CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBE»« l3l
n^gligerons ici les points de section qui seraient fournis par Tarete SI, attendu que cette droite ne va couper les generatrices TF et TG qu*au dela du sommet T, et que, par consequent, ces points appartiendraient k la branche d'intersection situee sur les nappes superieures, dont nous sommes convenus de faire abstraction. Quant au plan vertical, il sufBra de projeter sur la ligne de terre les pieds F, G, H, des generatrices que nous venons de combiner, et leurs projections verticaies T'F', TG', S'H', foumiront par leurs rencontres les points K' et M' de la courbe d'intersection projetee sur ce plan; d'ailleurs, on sait que ces derniers points de- TTont Hve lies avec K et M par la condition de se trouver deux k deux sur une meme perpendiculaire k la ligne de terre; ce qui pourrait aussi servir k deduire ceux-lk des autres, en n'employant que la seule g^neratrice S'H' sur le plan vertical. On operera d'une maniere toute semblable, pour d'autres droites partant du point R : mais nous recommandons de commencer le trac6 de I'epure, par la recherche des diveTspoints remarquables Aont nous allons parler; parce que ceux-ci sont essentiels k construire, et qu'une fois leur position fixee, il sera facile de proportionner le nombre des plans secants intermediaires, aux intcrvalles qui resteront entre les points dejk obtenus.
299. Points sur les plans Umites. {Fig. 72.) Si la trace R de la ligne (ST, S'T') n'est pas placee en dedans des deux bases, on pourra mener de ce point deux droites RPQ et RUV dont chacune soit k la fois tangente a Vune des bases et sicantepar rapport a V autre : alors ces droites seront les traces des plans secants Umites; car on voit bien que tout plan men^ par les deux sommets, et qui se trouverait hors de Tespace angulaire YRQ, ne rencontrerait plus qu'un seul des cones, et, consequemment, ne pourrait renfermer aucun point de leur intersection. D'ailleurs, si Ton applique au plan limite RPQ le mode general de construction indique au numero precedent, on obtiendra le point (L, L') dans lequel la g6n6ratrice (SLQ, S'L'Q') se trouvera tangente a la courbe d* intersection At^ns Tespace, et ce contact devra se verifier sur les deux plans de projection, comme on le voit dans notre 6pure. En effet, la generatrice (SQ, S'Q') est contenue dans le plan limite RQ qui, par hypothese, se trouve tangent au cone T suivant 1* arete TLP, et, par suite, dans le point (L, L') ; mais cette g^^ratrice (SQ, S'Q') se trouve aussi evidemment dans le plan qui toucheraitle cdne Sau point (L, L'); doncelle est Tintersection des plans tangents menes aux deux surfaces par le point (L, L'), et, par consequent (n^ 213), elle est bien tangente k la courbe suivant laquelle se coupent ces surfaces.
On prouvera de meme que le plan limite RUV fournit un point (N, N'), dans lequel la courbe est touchee par Tarete (SV, S'V) sur les deux plans de projection.
300. Points sur les contours apparents. On fera passer des plans secants par les points B, E, D, ou aboutissent les aretes qui forment le contour apparent de chaque surface, et par la m^thode generate du n® 298, on obtiendra les points (S, S'), (i, ft'), (c, s') {&f rf'), dans lesquelsla courbe touchera, mais sen\ement sur le plan vertical, les aretes correspondantes. En effet, au point (S, §') par exemple, la tangente de la courbe dans I'espace est trbs-distincte de la generatrice (SB, S'B') : mais ces
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droites sont toutes deux dans le plan S'B'B tangent le long de cette gen6ratrice; et comme ce plan est evidemment perpendiculaire au plan vertical, il en resulte que la tangente et la generatrice dont nous parlons se confondront en projection verticale; par consequent, il faudra que la doite S'B' louche la courbesur le plan vertical, tandis que SB sera loin d'etre tangente a la projection horizontals
Observons, d'ailleurs, que ce sera toujours dans quelques-uns des points dont nous venons de parler qu'aura lieu le passage de la partie visible a la partie irwisible de la courbe d'intersection ; c'est pourquoi il est tres-important de construire les points situessur les contours apparents, preferablement a d'autres points qui seraient meme trbs-voisins de ceux-la. Au surplus, nous donnerons bientot une rfegle generale pour discerner les arcs visibles d'avec les arcs invisibles sur la courbe d'intersection.
