorrespondante demeure le meme avant et apres le deveioppement, il s'ensuit qu'aux points Aj, Gi, A»^ la transform^e devra couper les generatrices A angks droits; car, sur le cylindre primitif, la tan-^ gente aux points A et C de la bade etait evidemment perpendiculaire sUr la generatrice eorrespondante.

Vinflewion aura lieu, dans la transformed, aux points B^ et D^} car aux points correspondants B et D sur le cylindre primitif, le plan tangent se trouvait evidemment perpendiculaire sur le plan secant PQR', oe qui est la eonditien earacteri^tiqoe, comme nous Tavons vu dans la note du n^ 226*

PROBLEME ly* itdnt donnes un cdne droit et unplan^ tromer^ t^ ks projections de leur intersection ; :2^ le rabattement de cette courbe ; 3^ le deveioppement du cdne et la transformee de V intersection^ ainsi que les tangentes a ces dwerses courbes^

246. {Fig. 63.) Un cone droit etant une surface de revolution engendree par une droite qui rencontre Taxe, toute section perpendiculaire a cette derniere ligne sera un cercle ACBD, que nous regarderons comme la directrice ou la base du conct et dont nous adopteron^ le plan pour plan horizontal de projection. Le sommet etant projete en (S, S'), le contour apparent du cdne sur le plan vertical sera forme (n** 106) par les deux generatrices S'A', S'B', qui repondent aux plans tangents AA'S, BB'S', perpendiculaires au plan vertical; et si d'ailleurs on admet, pour simplifier un peu les operations graphiques, que cetui-ci a ete choisi perpendiculaire au plan secant, ce dernier aura pour traces des lignes telles que PQ ef QR'.

247. Cela pose, coupons le plan PQK' et le cone par des plans auxiJiaires qui passent tons par te sommet (S, S^), et qui soient en outre paralteles a la irojce hon^ zontale du plan PQR'. D'aprfes le choix de nos donnees, chacun de ces plans auxiliaires aura pour traces une droite ST' menee par le point S' dans une direction arbitraire, et tine droite FKF perpeivdiculaire a la ligne de terre. Comme cette derniere traoe reiteontre la ba6e ACSD du e6ne en deux points F et K, j'en con**

Iclus que les generatrices SF et SK sent les sections de la surface par le plan auxi- Uaire S'F'F) mais eelui*ci coupe le plan PQR' suivant nne droite evidemment perpendiculaire au plan yerttcal, et projetee en (MS XNM) ; dene la rencontre de cette droite avec les deuii generatrices fournira, sur le plan horizontal, deux points M et Nde la courbe demandee, lesquels seront d'ailleurs projetes verticalement en W. En repetant ces eon^trtictions pour d'autres plans auxiliaires, on obtiendra des points de Tifiters^tionf aussi multiplies qu'en le voudra; mais^ poiir Toperation

Io8 UVaB !¥• -- INTBaSECTlOHS Iffi SUftFiCES,

ult^rieure du developpement, il sera utile de faire passer les traces horizontales des plans auxiliaires par des points A» E, F, C,... qui divisent le cercle en arcs egaux. Parmi ces plans, se trouveront les plans tangents AA'S' et BB'S^ dont chacun fournira un point unique (G, G') ou (H, H') ; ce seront la deux sommets de Tintersection, car on voit aisement que la droite (GH, G'H') divise en deux parties egales eta angles droits toutes les cordes paralleles k MN; de sorte que cette droite est un aoie de la section conique. Cette courbe^ qui, dans Texemple actuel, est une ellipse, a pour projections GLMHN et G'H'.

248. {Fig. 63.) La methode pr^cedente ne pourra pas servir k trouver les points de rintersection, situ^s sur les deux aretes SC et SD qui se projettent verticalement suivant I'axe du cone; parce qu'ici les sections auxiliaires faites dans cette surface et dans le plan PQR' se confondraient toutes sur le plan horizontal avec la droite CSD. Mais si nous menons par le point \ un plan sdcant horizontal^ il coupera le c6ne suivant un cercle du rayon F V = SV, et le plan donne suivant une droite (r, CD); par consequent, la rencontre de cette ligne avec le cercle du rayon SV sur le plan horizontal fournira les deux points demand^s I et J.

Ge second precede aurait pu aussi etre employe pour trouver les autres points de I'intersection du cone avec le plan PQR': et d*ailleurs, il pent servir a verifier la position des points pour lesquels, dans la premifere methodte, la rencontre des aretes et des droites se fait sous un angle trop aigu.

249. La tangente en un point quelconque (M, M') de la courbe sera donnee (n^ 215) par I'intersection du plan PQR^ avec le plan tangent au cone le long de TarSte SMF. Or ce dernier a pour trace horizontale la tangente FT de la base ACBD ; ainsi le point T oil se coupent les droites FT et PQ est un point de la tangente cherchee, etmeme ce point en est la trace horizontale; done, enfin, cette tangente est la droite (TM, QM').

250. Rabattement. Faisons tourner le plan PQR' autour de sa trace QRS pour le rabattre sur le plan vertical. Dans ce mouvement, la droite (MNX, M'), evidemment perpendiculaire k la charniere, demeurera a angle droit sur cet axe de rotation, et prendra la position Wm\ done, en portant sur cette derniere ligne les distances

M'm = XM, M'n=XN,

on obtiendra les points m et n pour les rabattements de (M, AF) et (N, N^). Tons les autres points se trouveront semblablement , et la vraie grandeur de la section sera glmihn.

Par suite des mSmes considerations, on verra aisement que le pied T de la tangente TM se transporte k une distance Q r = QT sur une perpendiculaire k la charniere QR'; ainsi, en joignant les points t et m, on aura la droite tm qui devra toucher en m la courbe rabattue glmh.

251. Ddveloppement. {Fig. 63.) Nous savons (n® 170) qu'une surface conique quelconque est developpable, et que, dans cette transformation, les generatrices ou

GHAPITRB n. — DBS SECriOBTS PLANES, I Of)

des portions quelconques de ces droites ne changent pas de longueur. Done, puisqu'ici, oil le c6ne est droit, les aretes comprises depuis le sommet jusqu'a la base sont toutes ^gales, il est Evident que les extremites de ces droites se trouveront situees, aprfes le d^veloppement, sur une circonftrence de cercle qui aura pour centre le sommet du cone, et un rayon 6gal a S'A'. Ainsi, choisissons sur le plan oil Ton veut executer le developpement, un point arbitraire S"; et avec un rayon S''A'' = S'A', decrivons un cercle sur lequel nous prendrons un arc A"B''A* qui soitegal en longueur absolue ^ la circonference ACBDA, ce qui revient k dire qua' cetarc A"B''A'' doit etre une fraction de la circonference totale, exprimee par le rapport de SA k S'A'; puis, tirons le rayon S"A", et alors lesecteur S''A''B"A*' repr^sentera exactement la nappe inferieure du cone, d6velopp6e sur le plan que nous ayons choisi. Quant k la nappe superieure, nous en faisons abstraction ici, parce qu'elle n'est pas rencontree par le plan PQR'; mais, dansun autre exemple (n^ 262) » nous verrons ce qu'il faut faire pour cette seconde nappe.

252. Maintenanty pour obtenir la transformee de I'intersection (GLMH, G'H'), eten admettant que le cone a ^t^ouvert le long de Tarete (SA, S'A'), prenons sur la circonference A'^B^'A*, qui est elle-meme la transformee de la base ACBD, des arcs (*)

A-'E^znAE, E''F" = EF, PC = FC,...,

puis tirons les rayons S''E'', S^'F',... sur lesquels il faudra porter des longueurs respectivement egales aux portions de generatrices, comprises entre le sommet hi les divers points de la courbe (GMH, G'H'). Or, si Ton considere, par exemple, le point (M, M') situe sur la generatrice (SF, S'F'), et que Ton fasse tourner cette droite autour de Taxe, jusqu'a cequ*elle devienne parall^le au plan vertical, il est evident qu'elle ira coincider avec I'arete (SA, S' A'), tandis que le point M' restera sur une borizontale et se transportera en /x' : done alors S'jm' sera la veritable longueur de la droite primitive (SM, S'M'). Ainsi, apres avoir mene par tons les points V, M!,... des horizontales, il faudra porter sur les rayons du developpement des distances

etla courbe G"L"M'rH''N"G'^ sera la transformee de la section faite dans le cone par le plan donne PQR'.

