CHAPITRE m. — INTERSBCnOBrS DE DEUX StTRFACSS GOURBES. l^^J
considere comme appartenant aux deux cdnes k la fois, et, par suite, elles n'admettent pas d'asymptotes sous ce point de vue, qui est celui du problfeme actuel. Au lieu que, des deux branches fx'V et X'(^, la premifere est vraiment ind6finie sous tons les rapports (n® 312) ; et, quoique la seconde paraisse se terminer au point c^, quand on la regarde comme le lieu des points communs aux deux surfaces coniques, n^anmoins, apres un intervalle ima^inaire sous ce rapport, cette branche redevient rdellek partir du point de rencontre des generatrices A'S' et ET; car elle regoit alors la projection de I'intersection des deux nappes superieures (n** 308), qui est aussi une courbe ind^finie. Ainsi, par ce motif, la methode des intersections devait fournir Tasymptote de cette branche d'hyperbole.
PROBLEME III. Intersection d'uncdne et d'un cylindre.
316. {Fig. 74-) Comme cette question a beaucoup d'analogie avec les deux problemes precedents, nous nous contenterons d'en indiquer la solution, par une figure en perspective. Soient done SAB le cone et CDE le cylindre proposes : on menera par lesommetS, une parallele SR aux genet*atrices du cylindre; et en conduisant par cette droite divers plans secants, ils produiront evidemment dans les deux surfaces, des sections rectilignes bien faciles k construire, et dont les points de rencontre mutuelle appartiendront k la courbe demandee.
317. Les plans secants limites s'obtiendront encore en menant, par le point R, deux droites RK et RL dont chacune soit, k la fois, tangente k Tune des bases et s^cante par rapport k Tautre ; et ces plans fourniront des points ou la courbe sera touchie par les aretes du c&ne, ou par celle du cylindre, selon que le plan limite RL coupera Tune ou Tautre de ces surfaces, comme nous I'avons demontr^ aun'>299-
318. Quand les deux bases seront des courbes fermees, il n'y aura de hranche infinie qu'autant qu'une des generatrices du cdne se trouvera parallele aux aretes du cylindre, et on le reconnaitra immediatement, puisque alors la droite SR devra aboutir pr^cisement sur le contour de la base ALBK. Encore, f?iudra-t-il que la tangente en ce point puisse couper la base du cylindre; sans quoi, aucune branche de Tintersection ne convergerait vers la generatrice SR, comme il est facile de Tapercevoir en construisant la figure relative k ce cas particulier.
PROBLEME IV. Intersection d^un cdne et d'une sphire concentnques,
319. {Fig. 75.) Soient (S, S') le sommet et ABCDE... la base du cdne propose; soient aussi XKY et X'Z'Y' les projections de la sphfere qui a son centre en (S, S'), et que nous supposons reduite ici k Th^misphere inferieur, afin de laisser voir la courbe d'intersection sur le plan horizontal. Nous emploierons, pour couper ces deux surfaces, des plans verticaux men^s par le sommet (S, S'); celui de ces plans secants qui a pour trace la droite quelconque SM, rencontre la base du cdne au point M, et, par consequent, il coupe cette surface suivant Tarete (SM, S'M'), tandis que, dans la sphere, il donne pour section un grand cercle. Si done nous rabattons ce plan SM sur le meridien principal SY, le grand cercle coincidera avec X'Z' Y', et la generatrice deviendra (SP, S'F) ; alors ces deux lignes se coupant au point (Q, Q'),
GSometrie Leroy, I o
i98 luwum IT* ^ iNTmsacnaifB mi amvAcm.
il suffira de rameDer oelui-*€i» au moyeo d'un arc de oercle horizootaU aur la gine* ratriee primitive en (m» m'}« et ce aera \k ua point de la courbe d'interaection dii cone avec la sphere.
320. II sera bon d*appliquer» en meme temps* la conatnietion pr^dente aux deux plans meridiens SM et SN qui rencontrent la base du cdne en deux points M et N situ^s k ^gales distances de S* paree que Ton obtiendra^ au moyen du mSme parallbleRQ' de la sphere* un second point {n^n!) situ6 sur la gto^ratrice (SN, S'N'), laquelle tiendrait evidemment se rabattre aussi sur S'F^ En outrot on dovra speeialement construiroi par le mdme proc^d6« les points de la courbe d'iDtersection qui seront situ6s sur les aretes
(SA,S'A')^ (SB,S'B'), (SE^6'E')i (SF, 9'F),
lesquelles forihent le contour apparent du cone, ou bien sent placCes dans le mSridien qiii donnfe le contour apparent de la sphere, parce qu^on obtiendra ainsi led quatre points
oil la eourbe dolt Umdh^-, sur le plan yerticali Tun oU Tautte de ces Contours appa** rents. D'ailleurs, d'apresia regie Stabile au n^ 304^ oe sera toujour^ dans quelqueattns de ced points que se fera le passage de la partie visible k la partte imisibk de la projection verticale; ici^ par eiemple, ce passage a lieu fen (6, 6'), et non pas en (a, a'), parce que Tarete (SA^ S'A') est d6jk enarri^re du m^ridien (SX,Z'X')i tandis qu*k TauU^e extr^mite de la courbe ce passage s'eiTectoe au point («, e')t parce que la generatrice (SE, S'E') est en avant du meridied (SY< Z' Y').
Quant k la projection horizontale, elle est visible en totalite, puisque Tbtoisph^re superieur est enlev^, que la surface coniqae est reduite k sa nappe inferieuret et qu'ayant son sommet projet^ au dedans de la base, elle n'admet pas ici de plan tangent qui soit vertical (n"" 303).
321. {Fig. 75.) 11 est int6ressant de determiner la position precise du pointy* od la projection verticale de Tintersection prisente un nceud* A cet efiet^ nous obserrerona que ce boeud doit provenir de deux points {gf ff) et [9^ g^) qui seront s i"" places sur deux aretes SG, SY^ confondues en projection verticale, et dont par consequent les pieds repondront k une corde G V peq^endiculaire a la ligne de terre; a^ situes sur un meme parallele de la sphere, et d^ lors il arrivera, comme precedemmeat pour les points m' et /»', qne les pieds des generatrices reihpUront la condition SG = SY| de sorte que la corde inconnue GY devra avoir son noUeu Iplacisur SY. Or la droite A£ etant evidemment le diam^tre conjugue de toutes les cordes paralleles k £E', il s*ensuit qu*elle contient aussi le milieu I de la corde GY; par consequent cette derniere sera determin^e par la rencontre de AE avec SY» et en appliquant alors aux generatrices SG, SY, le proc-ede general du n^ 31 d, on trouvera les deux points qui se projettent en ^ sur le plan vertical.
322. Be la tangenie. Pour obtenir cette ligne relativement au point quelconque (m, m')f il faut cbercber Vintersection des deux plans qui touchent la sphere et le
