CHAPITRE III. — imrERSECnOVS DB DBUX SUBFACE8 COURBBS. I

cdne en ce point. Or, d'apr^s ce que nous avons dit au n^ 133 pour une surface de revolution, il suffira ^videmment de mener en Q' la tangente Q'T' au meridian principal de la sphere, puis de rapporter la distance D'T en ST, sur le m^ridien SM, et eniin de tirer perpendiculaireraent ace dernier plan la droiteTd, qui sera la trace horizontale du plan tangent de la sphere pour le point (/n, m'). Quant au plan tangent du c6ne, il touchera cette surface tout le long de la g^n^ratrice (SM, S'M'), et par suite il aura pour trace la droite M6 qui touche la base au point M. Done le point i oil se coupent ces deux traces, appartient k la tangente demand^e, laquelle est par consequent projet^e sur Om et sur 0'm\

325. On pent aussi construire le point le plus haiu ou le plus bos de la courbe, c*est-^-dire plus generalement les points ou la tangente sera horizontale. En effet, puisqu*une pareille droite se trouvera contenue a la fois dans les deux plans tan?gents aux surfaces proposies, il faudra evidemment que eeux-ci ^ipnt leurs traces horizontales /^o/vi/^^'fei l*une k I'autra. Or, en supposantque le point cherohe soit sur la g6neratrice (SC, S'C), le pl^n tangent du c6ne aurait pour traee la tangente au point G de la base, et le plan tangent de la sphere aqrait sa trace horizontale perpendiculaire au meridien SGK; ainsi, pou# que ces deux traees soient parallkles, il faudra que SG se trouve normale a la courbe ABDB. Done, en menant du point 8 dans le point horizontal, une normale SC a la base du cdne, et coQStruisant par le procede g^n^ral du n^ 319, la rencontre de la genivatviee (SG, S'C") avec la sphere, on obtiendra le point (c, o') oil la tangente je Tinterseetion se trouvera horizontale. Ce point est ioi leplus bas^ et Ton aurait le point lephis huui en menant une seeondp normale qui aboutirait vers le point L de la bas^ c qiais nous n'avong pas exprim^ cette demibre construction sur notre epure, paree qu'il en serait rteulte de la con-?fu3ion 9vec quelques ^utr^s Ugpes §sseQti^lIes ^ pfipifpster*

D'ftpre^ Ifis dQnpees actqelles, op ne peat meqer dM ppint S qye dem^ porpo^)^ a rellips^ ABPP; iqaiSf ppur une ^utre ppsitiop ^e ^, le noinbre d^ ces Qor(9ale§ pourni 9'^)ey^r jpsqi^^'k qua^^ ainsf qup nous allpps )e prpuver; ^t ^lor^ 1^ oourbp d'interseetion presenters), ^v§c des ipjQexiQpa, qviatr^ pointq op s» tangente seffi horizontals,

324. (fig. 76.) MssiEn une nobmau a une cQurb^ plane ABDIQ, par u^ point ^ donn^ (fans son plan> Ce probleme, dont 1^ soliition strait utile dans la question pr&cedentei pe pept ^tre resolu par une pi^rebe directe qp'ep tra^aqt d'abord 1^ dei^er lopp^a&&$ de U pourbe primitive, la(|ueUe deyeloppee s'obtient (p"^ 197) paries rencontres nucce^sivea des normales pieni^es ep des points tr&s-voisins spr la coprb^ ABDE; ensuite, il reste k tirer du point S pne ou plusiepfs tangeqtes a cette deve- Ipppee, operation qpi s*ei^ecute gve^: tppte \^ pr^cisiflP de^irablei en dirigeapt une rigle de manibrei|u'eUe pa^sic par )e poipt S et qu'elle s'appuie spr la opprbe ccSe^s. La seule incertitude qui ppurrait rester }ci, porterait sur la pqsitiop precise du point de contact de cette tangente avec la developpee; mais cette ppsit^op est tout ^ fait indiffi^rente dans la question actuellCt tandis que le point G, ou aboutira la normale sur la devehppante ABDE, sera clairement d^termin^.

l4o UVSE IV. — IllTEBSECnOHS DE SURFACES.

Si la courbe primitive ABDE est une ellipse, comme dans Tepure precedente, on sail (n^ 200) que la developpee aS&e presentera quatre branches qui se reuniront par des points de rebroussement situes sur les axes; et alors, quand le point donn^ S se trouvera au dehors de la developpee, on ne pourra evidemment tirer a cette courbe que deux tangentes SC et SL, lesquelles seront les normales deinandees pour la courbe primitive ABDE. Mais, si le point donne S' se trouve en dedans de la developpee, on pourra mener a cette courbe quatre tangentes, savoir S'C et S'C*' qui toucheront, comme tout k Theure, les branches &e et Sa; puis, en outre, deux autres tangentes S'G etS'G" qui toucheront la memo branche Sd^, entre laquelle et les deux axes se trouve compris le point donne S'. Par Ik nous avons suflisamment justifie I'assertion emise k la fin du n^ 323, sur le nombre des normales que Ton pouvait mener k la base elliptique du cone, par le point S.

325. {Fig* 'J'] .)Mithx>de par une courbe d'erreur. Pour resoudre le problfeme de la normale menee d'un point S k une courbe plane AA'A^'A"'..., on donne quelquefois une m^thode qui, malgre le defaut grave qu'elle presente, merite cependant d'etre connue. Par un point 'arbitraire A de la courbe proposee, menons-lui une tangente AT, et abaissons sur cette derniere la perpendiculaire ST. Si le point A etait vraiment celui oil doit aboutir la normale partant de S, il est evident que le pied T de la perpendiculaire abaiss6e sur la tangente, devrait coincider avec A, c'estk-dire se trouver sur la courbe donnee AA' A''... : la supposition precedente est done erronee; mais, en menant diverses tangentes A'T', AT'...., et abaissant dessus les perpendiculaires ST', ST",..., les piedsT, T, T'',... formeront une coi£r&e d'erreur ou courbe auxiUaire TT'T^..., qui, par sa rencontre avec AA'A'^..., fournira le point N; et alors la normale demandee sera SN.

326. Malheureusement, il arrive que la courbe auxiliaire TTT'. .•, loin de couper AA'A''... sous un angle bien prononce, ce qui serait n^cessaire pour accuser nettement la position du point N, se trouvera tou jours tangente k la courbe primitive. Par consequent, cette marche laissera autant d'incertitude sur la position de N, que si, apres avoir mene les normales aux deux points voisins A et A', et avoir reconnu que Tune passait au-dessus de S et I'autre au-dessous, on se fut contente d'estimer, k vue d'oeil, la situation de N entre les points A et X'. II faut done avoir soin, dans tons les problemes oil Ton emploiera une courbe d'erreur, d'^viter rinconvenient que nous venons de signaler, et qui aurait encore ete plus sensible, si le point S eut ete place en dedans de la ligne AA'A''. . . ; parce qu'alors la courbe d'erreur aurait tourne sa concavity vers AA'A''.. ., et qu'elle eut ainsi laiss6 plus d'incertitude sur le lieu du contact veritable.

Quoi qu'il en soit, observons que, quand la ligne donnee AA'A''... sera ferm^e, la courbe d'erreur TT'T"... sera pareillement fermee, et que, si le point S est place au dehors de la courbe primitive, la courbe d'erreur passera deux fois par ce point S, en y offrant un nceud suivant la forme