CHAPITRE UI. -*- UfTEBSECnOHS DE DEUX SUBFACES GOUBBES. l4l
D'ailleurs, elle touchera une seconde fois en n la ligne donnee AA' A^. • • , ce qui fournira une seconde normale Sn» dont la direction ne coincidera pas, en general, avec celle de la premiere normale SN, quoique cela arrive ici k cause de la forme circulaire que nous avons adoptee pour la ligne primitive.
327. {Fig. 77,) Mener une tangente a une courbe plane BB'B". . . par un point S donnd dans son plan. Quoiqu'il suffise, pour ohieniv la direction de cette tangente SM avec toute Texactitude que comportent les operations graphiques, de diriger une rigle de mani^re qu'elle passe par le point S et qu'elle s'appuie sur la courbe BB'B". . . , n^anmoins il reste quelque incertitude sur la position du point de con* tact M ; et si Ton a besoin de connaitre celui-ci avec precision, on pourra le determiner, au moyen d'une courbe d^erreur^ en admettant toutefois que Ton sait mener les tangentes k la ligne BB'B'". . . par des points donnes sur cette courbe.
On construira les normales BT, B'T, WT\... pour divers points pris sur la ligne donnee, et Ton abaissera sur ces normales, les perpendiculaires ST, ST', ST'', .... Alors on sent bien que si B", par exemple, etait le point de contact de la tangente partie de S, il devrait arriver que le pied T'' de la perpendiculaire abaissee sur la normale en B'', co'incidat avec le point B'', c'est-a-dire que T" devrait se trouver sur la courbe donnee ; et puisqu'il n'en est pas ainsi, la supposition precedente est erronie : mais il en r^sulte que la courbe d'erreur TT'T'. . . devra passer par le point de contact que Ton cherche, et, par consequent, ce point M sera fourni par I'intersection de la ligne TT'T". . . avec BB'B". ... Ici ces deux courbes se coupent veritablement, et la methode n'est pas sujette k Tinconvenient signale au n^ 326 ; d'ailleurs, comme la courbe d'erreur rencontre une seconde fois en /ti, la ligne donnee BB'B"..., il y a une seconde tangente Sm que Ton pent mener du point S.
328. {Fig. 74 bis.) Autre solution. Voici une nouvelle methode qui aura Tavantage de ne pas exiger que Ton sache construire les normales, ou les tangentes de la courbe proposes pour des points assign^s sur cette ligne. Soit XMY la courbe k laquelle il s'agit de mener une tangente par le point S : je tire de ce point une secante quelconque SBA sur laquelle j'eleve deux perpendiculaires Aa, etB§, egales chacune a la corde interceptee AB, et partant des deux extremites de cette corde, mais dirigees I'une en dessus et Tautre en dessous de la secante; je repete cette operation pour d'autres secantes SB' A', SB" A", . . . , et la courbe a*'aSS*' determinee par les extremites de toutes ces perpendiculaires, devra evidemment passer par le point de contact cherche de la tangente SMT, puisque cette tangente est une secante dont la partie interieure se trouve egale a zero. Par consequent, la rencontre des courbes XMY et a*'a€S"', fera connaitre le point M que Ton doit joindre avec S pour obtenir la tangente demandee; ou du moins, cette rencontre servirak fixer la position du point de contact M de la tangente ST, si Ton s'est contente, comme nous Tavons dit plus haut, de tracer cette droite ST avec la regie. II est evident, d'ailleurs, que si Ton renverse toutes les perpendiculaires du cote oppose k celui Ob on les a d'abord elevees, on obtiendra une seconde courbe auxiliaire qui devra encore passer par le memo point M, et pourra servir de verification; et qu'enfin.
14^ UVBB IV. ^ UTEBSBCnOVS DB 8I7EPACE8.
il sera permis d'attribuer a cbaque perpendiculaire, une longueur 4gale au double ou a la moitie de la corde correspondante, rapport qu'il peut 6tre utile de fetre varier* suivaut la forme plus ou moins aplatie de la courbe donnee dans les environs du point M.
329. On pourrait aussi recourir k une courbe d'erreur, pour r^soudre les pro- ' blemes suivants :
Mener a une courbeplane une tangenteparaUHe a une droite donnie dans son plan;
Mener une tangente commune a deux courbes situees dans le mime plan.