(*) Ici il ne s'agil pas de rectifier pr^cis^ment los arcs AE, etEF,. . ., mais de les changer en arcs d'un rayon diff(§rent et de mdmes longueurs absolues que les arcs prlmitifs. Or, si Ton emploie des ouvertures de compas propres k repr6senter des cordes sensiblement confondues avec les arcs parliels qu'elles soustendraient sur le cercle AGDB, puis que Ton reporte ces ouvertures de compas sur la circonference A'B' A'*, on approchera encore plus de la v^rit^ que si on les portait sur une ligne droite ; par cons^ent, le proc6d6 est le mtoe que pour rectifier les arcs AB, £F,. . . . Toutefois, dans le cas actuel, on op^rera avec plus d'ezactitude et de facility si, comme nous Tavons recommandd, on a eu soin de prendre les points A, E, F,. . . k ^les distances sur la base circulaire, parce qu'alors il suffira de diviser Tare total A''B*A'* en autant de parties Egales qu'il y en avait sur le cercle ACUD.

no UVRE IV. -" U«T£RSE€TIQJNS »R SURFACES.

253. Cette transformee, con8id6ree en ellch-meme, Ae se teriniiiorait pas brash> quement aux points G'' etG'*'; mais elle se prolongerait ea offrant one infinite de branches egales a G^H'^G"^, lesquelles fiairaient cependaat p»tr coincider exacte*ment, si le rapport de Tapothfeme S'A' au rayon SA de la base etait uo nombte commensurable : c'est ce que montre ckirement I'^quation de cette courbe, oil il entre une fonction circulaire eiperiodique (*). Mais pour se rendre compte syirthetiquement de ces circonstances, il n'y a qu'k imaginer que le cone est envetoppe par une surface flexible, qui a faitun nombre indefini de revolutions : alorSi toutes ces nappes superposees ayant ete couples simultan^ment par le plan PQRS elles produironty en se deroulant de dessus le cone, une infinite de branches identiques qui se construiront graphiquement en continuant de porter sur la circonference A'^B^'A", et au dela du point A*, des arcs egaux k A"E% E'T", ¥'(/,... avec des rayons vecteurs egaux k ceux que Ton a deja employes.

254. Quant a la tangente au point M'' de la transformeOr il faut se rappeter

(*) Pour obtenir eett^ equation en coordoimto polairee, repr^entom par R, A, /, )e rayon de la bale, la hauteur et Tapoth^me du cdne {fig. 63); soient d'ailleure X =rY la hauteur du point (F, S) oil le plan PQK' coupe I'axe, et &> Tangle de ce plan avec Thorizon : nommons enfin p la distance du sommet a un point quelconque (M, M') de la courbe, et a Tangle ASF, c*est-^-dire Tare qui mesure cet angle dans un cercle dont le rayon est Tunit^; d'oi!i il r^sulte que Tare APs= Ra, Avec ced dOnn^, il serait bien facile de former les ^nations du plan et de la droite (SF, S'¥')y puis de trouver la distance du sommet k leur point de rencontre, distance que Ton ^galerait k p; mais nous poovons y arriver pkn promptemeilt de la mani^re suivante :

Duns le triangle form^ par Taxe du c6ne avec la gen^ratrice (SF, S'F'), sur laquelle est situ6 le point (M, &T) dont nous appellerons z la hauteur, on a ^videmment

ensuite, dans le triangle ST'Y qui est la projection verticale du prec^ent, et oil la droite

tang«i> tangoi' on trouvera aisdment

A:A— *::Rco8a:;— --5

tangu alors si Ton ^limine z entre les ^nations foumies par ces deux proportions, il viendra

A — R taugw.cosa

Ce r^sulfat contient deux variables p et a dont la premifere conserve la mftme grandeur sur le d^veloppement du cdne; mais Tangle a est alors remplac6 par Tangle G''S"M'' = qui corredpolkd, dani le cercle dik rayon /, k un arc A'F' dont la longueur absolue ^ale celle de Tare AF dans le cercle du rayon R; par cons^uent on a la relation Ra = /O, au moyen de laquelle on pent ^liminer a deT^ation pr6c^entequi devient en6n

h — R tang w. cos -^

Cette ^nation, que nous laissons k discutcr par le h?cleur, repr^nt^ra tonjonri la transformite, soft qtrt Tintersection primitive se trouve tme ellipse, une paraboie ou ahie hyperbole, eti Ciisflnl attention que si ak varie pendant que k demeure constant, on aura pour ces trois genres

Rtang6></i, ou =A, ou >A«

CUAPITRE !!• — DBS S1GGTI0HS PLAICES. f I I

(n** 170) que cette droite doit faire ici avecS'P le m6me angle que formait primitivement la taageute (MT, M'Q) avec cette g^neratrice; et comme cela est vrai Element ie ki taagente FT k la base, il s'ensuU que le triangle rectangle projete mir MFT demeure iiwariable de fenne quand le eAne se d^vd^^ppe. Or, Fun des e6t6s ds ce trian^e .est di^jii rapporte sur le develop pement en M^'F^; done, si on lui k^B une peqpendiculairie F'T^ s= FT, et que Toa tire la droite TW^ cette ligne A&ith, toacfasr ia traasfonn^ ta poiat M''.

II results anssi du prfaEiei|»e que potts vBuons de rappeler, qii'aux poiats Gf^ W, O'* la courbe doit couper k angle droit le rayon vecteur correspondant; ear, auK points primitifs (G, G') et(H, H'), ia tangente de rintenseetion se trouvait avidemment perpendiculaira s«r la gf^aeratrice du c6ne.

2S&» Jktjpnm d'infieadon. 11 arriye ordiaairenient, eoafime ici dans la^^. 63, que la transforihee G"M"H"G*, apres avoir tourn^ sa concavity vers le sommet S^, \0wne eVi^^itf^ sa convexite vers ce point et dies lors il doit y avoir u^e inflemon entre G" ej H". JJ ijaporte de pouvoir assignor Tendroit precis ou arrivera cette circonstajgice, et pour cela il faut se rappeler le lemnie suivant, qui est bieo facile k demontj*er ; JLorsqu'une droite est obliqciea un plan, Tangle qu'elle forme avec s^ projection orthogouale sur ce plan, est le minimum de tons ceux qu'elle fait ave^ las diverses lignes tracers par son pied dans ce laeme plan ; et le maximum da tons ces angles est celui qu'elle forme avec le prolongement de sa projection.

Cela pos6 {fig. 6i bis), soientPQRle plan secant, et ABMDEF la section qu'tl trace dans un jc6ne quelconque ; j.e dis que la transform^e de cette section presentera une inflexion au point situe sur la gdneratrice pour laquelle le plan tangent du cone se trouvera perpendiculaire au plan sicant. En efTet, si nous abaissons la perpofidiculaire ST sur le plan PQR, et que nous menions la droite TMDP tangente k la courbe de section, le plan STM sera bien tangent au c6ne, et perpendiculaire au plan secant; d'ailleurs, les deux generatrices infiniment voisines SM et SD conte- Ques dans ce plan tangent, auront evidemmiefit la tangente TMP pour projection orthogooale sur le plan PQR. Or, d'apr^s ie lemme cite plus baut, on aura

angle SMT < SMB et angle SDP > SDE ;

(lone, lorsqa'on diBveloppera Je cone sur le plan tangent SMT suppose immobile, r element MB A(^ )a courbe ira prendre une position MB' situ^ au^essous de la tangente MT, tandis que Telement DE occupera une positic^ DE' superieure k DP. Par consequent, la transformee A'B' MDE'F' ofTrira bien une inflexion au point M, ou autour de la tangente TMDP.

Surface diveloppahle quelconque. Le th^or^me d^montr^ ci-dessus pour un cone, et pour un cylindre dans la note du n^ 226» est encore vrai pour toute surface developpable couple par un plan; car la demonstration precedente n*exige nullement que, dans lay%. 64 few, toutes les generatrices aillent se couper au meme point S; eile suppose seulement que deux generatrices infiniment voisines, comme SM et SD, sontsitu^es dans un meme plan qui est le plan tangent de la surface. Or, coming

I 12 LIVRR IV. — INTEBSEGTIONS DB SURFACES.

cette condition est toujours remplie dans les surfaces developpables, il s'ensuit que le theoreme precedent est encore vrai pour toutes les surfaces de ce genre.