301. {Fig. 'J2.) La tangente en un point quelconque (M, M') de cette courbe» sera fournie (n^2i3) par I'intersection des deux plans qui touchent les cdnes suivant les aretes SMH et TMG : or les traces horizontales de ces plans sont les droites Hd et 69 tangentes aux bases; done le point Q ou se coupent ces derni^res droites, est le pied de la tangente qui, par consequent, a pour projection horizontale la droite dM. Quant k la projection verticale d'M', on I'obtiendra en projetant le point sur la ligne de terre en Q'.
302. On pent encore se proposer de trouver le point le plus bas et le point le plus haut de la courbe d'intersection, c'est-a-dire ceux oil la tangente sera horizontale. Pour cela, il faudra d'abord chercher un plan secant Ra?X tel, qu'il coupe les bases en deux points x et X, pour lesquels les tangentes arf et XY se trouvent pa-* ralleles : cette premiere recherche, qui sera plus ou moins facile selon la nature des courbes AHB et D6E, pourra toujours s'efTectuer d'une manibre suffisamment exacte, par un petit nombre d'essais faits sur diverses secantes menees du point R, et pour lesquelles les tangentes aux deux bases convergeront en sens contraire. Cela pose, on appliquera au plan secant Ra^X la methode gen^rale du n^ 298, et Ton obtiendra un point (§, §'), pour lequel la tangente a la courbe d'intersection serait k la fois dans les deux plans tangents le long des aretes Tj?etSX; mais ceux-ci ayant des traces xy et XY, qui, par hypothese, sont paralleles entre elles, ne pourront se couper que suivant une droite parall^le aussi k XY, et par consequent Ao/rzontale. Done le point (§, S,') sera le point le plus bas de la courbe d'intersection, et Ton trouverait le point le plus haut d'une maniere analogue.
303. Remarque I. {Fig. 7a.) Pour discerner sur la projection verticale de I'intersection les arcs visibles d'avec ceux qui ne le sont pas, il faut observer que si le cone S existait seul dans I'epure, les aretes qui aboutissent sur Tare AQB seraient toutes visibles sur le plan vertical, tandis que celled qui tombent sur I'arc AYB ne seraient pas vues; de meme si le cdne T subsistait seul, les aretes visibles de cette surface seraient celles qui aboutissent sur DPE, tandis que toutes les autres seraient invisibles. Mais lorsque les deux c6nes existeront simultanement, comme dans la question actuelle, il pourra se faire qu'une arete visible sur le premier se trouve
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caehee en totalite ou en partie par le second ; neanmoins si cette arete vient k rencontrer une generatrice aussi visible sur cette derniere surface^ alors il est clair qu'elle redeviendra visible en cet endroit. D'un autre cdte, lorsqu'un point se trouve sur une arete qui serait invisible en ne considerant que le cone auquel elle appartienty il est certain qu'a plus forte raison ce point restera invisible, quand les deux surfaces existeront a la fois. Par consequent, nous pouvons poser les deux regies suivantes, au moyen desquelles le lecteur se rendra aisement compte des parties pleines oxxpontudes que renferme notre epure sur le plan vertical.
Un point de la courbe (T intersection ^era* visible, lorsqu! il sera found par la renrcontre de deux gi^ni^ratriges visibles Vune et V autre sur chaque surface considdrde isolement.
Un point de V intersection sera ir^ visible, quand ilj^roviendra de la rencontre de deux gindratrices no^T ui^e, aumoins^ sera invisible sur la surface a laqueUe elle appartient.
Ges deux regies sont egalement vraies pour la projection horizontale; mais ici oil les deux sommets se trouvent projetes en dedans des bases, il n'existe pas de plan tangent qui soit verticals et par suite (n^ 106) toutes les aretes des deux cdnes sont visibles sur le plan horizontal, lorsque chaque surface existe seule et que Ton fait abstraction des nappes superieures, comme nous en sommes convenus dans les donnees de la question. Par consequent, Tapplication de la premiere regie nous montre que la courbe d'intersection est visible en totalite sur le plan horizontal, et qu'ainsi elle doit etre marquee en trait plein.
304. Observons encore que les regies precedentes sont aussi applicables a Tintersection de deux surfaces quelconques, pourvu que Ton entende par le mot gindratrice, la ligne droite ou courbe qui, par son mouvement, produit la surface particuliere dont il est question; et qu'apr^s avoir determine (n^ 106) le contour apparent de cette surface sur chacun des plans fixes, on s'attache k reconnaitre quelles sont les portions de generatrices, situees en avant ou au-dessus de ce contour apparent.
