CHAPITRE Ilf. — MTERSECriOlVS DB DEUX SURFACES COURBES
point demeurera invisible, quand les deux cylindres existeront a la fois ; par consequent, nous pouvons poser les deux regies suivantes :
Un point de la courhe d intersection sera visible, hrsquil sera foumi par la ren-^ centre de deux aretes visibles Vune et Vautre^ surchaque cyUndre considerd isolement.
Un point de I' intersection sera invisible, quand il proviendra de la rencontre de deux aretes dont une, au moins^ sera invisible sur le cylindre auquel elle appartient. ,
Le lecteup fera aisement I'application de ces regies a la projection horizontale de rintersection de deux cylindres, puisque nous avons indique plus haut quelles etaient les aretes visibles sur chaque surface consid^ree isolement; et par la, il se rendra compte des parties pleines ou ponctudes que presente notre epure. Quant a la projection verticale, les rfegles ppec6dentes s'appliqueront egalement, pourvu qu'on se rappelle que, relativement a cette projection, les seules aretes visibles sur le premier cylindre considere isolement, sont celles qui aboutissent sur Tare TAG. et que les aretes visibles du deuxieme cylindre aboutissent toutes sur Tare VMU.
295. Remarque IL {Fig. 70.) La rencontre des deux cylindres pent avoir lieu par arrachement ou par penetration. II y a armchement^ lorsque les traces MNB et GHI des deux plans limites sont, comme dans I'epure actuelle, tangentes Tune a la base ABKH, et Tautre a la base XMY, parce qu'alors, sur chaque cylindre, il existe des generatrices qui ne contiennent aucun point de Tintersection, et qu'ainsi ces deux corps ne font que sarracher mutuellement une partie de leur surface, tandis que les portions correspondantes aux arcs MON et HKG, conservent leur integrite dans toute leur longueur. En outre, il importe d'obsei*ver que, dans ce cas, toutes les parties de I'intersection formeront une branche unique et non interrompuef qu'un point mobile pourra parcourir d'un mouvement continu, sans cesser d'etre sur les deux cylindres a la fois.
Au contraire, quand les traces GHI et GAO des deux plans limites seront tangentes a la mSme base, comme dans \^fig* 70 his^ alors il y dLur^ penetration, parce que toutes les generatrices du cylindre XOY entreront dans Tautre corps, ety tracerontsur la nappe correspondante a Tare AH, une premiere branche fermee; puis, elles sortiront du cylindre par une seconde branche aussi fermee, et situee sur la nappe GG. D'ailleurs ces deux courbes dentrie et de sortie seront totalement distinctes, et n'auront aucune partie commune par oil un point mobile puisse passer de Tune a I'autre sans interruption; puisqu'elles se trouveront separees, sur le grand cylindre, par les nappes ABG et HKG oil il n'existe aucun point de Tintersection.
Pour mettre sous les yeux du lecteur la reunion des formes les plus remarquables que pent offrir la rencontre de deux cylindres, nous avons construit sur l^ifig. 7 r , 1" rintersection du cylindre vertical (XY,X'X"Y''Y') avec un cylindre oblique dont la base est le cercle (AB, A'B'); il y a ici penetration et deux branches separees, parce que les plans limites p^ret PQR sont tangents k la memo base; 2^ I'intersection du meme cylindre vertical avec un cylindre oblique ayantpour base (GD,G'D'), et i'on trouve ici une courbe k nceud, parce qu'un des deux plans limites pqr et ST se trouve tangent aux deux bases a la fois; 3** I'intersection du premier cylindre XY
GeomStrie Leroy, 1 7
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avec le cylindre oblique qui aurait pour base (EF, ET), et il y a ici anucJtemeni parceque las deux plans limitesp^ret LT sont tangents a des bases differentes. Da reste, la construction de ces courbes n'a pas besoin d'explications* d'apres la metbode gen^rale expos^e aux n^ 288^291; nous ferbns seulement observer que, si deux generatrices appartenant aux contours apparents, comme (X,X'X'') et (FG, F'G"), se trouvaient dans un meme plan, la courbe presenterait en x' un point darrit, oil Tune des branches serait tangente a la verticale X'X", et Tautre a la g6n6ratriceFG".
296. Remarque III. Dans tous les cas, Tintersection n'aura pas de hranohe in^ firde, si les deux bases sont des courbes fermdes. En eiTet, pour qu'il existat une
branche qui s'^tendit indefiniment, il faudrait qu'il se trouvat sur un des cylindres une gen6ratrice parallele a une generatrice de I'autre ; mais alors, d'apres la nature de ces surfaces, toutes les generatrices seraient parall^les entre elles dans les deux corps, et rintersection n'aurait plus lieu; ou bien, elle se reduirait k une ouplu-^ sieurs droites correspondant aux points de rencontre des deux bases, genre de ligne qui n'exige aucune discussion.
Quand les deux bases, ou Tune d'entre elles, seront des courbes indefinies, il suffira d'examiner la position des plans lindtes (n^ 290) par rapport k ces bases, pour reconnaitre si quelqu'un des plans secants interm^diaires pent aller couper i'une des bases k une distance infinie.
PROBLEME II. Intersection de deux cdnes a bases quelconques.
297. {Fig. 7a.) Soient (S , S') le sommet du premier cone, et AB la courbe qui lui sert de base sur le plan horizontal : soient (T,T') et DE les donnees analogues pour le deuxieme cone ; alors, en menant aux bases des tangentes pcrpendiculaires a la ligne de terre, on obtiendra les droites S'A' et S'B', T'D' et T'E', pour les codtours apparents de ces deux surfaces sur le plan vertical. Quant au plan horizontal, il n'y a d'autres limites que les traces AB et DE; car ici les sonnmets se trouvant projetes au dedans des bases, il est impossible de mener k ces courbes des tangentes partant des points S etT (n^ 119 ), ce qui serait necessaire pour obtenir des plans tangents verticaux. Nous ferons d'ailleurs abstraction des nappes superieures des deux cones, afin de ne pas rendre invisible, sur le plan horizontal, la branche d'intersection qui proviendra des nappes inferieures, et qui doit fixer specialement notre attention.
298. Pour obtenir I'intersection de ces deux cdnes, nous emploierons divers plans sicants conduits tous suivant la droite (ST, S'T) qui joint les deux sommets; car de tels plans ne produiront dans les deux surfaces que des sections rectilignes faciles k construire, et d'ailleurs leurs traces horizontales devront evidemment passer toutes par le point R. Considerons done celui de ces plans qui a pour trace la droite quelconque RIFGU : il coupe le cone T suivant deux generatrices projetees sur TF etTG, et le cdne S suivant deux generatrices projetees sur SI et SH; or, cette derniere droite rencontrant les prec^dentes aux points K et M, il s'ensuit que ces deux points appartiennent k la projection horizontale de Tintersection demandee. Nous