256. Pour appliquer ce theoreme a la fig. 63, nous abaisserons du sommet (S, S') une perpendiculaire (S'X", SX) sur le plan secant PQR'; et par le pied Xde cette droite, nous m^nerons a- la base du cone la tangente Xp, qui fera connaitre la g^n^ratrice S/9 sur laquelle sera situe le point de la section ou se produira une inflexion dans la transformee. II restera done k.trouver, sur le developpement du cone, la position que prendra la generatrice projetee actuellement sur S/9; ce qui s'effectuera comme au n"" 252.

Observons, teutefois, que si le pied (X, X^) de la perpendiculaire abaiss^e sur le plan secant se trouvait en dedans de la base AGBD, il n'y aurait plus d'inflexion dans la transformee de la section; ce qui pent arriver par une certaine inclinaison du plan PQR'.

257. Cos OIL lasection coniqueest une hyperbole {fig. 64). Soient toujours ACBD la base du cdne droit, et k'^'h\ B'S'a', les aretes qui ferment le contour apparent de cette surface sur le plan vertical : nous tiendrons compte ici des deux nappes, en les supposant termineesa deux sections horizontales A'B', a'V^ qui se trouvent egalement distantes du sommet, et qui, par consequent, donnent lieu k deux cercles projetes Tun et Tautre sur ACBD. Quant au plan secant, disposons-le de mani^re k couper les deux nappes du cone; et en admettant toujours que le plan vertical a k\jk choisi perpendiculaire au plan secant, les traces de ce dernier seront R'Q et QP.

La construction de la courbe de section pourrait s'effectuer comme au n^ 247, au moyen de plans auxiliaires qui seraient menes par le sommet, perpendiculairement au plan vertical ; mais, a cause de la grande obliqiiite que presenteraient ici les sections rectilignes, il sera jplus exact d'employer des plans horizontaux. Soit done fx'y' un de ces plans; il coupe le cone suivant un cercle projete sur fxMy, et le plan donne PQR' suivant une droite (M',XNM); par consequent, les points M etN communs a ces deux sections sur le plan horizontal, appartiennent a la courbe demandeedontune des branches est ainsi (PMGNI, QG').L'autre branche (RLHKN, H'R') se construira de memo; et Ton fera bien d'employer une section ^X' = fx'/, laquelle fournira deux points (L, L') et (K, L') projetes encore sur le cercle jxMy. Nous ne repeterons pas ici ce que nous avons dit dans le problfeme precedent, sur les sommets et la construction de la tangente ; mais nous aliens passer k une recherche particuliere au cas actuel.

258. Lorsqu'une courbe admet une branche infinie, et qu'on eloigne de plus en plusle point de contact d'une tangente, cette droite varie de situation, et quelque-* fois elle se transporte tout entiere k Tinfini en meme temps que le point de contact, ainsi que cela se pr^sente dans la parabole du second degre; mais, dans d'autres caB, il arrive que cette tangente variable reste toujours en degk d'une certaine limite, qu'elle n'atteindrait qu'autant que le point de contact serait k une distance infinie. Alors, cette limite des positions de la tangente se nomme une asymptote; et Ton

CHAPITBK n. — -0ES SBGTIONS PLAIIBS. I |3

^nonce cette propri^te d'uneinaniere abregee, en disant que V asymptote d'unecourbe est la tangente pour un point de contact infiniment iloigni.

259. {Fig. 64.) D'apres cela, propose ns-nous de construire les asymptotes de la section faite dans le cone, par le plan PQR'. Le point de contact d'une tangente de cette esp^ccy devant Stre k une distance infinie» se trouvera n^cessairement sitae sur une gdniratrice paraUile au plan sdcant ; si done on mfene par le sommet, et paral«* lelement a PQR% un plan SVa qui coupe le cone suivant les droites Sa et S6, ces deux aretes seront celles qui contiennent les* points de contact des asymptotes. Con* siderons la premiere, et rappelons-nous que le plan qui touche le c6ne tout le long de la g^neratrice Sa, quelque prolongee qu'elle soit, a pour trace horizontale la tangente oB de la base; done, Tasymptote qui doit ^tre (n^ 213) Tintersection de ce plan tangent avec le plan PQR\ passera par le point 9 oil se rencontrent leurs traces; et elle sera precisement la droite dco parallMe k Sa, puisque ces deux plans sont Tun et I'autre parallfeles k cette generatrice.

On construira de meme I'autre asymptote ^Tco, qui sera parallfele a Tarete S§; et les deux asymptotes devront se couper en un point co, qui soit situe precisement au milieu de Taxe r6el GH, c'est-k-dire au centre de la courbe.

260. Si Ton appliquaitla methode prec^denteau cas d'une section paraboUque^ ce qui exigerait que le plan PQR' eut sa trace verticale parallele dSf A\ on trouverait que les deux aretes Sa, S6se confondraient avec SA; de sorte que cette derniere droite etant la seule generatrice du cone qui fut parallele au plan secant PQR', la section auraitbien encore une branche infinie, mais elle n'admettrait plus d'asymptote; car le plan PQR' etle plan tangent le long de SA, qui devraient donner cette tangente parleur intersection, se trouveraient ^videmment paralleles entre eux.

261. Rabauement. Cette operation s'effectuera comme dans le n** 250, enportaftt sur chaque droite M'm perpendiculaire k la trace verticale QR', des distances M'm = XM, etM'n = XN. Quant aux asymptotes, on rapportera d'une manifere semblable leurs pieds Q et 9, en 0' et 9'; puis, on joindra ces derniers avec «" qui est le rabattement du centre (ca, o)').

262. Ddveloppement. (Fi^. 64 cr 65. ) D' a prfes les principes rappeles au n^ 251 , ilfaudradecrired'un point arbitraire S", et avec un rayon egal a I'apothbme S'A', un cercle sur lequel on prendra un arc B" A"B'^ qui soit k la circonftrence totale dans le rapport de SAavecS'A'; et le secteur S"B"A"B*' representera le developpement de la nappe inferieure du cone, en supposant qu'on ait ouvert cette surface le long de I'arete (BSA, B'S'a'). Mais, comme la nappe sup6rieure se developpe en meme temps que la premifere, et par un mouvement contraire autour du sommet qui pent etre cense immobile, cette seconde nappe aplanie viendra occuper un secteur S"a"6"a'' egal au precedent, et dont les rayons extremes seront les prolongements de S"B'' et de S^B"*. Pour rendre plus sensible la distinction de ces deux secteurs, nous avons suppose ici que la nappe sup^rieure se terminait a un cercle a^b^a^ d'un rayon un peu moindre que S"B", et nous dtvons ponctud les parties du secteur inferieur qui sont recouvertes par I'autre; cependant, pour effectuer les constructions

G^omeirie Leroy. * ^

f l4 UYRE IT. — IlfTEItSECTIO!fS BB SITftFACBS.

dont nous allons parler, il faudra toujours op6rep sur le cercle primitif WA^Vb''.

Cela pos6, sup le rayon S" A" qui divise en deux parties ^gales \e premier secteur. on prendra la distance S"G" = S'G', et le point G" sera la position du sommet (G, G'). Ensuite, pour un point quelconque (M, M') de la oourbe, on mfeofira la gen^ratrice SMF dont la position S'T", sur le developpement, s'obtiendra en prenantTarc A'^F" = AF; et comme la veritable distance du sommet au point (M, M') est egale a S>' (n^ 252), si Ton prend una longueur S"M" = S>', le point M" sera la position actuelle de(M, M'). Les autres points 6e determineront d'une mani^re semblable, et la tramformde de la brancfae inferieure de la section cpnique sera FM"G"N"r.