Mais, dans ces questions, il y aura toujours autant, et meme plus d'exactitude k employer simplement une rigk que Ton appuiera sur les deux courbes donn^es, . ou sur la courbe unique et dans la direction assignee, que d'avoir recours a des lignes auxiliaires dans la forme desquelles il entre toujours un peu d'arbitraire. Seulement, quand le lieu du contact paraitra incertain et qu'on aura besoin de le connaitre avec plus de precision, on pourra, apres avoir mene la tangente, recourir a la methode du numero precedent*
PROBLEME y • De^eloppement d'une surface conique a base quelconque^
330. Le probleme que nous avons resolu au n^ 519, peut servir a efTectuerise d^veloppement. Car, si apr^s avoir construit la courbe d'intersection {ababn. . • , dVdd'm!...) (Jig. 75), du cone propose ayec une sphere d*un rayon arbitraireet dont le centre est plape au sommet, on developpe (n^ 882) le cylindre droit qui projette cette courbe suivant abcdm...^ et qu'on trace sur ce cylindre developpe, Ifi transformee de la ligne a double courbure ( abccfm, . . , dVdd'w^. .^^^otx obtiendra um courbe plape que je designe par aSyc^ft..., et dont les arcs, faciles a mesiirer alors, auront la meme longueur absolue que ceux de la ligne a double courbure. Ensuite» comm^ tons les points de cette derniere courbe se trouvaient, sur {e cdne, a ^gales distances du sommet, il est certain qu'apres le developpement de la surface conique, ces memes points devront dtre places tons sur la circonference d'un Qercle de^pit d'un point arbitraire S'', et avee le rayon S'Y' de la sphere secante. Par consequent, apres avoir trace cette circonference sur le plan du developpement (nous laissonf^ au lecteur le soin d'eflectuer ces diverses operations), on devra y marquer des arcs
a'e% 6% i^. ^ii\....
egaux eu Ipngueur absolue aui( arcs
aS, §7, 7*, &[i,...,
de la premiere transformee; puis, en joignant les points de (livisioQ a', S\ ^9^ • avec le centre S'', il restera a porter sur ces rayons des longueurs
svA", s'^6'B% S"7'C", s"c^D^ syM",...
respectivement egales k celles des generatrices 4u c6ne qui aboutissaiept aux diyers points
GHAPiTBE iii. — intBftJiEcMdsrs iMt fofetot sufcricfeii gourbes. i43
M par Ik bti obtiendra le developp^ttietit de h suffacis conlque, sur lequel la base pritnltiv^ aui*a pour trdDsforin^e la courbe
331 . Dans cetie m^thode, la courbe inter^e<3lioii dti edne av^(; la sphere iconcentrique coupe ^videmment toutes les ^^ui^ratHces k angles droits; de soHe qu^elle tient lieu ici de ce que nous avons uommft dans les cylindres la section droite ou section ortkogonaie^ cotlrbe qui nous a servi trfes-commcidenient (n^ 243) k d6- Teloppef uli cylibdre quelconque^ parce que nous conuaissions d'avance la fdrme n^hSfjTi^ qil'elle devait prendre apr^s le d^Teldppenient du cylindre. Datis Ids surfaces eoniquea, on connait ausai d'avauce la fortiie circulaire que doit preddre, sur le d^Teloppementy la section orthogonale du c6ne» faite par une sphere concen-^ trique ; mais malheulreuseinenl cette section n'est plus une ligne plane, de sorte que pour mesurer ses arcs ob est oblig<§ de lui faire perdre une de ses courbures (^)» en efiectuant le d^veloppement pr^alable d^un cylindre. Aiusi, il faut avouer que cette m^tbode exigeant Un grand nombre d'op^rations pr^liminaires qui niultiplient toujours les chances d'erreurs, elle ne fournira pas des r^sultats graphiques plu^ exacts que si Ton avait suivi la marche plus courte indiqu^e an n^ 267.
