CHAPITRE III. — INTEASECnOMS DE DEUX SURFACES COCRBES. f

310. Branche infinie sans asymptote, S'il fut arrive, aprfes la constructioo du n^306, que la base ab du cdne. transporte Sj eut louche en Q la base DE du cone immobile T, ces deux surfaces auraient eu encore une arete commune TQ, et les deux cones S et T auraient present^ aussi deux generatrices paralleles SP et TQ; consequemment I'intersection de ces surfaces offrirait encore une branche infinie, maiscette courbe n'admettrait plus d'asymptote. En effet, dans I'hypothese actuelle, les bases ab et DE ayant une tangente commune en Q, les plans tangents aux cones Sj et T le long de I'arfete TQ, coincideraient entiferement; done, lorsque S, serait ramene parallelement Ji lui-meme dans la position primitive S, les plans tangents le long des generatrices SP et TQ se trouveraient paralleles entre eux; et des lors leur intersection, qui doit etre I'asymptote demandee, se transporterait tout entifere ^ une distance infinie, c'est-a-dire qu'elle n'existerait plus pour nous. C'est ce qui arrive dans une parabole du second degre, ou les tangentes n'ont pas de limite finie.

Ainsi, generalement, c\\2l(]}xc point de section entre les bases ab etDE, indiquera Texistence d'une branche infinie douee d'asymptote ; et chaque jpoinf de contoc/ entre ces memes bases, annoncera la presence d'une branche infinie depourvue d'asymp-^ tote. Au reste, ces deux circonstances peuvent se presenter a la fois dans I'interseotion des deux memes surfaces coniques.

511. Apr^s ces recherches preliminaires sur la nature de I'intersection, occupons-nous de construire les diverses branches de cette courbe, et menons d'abord les deux plans limites dont les traces RL, RK, sont tangentes au cercle AB et secantes a Tellipse DE. Chacune de ces traces, par exemple RL, fournira trois aretes projetees sur SN, TM, TL, et situees dans le meme plan ; done leurs rencontres donneneront deux points X et /x ou la courbe sera touchee par les generatrices TL et TM (n^ 299). Pour un autre plan secant RIGHF situe entre les plans limites, on obtiendra quatre aretes qui fourniront seulement trois points 7, 9,/, de Tintersection, parce que la rencontre des deux generatrices SH et TG n'aurait lieu ici qu'au dela des sommets T et S, et par consequent sur les nappes superieures des deux cdnes, dont nous faisons abstraction par le meme motif qu'au n^ 297.

Les points dont nous venons de determiner les projections horizontales, se retrouveront sur le plan vertical, en projetant sur la ligne de terre les pieds des generatrices fournies par chaque plan secant, et en joignant ces derniers points avec T' et 9'. D'ailleurs, si Ton considere les generatrices relatives au contour apparent des deux c6nes, et qui, d'aprfes la disposition actuelle des donnees, sont toutes quatre aitu^es dans le plan vertical RTS, on obtiendra immediatement les points d\ c^, £% qu'ilfaudra projeter sur RT en rf, e>, g; puis, comme les points V et U, oil se coupent les deux bases, font ^videmment partie de I'intersection des deux cones, cette eourbe se prtoentera ici sous la forme de deux branches distinctes

{dfkcp&xd, d'f/Vd") et (V/iyEU, V>'£').

312. II y aurait une troisieme branche d'intersection, si nous avions eu ^ard