Quant k Tautre branche, elle se trouvera divis6e en deux parties separeeSt puis^ que le sommet (H» H') etait place sur la generatrice B'S'^ suivant laquelle on a ouvertle cone, etque eette arete s'est transportee en ^"(f d'une part, et de Vautre en S"a*. On portera done sur ces dernieres droites deux distances S"H" et S^'H* egales k S'H", et les points H'', H"" ser&nt les positions actuelles du sommet H^ Ensuite, pour un point quelconque (L, L') de cette branche^ on tirera la generatrice SLC dont la position S'X'", sur le developpement, se trouvera en prenant Tare a" 01' = AC; et sur le rayon S"C", il restera enfln k porter une longueur S"L" = S'X' qui est la veritable distance du sommet au point (L, \J). Par des operations analo-'^ gues, on trouvera que la section faite dans la nappe superieure du cone, a pour transformees les deux branches H-'L^H'' et H'^E'^Y'', lesquelles doivent couper <1 angles droits les rayons extremes S"af' et S^'oT.

263. {Fig. 64 et6B.) Cherchons maintenant k retrouver les asymptotes, et observons bien que oes droites etant situees, non sur la surface memo du c6ne, mais dans les plans tangents le long des generatrices Sa et SS, elles conserveront leurs positions primitives par rapport k ces aretes autour desquelles les plans tangents tie font que tourner, lorsqu'on developpe la surface. CommenQons done par determi--* ner ces ardtes sur le developpement, en prenant les arcs A" a" a Aa, A'^S" = A6, et tirant les rayons S"a" et S"S" : ensuite, sur les tangentes aux points a!' et S*, nous prendrons des distances a^'fl" = afl, ^'(p" = 69, et les droites 6"0, y"0, respectivement paralleles aux generatrices S'^a'^, S'^S"", seront les positions actuelles des asymptotes primitives.

Le point ou ces droites se coupent doit se trouver sur le rayon S"A'\ k cause de la sy metric des constructions precedentes, k droita etk gauche de ce rayon; mais il ne taut pas croire que ce point est le m^me que Tintersection o) des asymptotes primitives, car ces droites ont change de position Tune par rapport k Tautre.

N^anmoins, les lignes 6''0 et o'^O doivent se trouver asymptotes relativement aux diverses branches de la transformee. En effet, comme la forme de cette courbe doic toujours etre la meme, quel que soit le plan sur lequel on a developp^ le cdne, nous pouvons concevoir que ce developpement a ete fait sur le plan tangent le long de Tarete Sa; alors Tasymptote du, qui se trouvait dans ce plan, a du rester immobile, aussi bien que I'eiement infiniment eloigne qu'elle avait de commun avec Thyper-

CHAPIfntB II. ««* WBk ffiEGTlOirs PLANES. I f 5

bole : done c^t element est encore ooBimttn k la droite $''0 et k la transformee; par consequent, cette droite est bien une asymptdte de la bfanche Qf'WV^ et aussi de la brancbe H"K'T\

264i Poita ^inflexion. Dans \^fig^ 6S, la brancbe de courbe H'^L'^R'^, qui commence par tourtier sa concavity vers Ta^ymptote, finira n^cessait^ement par presenter sa convexity k cette esp^ce de tangetite; il doit done y avoir un point d^>iflexion mt cette brancbe, et on Tobtiendra, comtne ati n^ 2S6, en menant un plan tangent au odne de \^fig^ 64 paf la droite [^T, SA), abaissee perpeftdiculairement sur leplan decant PQR'< Mais, comme ici cette droite irait rencontrer trop loin la base inferieore du c6ne^ pi^olotigeoti»-la jilaqti'au point (X"", X) oti elle va percer le plan de la base sup^rieare^ et du point (X",X), menons a cette base la tangente Xp, qui fera eonnaitre (n^ Sl£»5) la gdn^ratrice Sp, sUf laquelle sera situe le point ou I'lnflexion se manifestera lors du developpement. Toutefois, il faut bien observer que la gen^ratriee pfojetee sur Sp appartienta la tiappe Stip6rieure; ainsi, la distance Ap devra Mre poft^e sur layJ^. 65, noii fa partir de A!\ tnais k patlir de a"', suivant Tarc^'p"; et I0 rayon ^''p" contiendra le vrai point d'inflexion dont il ne reste plus qu'k troatet la distatied ati sommet dtt tbttt^ ainsi qu'on Ta fait pour (L, L') au B'' 262.

PROBLEME V. Trouver Vintersection (tun coiSBi QCELConque par unplan, le de- ^^doppetMnt de la iUrfdce^ et la tntnsformde d6 Vintersection.

26S. Sans construire une epure que nous engageons le leoteur k tracer luimeme, designons par B la base ou la trace borizontale du cone en question^ et par P le plan secant. It n^y aura qu'k couper cette surface et le plan P par une suite de plans auxiliaires menes tous/^or le sommet, et les choisir, si Ton \enU paraUeles d la trace horizontale duplan secant; ce qui s'ex^cutera en condaisant tons ces plans par une droite parallele k cette trace borizontale et tiree par le sommet du cdne« Alofs chacun de ces plans auxiliaires produira, dans les deux surfaces, des sections recti^ lignes bien faciles k trouver, et dont les points de rencontre appartiendront a la courbe demandee.

266« Des branches infinies. II importe de savdir reconnaitre, dpriori, si la section aura ou nan quelque brancbe infinie; or^ il est aise de voir que la question revient a savoir s'il existe, sur le cone donne, quelque generatrice qui soit parallele au plan secant P; car, si aucune des generatrices ne remplit cette condition, le pUn P ne pourra rencontrer ces diverses droites qu*k des distances finies, et des lors la courbe d'intersection sera necessairement limitee dans tons les sens. On mfenera done par le sommet du cone un plan V qui soit parallele k P, et dn examinera si la trace horizontale du plan P' rencontre quelque part la base B du cdne« Lorsque ces lignes n'auront aucun point commun, on pourra afQrmer qu'aucune des generatrices du cdne n' est parallele au planV ^ et qu'ainsi la section n'aura que des branches fermies. Mais si la trace du plan P' coupe la base B en un ou plusieurs points, les diverses generatrices Gi G',... qui aboutirontk ces points, se trouveront 6videm-^

1 16 LIVBE IV. — INTEBSEGnOirS DB SCBFAGES,

ment paralleles aupkm P» et d^s lors elles n'iront le rencontrer qu'k I'lnfiDi; par consequent, la section admettra autant de branches infinies.

V asymptote de la branche correspondante k la generatrice G s'obtiendra en cherchant Tintersection du plan P avec le plan tangent mene suivant cette generatrice Gy ainsi qu'on Ta vu au n^259. Si ce plan tangent co'incidait avec P' , ce qui arrivera quand la trace horizontale de ce dernier se trouvera tangente k la base du cdne» alors la branche infinie serait depourvue d' asymptote. Mais com me la trace horizontale du plan P' pent avoir avec la base B plusieurs points communs, dontles uns seraient des sections veritables, et les autres des contacts^ il pourra arriver que Tintersection totale du cdne avec le plan presente k la fois des branches infinies douses d'asymptotes, et des branches infinies qui en soient d^pourvues.

267. Quant au developpement de la surface conique^ il faudra partager la base en arcs assez petits pour etre sensiblement confondus avec leurs cordes ; alors, en mesurant une de ces cordes et les deux aretes qui aboutissent a ses extr^mites, on pourra former avec ces trois droites et sur un plan quelconque, un triangle qui representera un ildment supeificiel du cone; puis, k la suite de ce triangle, on con-^ struira de meme Telement adjacent qui aurait un cote commun avec le precedent; et en continuant de la sorte» on obtiendra tons les elements du cone etendus sur un plan, ce qui donnera bien le developpement de cette surface.

A la verity cette marche exigera que les operations soient faites avec beaucoup de soin, parce qu'il faut ici construire une suite de triangles ou Tun des cotes est extremement petit par rapport aux deux autres, et que les erreurs partielles penvent s'accumuler. II serait plus avantageux, sans doute, de connaitre d'avance sur le developpement, une ligne droite ou circulaire sur laquelle il ne resterait plus qu*k prendre des arcs determines, pour fixer la position nouvelle des generatrices, ainsi que nous I'avons fait pour un cylindre quelconque au n^ 243, et pour un cdne de revolution au n^ 251 ; mais ici oil il s'agit d'un cone quelconque, il n'est plus possible de se procurer cet avantage important, parce qu'on ignore entierement la forme que prendra la base du cone apres le developpement de cette surface. On pourrait, il est vrai, obtenir une donnee equivalente ou une section orthogonale^ en cherchant d'abord Tintersection du cone propose avec une sphere concentrique; mais cette methode, que nous exposerons plus loin (n^ 330 et 331 ) , est elle-meme sujette k des inconvenients encore plus graves.

