CHAPITRE m. — tNTEftSCCnO^rS DE VEJDX SITRFACES COURBES. II
port A V autre hase^ ces droites seront les traces de deux plans limites entre lesquels se trouveront compris tous les points qui sont communs aux deux surfaces; car, au dehors de ces limites, on voit bien que les plans secants parall^Ies k RA ne pourraient plus couper qu*un seul des deux cylindres. D'ailleurs, si Ton applique au plan RINB la methode generale exposee au tiumero pr6c6dent, on obtiendra deux points (6, §') et (6, ft') dans lesquels les generatrices (Mm, M'm') et(Nn, N'n') se trouveront tangentes A la courbe d' intersection dans Tespace; et, par Buite, ce contact devra se verifier sur les deu(t plans de projection, Comme on le voit dans notre epure. En effet, la droite (MS, M'fi') est ividemment dans le plan qui ton-* cherait le cylindre LMN au point (6, S'); tnais eVIe est aussi dans le plan s6caftt MB6 qui, par hypothese, se trouve tangent au cylindre ABC le long de Tarftte B6 : done cette droite (MS, M'§') est T intersection des plans tangents aux deux surfaces dans le point (S, 8'), et consequetnment (n'^SlS) elle est bien tangente d la courbe suivant laquelle se coupent ces deux surfaces.
On prouvera de meme que TarMe (T{6, N'ft') est tangente \ la courbe dMntersection au point (6, ft'); et, pareillement, le plan limite GHI fournira deux points {g, g) et(A, k) dans lesquels la courbe sera toucb6e par les arfetes(6^, 6'g^') et (HA,H'A').
291. Points sur hs contours apparents . On fera passer des plans secants paralleles Ji RA, par les points A, K, X, Y {*), od aboutissent les aretes qui forment le contour apparent de chaque cylindre sur le plan horizontal; puis, par la methode gen6rale du n^289, on obtiendra les points (a, ei'), (a, a'), (tt, tt'), (9, 9'), (rf, ef' ), dans lesquels la courbe touchera^ mais seulement 5Mr/c/>/an horizontal, les arfetes correspondantes. En effet, au point (a, a') par exemple, la tangente dela courbe dans Tespace est distincte de la g6neratrice (Aa, A' a') : mais ces droites sont contenues toutes deux dans le plan tangent le long de ( Aa, A' a'), et comme iei ce plan est necessairement v^rlica/, il en risulte que la projection horizontale de cette generatrice coincidera avec celle de la tangente; par consequent, elle devra toucher la projection de la courbe sur le plan horizontal, tandis qu'il n'en sera pas de m^me sur le plan vertical.
Observons, d'ailleurs, que ce sera toujours dans quelques-uns des points dont nous venons de parler que se fera le passage de la partie visible a la partie invisible de la courbe d 'intersect! on, consider^e en projection horizontate. Au surplus, nous donnerons bientdt une r^gle generate pour distinguer ces parties les unes des autres.
292. De mgme, si par les pieds V, U, T, G, des arfetes qui forment le contour apparent de chaque cylindre sur le plan vertical, on mfene des plans secants parall^les hRA, on obtiendra des points tels que (£, s'), dans lesquels la courbe iouohera,
mais seuhment sarte plan vertical, les aretes correspondantes telles que (Ye^ Y't')*
(*) lei o(i le point K se trouve hors des plans Hmites, il est inutile de mener iin plan stont par ce point. '
1 28 LIVRE IV. — INTBBSECTIONS DE SUAPACES.
En eifety cette gen^ratrice et la tangente de la courbe au point (€, t') sont toutes deux dans le plan tangent le long de (Ye, W) ; or ce plan etant ici perpendiculaire au plan vertical, les projections verticales de ces deux droites se confondent n^cessairement, tandisqu'il n'en est pas de meme de leurs projections horizontales. Quant k Tarete {Gg^ G'g'), elle touche, il est vrai, la courbe sur lesMeux plans de projection a la fois; mais cela tient a ce que, dans la figure actuelle, cette generatrice se trouve a la fois sur le contour apparent et dans le plan limite GHL
Enfin, ce sera aussi dans quelques-uns des points dont nous venous de parler, que se fera le passage de la partie visible de la courbe a la partie invisible sur le plan vertical, parties qui ne sont pas les monies que pour la projection horizontale, puisque le point de vue est different (n^ 106).
293. La tangente en un point qudconque [t^ t') de la courbe d'intersectioui sera fournie par I'intersection des deux plans qui touchent les cylindres le long des aretes T^ et S^ : or les traces horizontales de ces plans sont les droites Td etSd tangentes aux bases dans les points T et S ; done le point d oil se coupent ces deux droites, appartient k la tangente demand^Ci laquelle est par consequent Qt.
Lorsque le point Q ou vont se rencontrer les traces des deux plans tangents, se trouvera trop 61oigne, comme cela arrive dans notre ^pure, on pourra y suppleer de la mani^re suivante. Le plan secant MNB parallMe aux generatrices des deux cylindres k la fois, doit couper le plan tangent Sd suivant une droite fxoi) parallele k S^ et le plan tangent Td suivant une autre droite Xo parallele k Tt\ done le point oi> ou se rencontrent les lignes X(«) et fxco, est necessairement commun aux deux plans tangents^ et cons^quemment c'est un point de la tangente cberchee ^od.
Nousn'avons parle jusqu'ici que de la projection horizontale de la tangente, parce que le point (/, t') que nous avons choisi pour plus de clarte, se trouvant place sur le contour apparent relatif au plan vertical, la tangente est projetee sur ce meme plan, suivant I'arete T/'; mais, dans un autre cas, il sufdra de projeter surlaligne de terre le pied de la tangente, et de le joindre avec t'\ ou bien, on construira aise* ment les projections verticales des deux droites auxiliaires Xca et fxci) qui, par leur rencontre, fourniront un point o) de la tangente projetee sur le plan vertical.
294. Remarque I. [Fig, 70,) Pour distinguer sur la courbe d'intersection des deux cylindres, les parties visibles d'avec les parties invisibles en projection horizontale, il faut observer que si le cylindre ABK existait seul dans Tepure, les aretes qui aboutissent sur Tare ABK seraient toutes visibles, tandis que celles qui tornbent sur Tare AHK ne le seraient pas : de meme, si le cylindre XMY subsistait seul, les aretes visibles seraient celles qui aboutissei^ sur Tare XYY, tandis que toutes les autres ne seraient pas vues. Mais lorsque les deux cylindres existeront simultanement, il pourra arriver qu*une arete visible sur le premier se trouve cach^e en partie par le second ; toutefois si cette arete vient k rencontrer une generatrice aussi visible sur ce dernier cylindre, alors elle redeviendra visible en cet endiroit. D'un autre cote, lorsqu'un point se trouvera sur une arSte qui serait invisible, en ne considerant que le cylindre auquel elle appartient, il est Evident qu'k plus forte raison ce
