LIVBE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES

aux deux nappes superieures : mais, dans tous les cas ou les bases des deux cdnes seront des courbesdu second degre, la totalite des branches de Tintersection devra former, sur chaque plan de projection, un systeme de lignes qu'une droite ne puisse rencontrer en plus de quatre points. En effet, les equations de deux surfaces coniques 6tant alors elles-memes du second degre, ne pourront conduire par Telimination d'une des variables x, y^ z, qu'a une equation finale du quatrifeme degre au plus; de sorte que la combinaison de cette derniere equation avec celle d'une droite quelconque, ne fournira janiais plus de quatre solutions communes.

313. Dans Tepure actuelle, nous avons dispose les deux bases et les sommets de telle sorte, que le plan vertical RTS partage evidemment, en deux parties egales, toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires dans chacune des surfaces coniques, comme UV, LE,...; ainsi, ce plan est un plan principal commun a ces deux sur^ faces du second degrd. Or, on sait qu'alors la courbe d'intersection est non-seulement symetrique des deux cotes de ce plan, mais qu'en outre elle se projette en totalite sur ce plan principal, suivant une ligne du second degre (*) ; par consequent, les courbes c'fx'V et c^X'df' sont ici des portions d'une meme hyperbole. D'ailleurs, la branche X'(^ prolongee jusqu'a la rencontre des deux generatrices A'S' et E'T', commencerait alors k recevoir la projection de la courbe suivant laquelle se coupent les nappes superieures des deux cones.

314. C'est encore par suite de la symetrie que presenle l' intersection de ces deux cdnes, de part et d'autre du plan vertical RTS, que cette courbe vient couper brusquement les generatrices du contour apparent aux points J', (f et s^ au lieu qu'en general, une courbe situee sur une surface quelconque doit toucher^ en projection^ le contour apparent dans le point ou elle le rencontre. En effet, pour ce point, la tangente dela courbe et celle du contour apparent sont toutes deux situees dansun plan tangent qui se trouve perpendiculaire (n° 106) au plan de projection, et, par consequent, les projections de ces deux tangentes se confondent : mais, lorsqu'il arrive, comme ici au point (rf, rf'), que la tangente de la courbe se trouve perpen-dicukdre au plan vertical^ alors la projection de cette droite se reduit k un point unique d\ et V element qui eut ete commun a la courbe et au contour apparent, venant a s'evanouir sur la projection verticale, ces deux lignes n'oifrent plus de contact entre elles.

315. {Fig, 73.) En projetant le point d ou § sur la ligne de terre, et menant une parallele a la generatrice T'Q', on aurait I'asyraptote commune aux deux branches jx'V et X'(^ de I'hyperbole qui revolt la projection verticale de l' intersection; mais les considerations prec^dentes ne fournissent pas la seconde asymptote de cette hyperbole. La raison de cette difference est facile a apercevoir : car les branches \i!t' ei\'d\ quoique indefinies elles-memes, ne reQoivent plusaucun point de Fin-tersection au dela de ^ et de d* ; ainsi elles sont vraiment UmitdeSf en tant qu'on les

(*) Voyez V Analyse appiiquee a la gSom^trie des trots dimensions , chap. IX.