Quand une fois le developpement du cone est effectu^ par une methode ou par une autre, on y construit la transfonnie d'une section plane, ou celle de toute autre courbe, en portant sur les rayons du developpement, des longueurs egales aux distances du sommet aux divers points de cette courbe, comme nous Tavons vu dans le n^' 252.

PROBLEME VI. Construire V intersection d'un p(^ ai^ec une surface de revolution

{fig- 45).

268. Prenons pour exemple le tore dont nous avons dejk parl^ au n^ 138, et qui a pour meridien le cercle (A'B'CB", AC) tournant autour de la verticale

GHAPITSB II. — WBS SBCTIONS PLASfBS. f 1 7

(0, (yZ') situ6 dans son plan; puis, cherchons Tintersection de cette surface avec le plan M'T'T qui lui est tangent au point (M', M) de la nappe intdrieure^ car nous avons reniarqu^ pr^cedemment (n^ 138) que les plans tangents k cette nappe devaient couper la surface.

Employons ici des plans auxiliaires qui soient horizon taux» et soit F'K'N' la trace verticale d'un de ces plans. II coupe le tore suivant deux cercles dont les rayons sontON=rN'etOM=rK', tandisque son intersection avec le plan M'T'T est la droite (F', Yf) perpendiculaire au plan vertical; done les quatre points F, Y*\f'\f^ ou cette droite rencontre les deux cercles, appartiennent a la courbe demandee. Les autres points se trouveront d'une mani^re semblable; mais quand on arrivera aux paranoics extremes D^'B"" et D'B\ on n'obtiendra, pour chacun, que deux points 6 et ^, ou H et A; tandis qu'en operant sur le plan horizontal Y'M'L^ on trouvera trois points R, r etM, dont le dernier est celui oil les branches de la courbe ferment un nomd. D'aprfes cela, Tintersection cherchee a pour projections

MHREFGE'^MAe^e'^M, et G'H'.

Nous avons ponctu^ les parties de cette courbe qui se trouvent au-dessous de Tequateur et du cercle de gorge> parce qu'elles sont inmibles sur le plan horizontal; et sur le meme plan, la courbe doit toucher ces deux cercles aux points E» E'^ e^, Cf attendu que le plan tangent du tore est alors evidemment vertical, et qu'ainsi la tangente de la courbe et celle du parallele, qui sont toutes deux dans ce plan, se confondent en projection horizontale.

269. Cherchons la tangente de la courbe pour un point quelconque (F, F); et puisque cette droite doit etre (n**213) Tintersection du plan M'T'T avec le plan tangent du tore au point (F, F'), construisons d'abord ce dernier. D'apres la methode g6nerale exposee n^ 155 et 154, il faut ramener le point donne (F, F') sur le meridien principal en (N, N'), puis tirer la tangente N'F dont le pied est evidemment P; ensuite, apres avoir report^ ce point P en tt sur la trace du meridien OF, on menera, perpendiculairement k ce meridien, la droite] tiO qui sera la trace horizontale du plan tangent au point (F, F') du tore. II serait bien facile de trouver la trace verticale de ce meme plan : mais cela nous est inutile ici ; car le point 9 oil se coupentles droitesnfi etT'T, appartient evidemment k Tintersection du plan tangent avec le plan M'T'T, ou bien k la tangente cherchee, laquelle est par consequent la droite (0F, T'F).

Cette methode devient insuffisante pour obtenir la tangente de la section au point singulier (M,M'), parce qu'en cet endroit le plan de la courbe se confond avec le plan tangent du tore; mais nous apprendrons plus tard (n** 754) k effectuer cette recherche int^ressante qui fournira les droites MX et MX".

270. Pour obtenir la courbe dans ses vraies dimensions, on rabattra le plan M'T'T autour de sa trace horizontale T'T, et un point quelconque tel que (F, F) restera sur une perpendiculaire a la charniere, en se transportant h une distance indiqueepar T'F. II sera done bien facile d'avoir le rabattement de la section, que

1 1 8 uvBB tir. -* timiittfectiONS db siitrpaciM.

QOUB n'ayoDs pas execute ici, afin de laisser lire plus nettement les constrtlctioiis priDcipalesC).

PROBLEME VII. Intersection d'unplan ai^ec un hyperholoide de r4fH)lution a une nappe.

271. Nous savons (n^ 140) que cette surface peut etre engendree par une hyperbole qui tourne autour de son axe imaginaire, ou bien par la revolution d'une droite mobile autour d*une droite fixe, lesquelles ne sont pas dans un meme plan<. Si nous partions de la premiere definition, la meridienne serait ednnue, et nous rentrerions tout k fait dans le probleme du n^ 268; c'est pourquoi nous emploierons I'autre mode de g^n^ration, etnous representerons la droite fixe par (0, O'Z'), et la droite mobile par (AD, A'D') [fig* 68). Cette derniere ligne est suppos^e ici paraUele au plan vertical, mais il sera toujours bien facile de Tamener dans cette position (n® 149), si d'abord on Tavait assignee dans toute autre. La plus courte distance des deux droites est Thorizontale (OD, D') qui decrit le cercle de gorge (XDY, X' Y') ; et le pied (A, A') de la droite mobile parcourt le cercle AccB qui est la trace horizontale de la surface. Nous nous borneronsici a ce petit nombre de donn^es, pour fixer Thyperboloide en question, sans ex^cuter la representation grc^ phique de cette surface sur le plan vertical, oil le contour apparent serait une hyperbole (n** 148) ; et pour laisser voir plus distinctement la courbe d'intersection sur le plan horizontal, nous reduirons la surface a sa nappe inferieure, c'est-a-dire que nous supposerons la droite mobile terminee au point (D, D'). Enfin, nous rappellerons que la generatrice du second systfeme (n** l4l) serait (BD, fi'D'); et qu'en transportant ces deux generatrices parallelement a elles-memes, dans les positions (D' A', Otf), (D'B', 06), elles produiraient alors par leur revolution autour de I'axe vertical, le cdne asymptote {n? 146) dont la base serait le cercle a6, et dont le sommet (0, D') coincide avec le centre de Thyperboloide qui n*est autre chose que le centre du cercle de gorge.

272. Cela pose, soient PQ et QR' les traces du plan secant donn^, ce qui sup-* pose que Ton a choisi le plan vertical de projection perpendiculaire k celui-la; mais quand meme la trace PQ serait oblique a la ligne de terre, tons les raisonnements qui vont suivre seraient entierement identiques, et les constructions analogues. Pour obtenir Tintersection de ce plan PQR' avec Thyperboloide, j'emploie encore des plans auxiliaires horizontaux, tels que celui qui a pour trace verticale M'V. Ce plan rencontre la generatrice (AD, A'D') au point (V, V), et, par consequent,

(*) U est int^ressant d'observer qae si le plan TT'M' tangent au tore 6tait incline de mani^re i passer par le centre (0, 0'), auquel cas il toucherait une seconde fois cette surface dans un point (/n, m') sym^trique de (M, M'), il arriverait que la section produile par un tel plan datis te tofe 86 redraft i detaf ceroids ^ux et de croisanl aux points de contact (M, M') et (in, m'). (M v^fifie eeUe proportion an formant T^uation de la seclioA rapports k des saes traces dans son plan; mais, pour aperoevoir aisdniMt que cette ^nation du qualri^me degr^ peut se d<§composer en deux fiacteurs rationnels du second, il est n^cessaire d*y introduire les coordonn6es polaires. Cette propri6t6 fort curieuse dont Jouil le tore, a M reconnue et indiqu^ par M . Y^n yillarceaa dans les Comptes revutus de VlnstHuiy le ^ aoill f 848.

€BAPlTltB II. ^ DBS SECTIONS PhAnS. II9

il coupe la surface de revolution suivant un cercle dont la projection liorizontale est la circonference YMN decrite avec la distance OV pour rayon : mais ce m^me plan M'V coupe le plan donn^ PQR', suivant une droite (M', IMN) perpendiculaire au plan vertical; done les points M et N communs k cette droite et au circle pr^cMent, sent deux points de la courbe demandee sur le plan horizontal ; ils sont d'ailleurs projetes verticalement Tun et I'autre en M'. En menant d'autres plans auxiliaires paralleles k M'V, on d^terminera les divers points de Fintersection qui, selon Tinclinaison du plan PQRS pent etre une ellipse, une parabole, une hyperbole, ou une variety de ces courbes.