305. Itemarque II. Dans I'intersection de deux c6nes, comme dans celle de deux cylindres (n® 295), il pent y dLyoiv penStration ou arrachement. Le premier cas arrive dans Tepure actuelle, parce que les traces RUV, RPQ, des deux plans limites sont tangentes a /la mSme base; mais cette pdndtration n'exclut pas toujours Texistence de branches infinies, comme on le verra dans Tepure 73. II y aurait arrache^ ment si Tun des plans limites se trouvait tangent a la premiere base, et Tautre tangent a la seconde.
306. DES BRANCHES INFINIES. {Fig. 73.) Prenons pour exemple de cette recherche, le cone qui a pour sommet (S, S') et pour base la courbe AHNB, avec le cone qui a pour sommet (T, T') et pour base la courbe DFME. Ce n'est pas en examinant si les deux bases donnees par la question se coupent ou non , que Ton pourra se prononcer sur I'existence de branches infinies dans Tintersection des deux surfaces; mais c'est en cherchant sd existe, sur un des cdnes, quelque gSnSm^
iS4 umn IV. ^ iiiTEMEcnoirs de sobfagbs.
trice qui $&aparaUHe a une des gindratrices de Vautre cdne; car, lorsque cette condition n'aura pas lieu, la rencontre de deux generatrices ne pourra jamais se faire qu*a une distance finie, et cons^quemment aucune branche de {'intersection ne se prolongera indefiniment, meme quand les bases seraient ouvertes, comme des paraboles.
Maintenant, pour reconnaitre s'il existe des generatrices qui soient parallMes, on fera mouvoir le cone S, paraUilement a lui-mSme^ le long de la ligne (ST, S'T'), jusqu'a ce que son sommet soit Tenu en (T, T'), et Ton eonstruira la nouvelle base abon ia trace horizontale de ce cone ainsi transports que je dSsignerai par S^. Cette base ^, qui sera semblable k AB, s'obtiendra generalement en menant du point (T, T') des paralleles aux diverses generatrices du cone primitif S; mais si la base AB de ce dernier est uneercle, comme dans notre epure, il suffira evidemment de tirerladroite(r<,Ta)pafaUelea(S'A', SA), et la droite {Tb\ lb) parallele k (S'B', SB), puis de decrire un cercle sur ab comme dianlMre.
507. Cela pose, s'il arrivait que la nouvelle base ab n'eut aucun point commun avec la base DE, on pourrait affirmer que les cdnes S2 et T n'ont point d'arSte commune, et par suite que les c6nes S et T n'avaient point d'aretes paralleles. Done, dans C6 eas, Tintersection des deux cones primidfs n^admettrait aucune branche infinie.
306. Si, comme dans repure actuelle, la base ab coupe quelque part, en Q par exemple, la base DE du cdne immobile T, les deux cones 63 et T auront une generatrice commune projeiee sur TQ; puis, lorsque Ton ramenera Sj en S, cette generSitrice deviendra Tarete SP parallele a TQ ; et, comme verification, il faudra que les points P et Q se trouvent en ligne droite avec R, puisque RPQ sera la trace du plan qui contient ces deux generatrices parallels. Dans ce cas, il existera certainement une branche d'intersection eyfJiV..., qui convergera vers le point infiniment eioigne ou les deux aretes paralleles SP et TQ tendent a se rencontrer.
Le second point de section q oh se coupent les bases ab et DE, fournira aussip sur les cones primitifs, deux generatrices paralleles projetees suivant Iq et Sp; et celles-ci indiqueront Texistence d'une autre branche d'intersection fU... qui sera encore intinie.
ZOd. Des asymptotes. Une parallele droite etant la tangente de la courbe pour le point infinimeni; eioigne ou convergent les deux generatrices paralleles SP et TQ, elle sera fournie par Tintersection des plans tangents aux deux c6nes, le long de ces generatrices. Or, comme ces plans out pour traces horizontales les droites P9 et QO tangentes aux bases, le point ou ces traces se couperont, appartiendra k I'asymptote demandee, laquelle sera la droite dci) menee paralielement k TQ ; car les plans tangents dont nous parlous, sont tons deux paralleles k cette generatrice. L'asymptote §a> de Tautre branche infinie, s'obtiendra d'une maniere semblable; mais par suite de la symetrie que nous avons adoptee ici pour les donnees, de part et d'autre du plan vertical RTS, cette seconde asymptote devra couper la premiere sur la droite RTS.