275. Dessommets. Si du point (0, R'), oil le plan secant rencontre T axe vertical de la surface, on abaisse une perpendiculaire (OP, R'Q) sur sa trace horizon-* tale, cette perpendiculaire partagera evidemment toutes les cordes parallMes k MN, en deux parties egales et a angles droits ; done elle sera n^cessairement un €^e de la courbe, quel que soit le genre de celle-ci; si done cette courbe a des points situ^s sur cet axe, ce seront les sommets^ et il importe de les obtenir directement. Pour cela, il faudrait faire tourner la g^neratrice ( AD, A'D') jusqu'k ce qu'elle vint rencontrer (OP, R'Q) en un certain point 6; mais si, au contraire, nous laissons immobile la premiere de ces lignes, et que nous fassions tourner la droite (OP, R'Q) autour de la verticale qu'elle coupe en (0, R'), elle ira rencontrer la g^neratrice (AD, A'D") en un point que j'appellerai E, et qui se trouvera evidemment sur U mime peurctUele oil aurait ete situ^ le sommet G. Or, il est facile de construire le point K, qui est Tintersection de la droite (AD, A'D') avec le cdne engendr^ par la revolution de (OP, R'Q); car, apres avoir d^crit le cercle du rayon OP, base de ce cone auxiliaire, on conduira par le sommet (0, R') et par la gen6ratrice (AD, A'D') un plan dont on trouvera la trace horizontale AC en menant par ce sommet une parallele (R'C, OC) k la generatriee; alors, cette trace AC eoupant le cercle OP en deux points F et E, fera connaitre les deux aretes OF et OE du cdne auxiiiaire qui sont rencontries par la gen^ratrice (AD, A'D'), et, par suite, on aura aussi leurs points de section K et L. Maintenant, pour revenir de ces points aux veritables 5o/nmets G et H qui doivent Atre projet6s sur OP, on d^erira avec les rayons OK et OL, deux cercles qui rencontreront la droite OP aux points cherdbes G et H. II est vrai que ehacun de ces cercles couperait OP en deux points; mais on distinguera ais6ment lequel est vraiment situ6 sur la ligne indefinie (OP, R'Q), en tragant les pro-* jections verticales K'G' etL'H' de ces deux cercles.

II est bon de commencer le trac6 de I'^pure par la construction des sommets, parce qu'une fois ces points determines, on pourra mener les plans auxiliaires, tels que ATV, k des distances convenables; et que d'ailleurs la recherche de ces sommets fera connattre le genre de la section, ainsi que nous allons I'expbquer.

274. Discussion. {Fig. 68.) i® Si la trace AC eoupe la basie du cone auxiUaii^ d^crit par la droite (OP, R'Q), et fournit deux aretes OF et OE qui reBcontr^at I'une et I'autre la gen^ratrice AD, la section offrira deuxsommets situessur (OP,R'Q); %i par consequent cette courbe sera une elfyse ou une hyperbole aya&t cette droite

I aO LIVRB IV. -- IirrERSECTIONS DE SURFACES.

pour axe r^el. Ces deux cas se distingueront aisement Tun de Taulrc, en cxaminant si un plan quelconque M'V inen6 entre les points (G,G') et (H,H') fournit, ounon, quelque point de la courbe. D'ailleurs, lorsque la section sera elliptique, on obtiendra le second axe en faisant passer un plan horizontal par le milieu (coyoj') de rintervalle des deux sommets.

:k^ Si, des deux aretes OF et OE, Tune est parallele k la generatriceDA, un des sommets s'6loignera a une distance infinie; et la section sera une parabole qm aura toujours pour axe la droite indefinie (OP, R'Q).

3® Lorsque la trace AC se trouvera tangente au cercle du rayon OP, les deux aretes OF et OE se confondront en une seule droite; etie point oil elle coupera la generatrice AD, etant rapport6 sur OP, donnera le sommet unique de la section qui se reduit alors au systime de deux droites. Cette' assertion pourrait etre justifiee en remarquant qu'une hyperbole dont les deux sommets se reunissent, se reduit a ses asymptotes : mais d'ailleurs, si Ton prend la peine de construire Tepure relative 2i rhypothese actuelle, on reconnaitra que le plan AC mene par le sommet du cone €Uixiliawe^ devient alors tangent k ce cone, aussi bien que PQR'; de sorte que ces deux plans, qui coincideraient si Ton faisait tourner Tun des deux autour de la verticale 0, doivent produire dans Thyperboloide de revolution des sections identiques. Or, le plan AC*contenant dejk une generatrice DA, ne pent couper de nouveau la surface du second degre que suivant une autre section rectUigne^ projetee egalement sur une tangente au cercle de gorge (n® 141); done aussi le plan PQR' produira dans Thyperboloide une section composee de deux droites analogues aux precedentes, etqui se couperont au point trouve pour sommet unique sur la droite (OP, R'Q). D*ailleurs en ce point, le plan PQR' sera tangent (n^ 142) a Thyperboloide.

Dans le cas trfes-particulier oil la droite suivant laquelle se reunissent les deux aretes OF et OE, se trouverait parallele a DA, le plan PQR' couperait Thyperboloide suivant deux generatrices parall^les entre elles, et il ne serait plus tangent k la surface que dans un point infiniment ^loigue.

4^ Enfin, si la trace AC ne rencontre pas du tout le cercle du rayon OP, il n'y aura aucun sommet reel sur (OP,R'Q), et la section sera alors une hyperbole dont cette droite sera I'axe imaginaire. Dans ce cas, la courbe se construira toujours commeau n** 272; mais pour trouver le centre^ et par suite Taxe reel, il faudra recourir aux asymptotes dont nous parlerons tout k I'heure : ou bien, ce qui est plus simple, on prendra le milieu to' de I'intervalle des deux points / et ti' oil le plan PQR' coupe les aretes D'B' et D'A' du cone asymptote. Cette derniere regie est fondee sur ce que cette surface etThyperboloide, ^tant semblables et concentriques, doivent etre coupes par le plan PQR' suivant deux courbes qui auront un centre com^ mun (n^ 147). Or, pour la section faite dans le cdne asymptote, on a vu (n^ 247) que les deux sommets etaient projet^s sur le plan vertical, en / etvj'; par consequent le milieu a>' de la distance / 13% est k la fois le centre de la section conique et celui de la section faite dans Thyperboloide. II restera done k projeter ce point en cj^

CnAPITHE n. — DES SECTIONS FLARES. lai

sur la ligne OP que Von sait etre un axe de la courbe; et le plan horizontal conduit par ce point fera trouver las deux sommets reels par la methode du n^ 272.

275. [Fig* 68.) Pour obtenir la tangente en un point quelconqueJA de la section produite par le plan PQR', il faut chercher Tintersection de ce plan avec celui qui touche rhyperbolo'ide en M. Or ce dernier est determine (n^ 142) par les deux generatrices rectilignes qui passent par ce point, et nous savons que leurs projections horizontales s'obtiennent (n^ 141) en menant au cercle de gorge les tangentes a2M(^3 et SM&; par consequent les deux points a^ et §, oil ces generatrices cou-> peront le cercle OA qui est la trace horizontale de Thyperboloide, appartiendront necessairement a la trace du plan tangent cherche ; done cette trace sera la droite asST qui, par sa rencontre avec PQ» fournira le pied T de la tangente TM qu'il s'agissait de construire.

A la v^rite, les tangentes au cercle de gorge menees par le point M» couperont le cercle OA en quatre points : mais d'abord, on ne devra combiner ensemble que ceux qui se trouveront tons deux en dcQ^t ou tons deux au delk des points de contact & et ^2 P&i" rapport k M ; car les deux generatrices que Ton cherche doivent se couper en M, et cons^quemment (n^ 143) elles ne sauraient appartenir au meme systfeme, ce qui arriverait evidemment pour les droites aa(^a et a&, aussi bien que pour S& et ^2^2 • Ainsi I'incertitude qui pourra rester, consistera a savoir si Ton doit combiner les deux droites a^c^a et €d^, ou bien les deux droites u& et Sa^a; niais pour ces derni^res qui ont leurs extremites inferieures en a et Sa » le point de section projete en M se trouverait evidemment au^dessus du cercle de gorge, tandis que le point (M,M') que nous considerons ici, est sur la nappe inferieure de I'hyperboloide; done il faut encore rejeter ce deuxi^me couple de generatrices, qui devrait au contraire etre seul conserve, dans une epure oil le point considere M se trouverait place sur la nappe superieure de la surface.

276. Rabatiement. Faisons tourner le plan PQR' autour de sa trace QR', pour lerabattre sur le plan vertical. Dans ce mouvement, Thorizontale (M', IMN) restera perpendiculaire a la charniere, et deviendra Wmn, droite sur laquelle on portera des distances Wm = IM, M'n = IN; ce qui fournira evidemment deux points m, n, de la courbe rabattue. Les autres points s'obtiendront d'une manieresemblable, aussi bien que la tangente dont le pied T se transportera en /, et qui deviendra tm.

La surface actuelle etant gauche^ comme nous I'avons demontre au n^ 145, elle ne saurait satisfaire a la condition essentielle du n^ 179, et il n'y a pas lieu de chercher son developpement. Observons enfin que toutes les operations precedentes s'effectueraient d'une mani^re entierement analogue, si le plan secant PQR' etait oblique au plan vertical de projection, et quand meme la generatrice (AD, A'D') serait assignee dans une position quelconque ; aussi nous engageons le lecteur k s'exercer sur de pareilles donnees.

277. DES BRANCHES INFINIES. {Fig. 68.) II est trfes-important de savoir reconnaitre a priori si la section de Thyperboloide par un plan quelconque PQR^ pr^sentera ou non des branches infinies. A cet effet, il faudra mener par le centre

T2 2 LivnF. nr. — inteAsegtiows i>e surfaces.

(0, D') du cercle de gorge, une droite Oa, D'A') parallfele a la g^neralrice (DA, D'A'), et tracer la circonf6rence ah que d^crit le pied [a, A!) de cette parallfele, quand elle tourne autour de Taxe vertical pour engendrer Xecdne asymptote; et com me on sait (n*^ 146) que toutes les aretes de ce cone sont respective m en t paralleles aux diverses generatrices de rhyperboloide, il n*y aura qu'^ conduire par le sommet (0, D') un plan n parallfele k PQR', et voir si ce plan ir contient quelque ar^te de cette surface conique.

i*^ Lorsque la trace horizontale du plan n ne rencontrera pas le cercle aft, base du c6ne asymptote, il n'y aura aucune arete de ce cdne, et cons6quemment aucunc generatrice de Thyperboloide, qui soii paraUSle auplan donrU PQR'; done aucun point de la section faite par ce dernier plan ne pourra 6tre situ^ k Tinflni^ et des lors cette section sera fermee et elliptique,

2** Quand le plan it coupera la base ah du cdne asymptote en deux points, il existera sur ce cone deux aretes, et sur Thyperboloide deux couples de generatrices, qui seront parallfeles au plan PQR' : done la section faite par ce dernier dans rhyperboloide, offrira deux hranches infinies et sera une hyperbole. D'ailleurs, chacun de ces deux couples de generatrices, compose de deux droites parallfeles, determinera un plan qui se trouvera bien tangent a I'hyperboloide (n® 1S5) dans le point de rencontre infiniment eioigne de ces lignes; ce sera done Tintersection de ce plan i^n%eni asyrhptotique par le plan donne PQR', qui fournira V asymptote de labranche correspondante. Ceci s'edaircira par Texemple du n** 278.

3^ Enfin, si le plan n ne fait que toucher la base du cdne asymptote, il n'y aura plus sur ce c6ne qu'une seule arete, et sur Thyperboloide qu'a/i seul couple de generatrices, qui soient parallfeles au plan donne PQR'; done la section n'offrira qu'une hranche injinie et sera uYie parabole. D'ailleurs elle n'admettra plus d'asymptote, parce que le plan tangent conduit par ces deux generatrices se trouvera lui-m^me parallfele au plan PQR', comme nous le verrons clairement au n^ 281.

278. {Fig. 69.) Appliquons cesrfegles aucas de TepureGg, ou la generatrioe (ADB, A'D'A") est prolongee autant au-dessus qu'au-dessous du cercle de gorge (XDY, X'Y'), afin de limiter la surface aux deux cercles egaux A'B' et A'^B", projetes horizon talement sur AZBS. La generatrice du second systfeme serait (BDA, B'lTB"); et ces deux generatrices, transportees parallfelement jusqu'au centre (0, D'), determineraient le c6ne asymptole qui a pour base le cercle du rayon Oa. D'ailleurs, comme dans Tepure precedente, nous ne nous attacherons pas k effectuer la representation graphique de Tbyperboloide sur le plan vertical, oil il n'y aura que des lignes isoiees qui seront toutes visibles : ce sera seulement sur le plan horizontal que nous exprimerons la forme de la surface, en distinguant par des ponctuations diverses, les parties visibles et les parties cachees. Quant au plan secant, nous sommes convenus (n^ 108) qu'il serait regarde comme enleve, aprfes avoir coupe la surface, et qu'il n'en resterait que les traces PQ et QR'.

Cela pose, si nous menons par le sommet (0* D') du cdne asymptote un plan D'ET parallfele k PQR', on voit qu'il coupe le ceicle Oa en deux poinCs E et F, et Ic

GHAPITUB II. — > DBS SBGTIONS PLAMIS. I %i

cone asymptote suivant deux aretes projet^es sur OF et OE. Done, en ne consid^rant d'abord que la premiere OF, et lui menant deux parallMes &(x, cS, qui soient tangentes au cercle de gorge, ce seront Ik deux generatrices de Thyperboloide qui n'iront rencontrer le plan PQR' qu'k Tinfini et qui annonceront Texistence d'une branche indefiniment prolongee. Pour obtenir Tasymptote, j'observe que le plan tangent de Thyperboloide dans ce point infiniment 61oigne» devant contenir (n^ 153) les deux generatrices a& et 6e qui se coupent en ce point, aura pour trace horizontale la droite o£; et comme ce plan doit fournir par son intersection avec le plan PQR' Tasymptote demandiey cette ligne se trouvera ^videmment /TomMe a a&. Si done, par le point Q on se coupent les traces PQ et aS, on mene la droite 6u) parallele k a&y ce sera Tasymptote qu'il s'agissait de construire.

279. On pourra repeter des constructions semblables pour la seconde branche infinie qui est indiquee par I'autre arete OE du c6ne asymptote; maic on doitapercevoir que, dans Top^ration precedente, le plan &aS qui touchait rbyperboloide k une distance infinie sur la g^neratrice &cc^ 6tait lui-m^me tangent au c6ne asymptote suivant Tarete OF. En effet, ce plan renferme le diametre dOc du celle de gorge, et consiquemment I'arSte OF; done sa trace passera par le point F et sera 6videmment perpendiculaire au rayon OF. D'apr^s cette remarque, il sufBra de mener au cercle du rayon OE, la tangente E9 qui, par sa rencontre aveC PQ, fournira le point 9 par lequel on devra tirer Tasymptote ^ o) parallfelement k OE. Cette seconde asymptote devra couper la premiere en un point o) qui soit situ6 sur la droite 0P» puisque celle-ci (n^ 273) est toujours un axe de la courbe.

280. Si Ton voulait n'employer qu'une seule des deux geueratrices (>a, iS, qui vont aboutir au point de contact de Tasymptote, on pourrait s'appuyer sur ce que la surface ^tant de revolution, le plan tangent doit £tre perpendiculaire au plan meridien qui passe par le point de contact (n^ 129). Or ici cc ^oint est a une distance infinie sur a^; done le meridien correspondant est le plan vertical OF paraK lele a di : ainsi le plan tangent cherche aurait pour trace horizontale une droite per* pendiculaire k OF et men^e du point a, ce qui ferait bien retrouv^ la ligne oS dejk obtenue autrement.

281. Si le plan D'FFmen^ par le sommet du cone asymptote, parall^Iement k PQR', touchait ce cone suivant une ardte unique, c'est*-k-dire s'il avait la position D'B'6, on voit bien (n^ 269) qu'il serait lui-meme tangent k Thyperboloide dans le point infiniment 6loigne situe sur la generatrice (BD, B'D') ; or, puisque ce plan tangent se trouverait ainsi parallele k PQR'* leur intersection serait transports tout enti^re k Tinfini ; de sorte que la courbe d'intersection presenterait bien encore one branche infimey mais qtd n^ aurait plus d' asymptote.

282. [Fig. 69.) Maintenant, eifectuons le trace dela courbe suivant laquelle le plan PQR' coupe Thyperboloide, et cherchons d'abord les sommeu situds sur Yaxe

(OP, R'Q). Nousavonsvu (n« 273) qu'il fallait tirer la droite (R'C, OC) parallfele \^

k la generatrice (AD, A'D'), et joindre les points G et A; mais comme la trace CA ne rencontre pas ici le cercle do rayon OP^ on doit en eonelure qu'il n'y a aucun

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sommet reel sur Taxe en question^ et que la section est une hyperbole dont la ligne (OP, R'Q) est Vaxeimaginaire. Alors je cherebe \e centre en projetant le point de rencontre eo des deux asymptotes sur la ligne R'Q en co'; ou bien (n^274, 4^) je prends le milieu <«}' de Tintervalle des deux points / etiQ' oil le plan PQR' coupe les deux aretes extremes du c6ne asymptote; puis, en faisant une section borizontale par ce point gi>\ suivant la metbode du n^ 272, j'obtiens les deux sommets rdek 6 et H. Cette meme metbode appliqu^e a d'autres plans borizontaux, tels que M'V et V'W'^ qu'il sera bon de cboisir de maniere k fournir des sections egales dans les ieux nappes, fera trouver de nouveaux points M et N, fx et v, de la courbe cherchee : en outre, cette ligne devra evidemment passer par les points T et S oil le cercle ABS est rencontre par la trace PQ du plan secant, aussi bien que par les poinb (Z, Z') et (U, Z') oil ce meme plan coupe le cercle superieur A^B".

Enfin, comme le cercle de gorge X'Y' est rencontre par le plan PQR' en deux points projetes verticalement sur L', on en conclura leurs projections borizontales L et K, dans lesquelles ce cercle et Tbyperbole devront se toucher sur le plan borizontal. En effet, quoique les tangentes de ces courbes dans Tespace soient tresdistinctes Tune de I'autre, elles se trouvent toutes deux dans le plan tangent de rbyperbolo'ide qui, pour cbaque point du cercle de gorge, est evidemment ve/tMro/; d'oii il r^sulte que les projections borizontales de ces deux tangentes se confondront n^cessairement.

Quant k la construction de la tangente k la section, pour un point quelconque (M, M'), elle s'efTectuerait par les memos moyens qu'au n^ 275.

283. Babcutement. On effectuera cette operation comme dans I'epure prec^dente, en faisant toumer le plan PQR' autour de sa trace verticale QR', et en portant sur des perpendiculaires a cette cbarnibre, des distances M'm = IM, M'n = IN,....

Quant aux asymptotes^ on rabattra d'abord de la meme maniere le centre (o), co') en (b/'; puis, en rapportant les points f et 9 en 9^ et d^ on obtiendra (p"oi* et 0' t^" pour les asymptotes de la courbe rabattue.

PROBLEME YIII. Intersection (Tune droite avec un hyperbololde de rivolution a une nappe.

284. {Fig- 66.) Nous plagons ici ce probleme, parce qu'il n'est qu^une extension de celui que nous avons r^solu au n^ 273, pour une droite qui rencontrait Vuxe de la surface; et nous aliens ramener k ce cas particulier la question actuelle, oil la droite proposee aura une position quelconque. Soient done (0, O'Z') Taxe de Thyperboloide, (ADB, A'D'B') la generatrice rectiligne, et (PQ, P'Q') la droite dont il s'agit de trouver les points d'intersection avec la surface. Nous la supposons ici amenee, par une rotation autour de I'axe, dans une situation parallMe au plan vertical : mais cette operation pr^liminaire est toujours fort aisee k effectuer (n^ 149) ; et comme d'ailleurs elle laissera le point d'intersection avec la surface, sur le meme parallele oil il etait situ6 d'abord, il sera bien facile de retrouver ce point dans la position primitive.

285. Cela pose, si le plan vertical PQ rencontre le cercle de gorge decrit avec le

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rayon OD, il coupera la surface donn^e que je designe par H,, suivant une hyperbole dont Taxe r6el sera (XY, X^Y') et qui aura pour une de ses asymptotes la droite (A'B^PQ). II serait done facile, d'apres ces donn^es, de construire cette courbe sur le plan vertical, et sa rencontre avec VQ' ferait alors connaitre les points demandes; mais nous nous proposons d'arriver a ce resultat par des constructions directes et qui n'emploient que la ligne droite et le cercie. Pour cela, imaginons que rhyperbole dont nous venous de parler et qui contient les points cherch6s, tourne autour de la verticale <k> : elle produira ainsi un second hyperboloide k une nappe Ha dont le cercie de gorge sera (Xe^Y, X'Y') , et qui aura pour gen^ratrice rectiligne la droite (aS, A'B'); alors la question primitive se reduira evid^mment k trouver les points d'intersection de ce nouvel hyperboloide Ha avec la droite (PQ, P'Q') qui rencontre son axe (a>, O'Z'); et, par consequent, nous sommes ramen^s au pro-^ blemedun^273.

On decrira done avec le rayon coP un cercie qui sera la base d'un cone auxUiaire ayant pour sommet le point (o), R'); puis, en menant la droite (R'C, ci>C) parallele k la generatrice, on determinera la trace aCd'un plan qui coupera ce cone suivant les aretes coE et coF. Ces derniferes lignes vont rencontrer la generatrice aux points (L, L') et (K, K'), que Ton ram^nera sur la droite proposee en (M', M) et (N', N); et cesderniers points seront ceux oi la droite (PQ, FQ') perce le second hyperboloide H3 et aussi le premier H^ .

286. Si la projection horizontale PQ de la droite proposee se trouvait tangente au cercie de gorge decrit avec le rayon OD, le plan vertical PQ couperait evidemment Thyperboloide primitif Hj suivant deux droites projetees sur A'B' et sur la droite symetrique de cette derniere; des lors, la rencontre de ces deux droites avec FQ' fournirait immediatement les points cherch6s.

287. Enfin, supposons, commedans la^^. 67, que la droite proposee (PQ, P'Q') se projette en dehors du cercie de gorge OD. Dans ce cas, le plan vertical PQ couperait encore la surface primitive H| suivant une hyperbole, mais son axe reel serait dirige suivant la verticale R; de sorte qu'en faisant tourner cette courbe autour de cette verticale, on obtiendrait un hyperboloide a deux nappes^ et le probleme no serait plus aussi simple. G'est pourquoi je renverse la question primitive, et je me propose de trouver les points d'intersection de la droite (AB, A'B'), avec Thyperboloide H, que d^crirait (PQ, FQ') en tournant autour de la verticale 0, parce que ces nouveaux points de section seront evidemment k la meme hauteur que les premiers.

Or, dans ce second hyperboloide H,, le cercie de gorge qui a pour rayon (OR, R') est necessairement coup6 par le plan vertical AB, et la question rentre tout a fait dans le casdu n**285 : ainsi, apres avoir decrit le cercie de gorge (XpY, X'Y') d'un troisi^me hyperboloide H4 qui aurait pour generatrice la droite (tt/s, P'R'), on trouvera, comme ci-dessus, les points (fx, M') et (v, N'), oil cette derniere ligne serait rencon tree par (AB, A'B') tournant autour de la verticale D; puis, il resterait k transporter ces deux points sur ( AB, A'B'), en les laissant k la meme hauteur.

Ia6 UlUIB IV. -*- urrBBSECXIQHS UK SUgFAGSS.

Mais les derniers points ainsi obteaus devraient ensuite, pour le probleme primitif, dtre ramenes sur(PQt P'Q') en les laissant encore dans les memes plans horizontaux; par consequent, Toperation se reduit k transporter immediatement les points {[I, W) et (v, N') en (M, M') et (N, N'), qui seront les poimts de rencontre de la droite (PQ, FQ') avec le premier hyperboloide H| decrit par la revolution de (AB| A'B') autour de la yerticale 0.