PROBLEME YL iMeneetion de- deudc surfaces de r^whuion dent les oMesse renr^ contrenL
532. [Fig. 78.) Choisissons les plans de projection demani^re que le premier soit parallele auxdeux axes« et le second perpendiculaire k Tune de cesdroites; ee dernier plan etant regarde comme horizontal, Taxe de la premiere surface aura pour projections la verticale O'Z' et le point 0^ tandis que Tautre axe sera projet^ suivantZ'F, et 01 parallele a la ligne de terre. Les meridiens/^nncyTaiw A'B'C et a'b'c'f c'est-k-dire ceux qui se trouvent dans le plan vertical 01, sont donn^ par la question, et se projettent verticalement suivant leur veritable grandeur; ces eourbeSf qui ferment en meme temps les contours apparents des deux surfaces (n^ 131) sur le plan vertical, sont ici deux ellipses; mais la methode que nous aliens exposer est independante de la nature des meridiens. Sur le plan horizontal, le premier ellipso'ide a pour contour apparent Tequateur BLX/; et quant k Tautre surface, nous n'en ferons pas mention sur ce plan de projection, paree que le trace de son contour apparent exigerait ici la recherche de la courbe de contact de cet ellipsoide avec un cylindre circonscrit et vertical (n^ 106), question que nous apprendrona a resoudre plus tard, mais qui compliquerait sans utilite le probleme actuel.
333. Cela pos6, observons que deux surfaces de revolution qui out un axe com-^ man en direction, ne peuvent se couper que suivant un ou plusieurs cercles perpen-^ diculaires a cet axe^ et decrits par les points oil se rencontrent leurs meridiennes. D'ailleurs, une sphere pouvant etre consider^e comme de revolution autour de
■mO.
(*) N0118 partons ici sdTant le %ties §Biucbes aux n"* 7 et 654.
langage ordinaii^; mais voydi ce qae nouS disbne de la courbure des
1 44 UVHE IT. — IHTEBSBCnONS DB SUEFACGS,
cbacun de ses diamfetres, si nous imaginons une serie de spheres s^cantes, ayant toutes pour centre le point (Z', 0) commun aux deux axes, chacune de ces spheres coupera les surfaces proposees suivant deux cercles respectivement perpendiculaires aux axes, et dont il sera facile d'avoir les points de section. En efPet, tragons du ' point Z', avec un rayon arbitraire^ le cercle DT'E'G' pour repr^senter la projection d'une de ces spheres : elle rencontre \e^ meridiennes donnees aux points D' et E\ F' et G'; alors il r^sulte des observations precedentes que les droites D'E' et F'G' sont les projections verticales des deux cercles suivant lesquels les ellipsoldes sont coupes par la sphere projet^e sur DT'E'G'. Or, les plans de ces deux cercles ayant pour intersection une corde horizontale (M', Mm) qui tombe ici en dedans du contour de la spbere, nous pouvons affirmer que leurs circonferences, situees d!aMeun sur cette sphSre^ se couperont elles-memes en deux points projet^s verticalement sur M\ et horizontalement en M et m, k la rencontre de la corde Mm avec le cercle (DME,D'E'). Ces points etant ^videmment communs aux deux ellipso'ides, appartiendront a leur ligne d'intersection; et des operations semblables, r^p^t^es sur d'autres spheres decrites toujours du point Z^ foumiront pour les deux projections de cette courbe les lignes
K'L'M'H' et KLMHm/K.
334. II faudra spScialement appliquer la metbode pr^c^dente k la spb^re qui passe parF^quateur (B'X^ BLX); parce qu'on d^terminera ainsi l^s deux points (L\ L) et (L', /) k partir desquels la courbe passe au-dessous de F^quateur, et devient inmiblesarle plan horizontal. D*ailleurs, quoique cette courbe d'intersection soil bien loin d'etre, dans Fespace, tangente a Fequateur, n^anmoins les tangentes de ces deux lignes pour le point (L', L) se trouvant Fune et Fautre dans le plan tangent qui est ^videmment vertical tout le long de Fequateur, il en r^sulte que les projections horizontales de ces deux tangentes se confondront; et qu*ainsi la courbe ELM... touchera le cercle BLX en L et/.
335. Cette consequence g^nerale ne souiTrira d' exception que quand la tangente au point (L', L) de la ligne k double courbure se trouvera exzcieaitvXverticak. Alors Feiement qui eut iXk commun aux projections horizontales de cette tangente et de Fequateur, disparait ou se reduit k un point math^matique ; de sorte que la courbe cesse de toucher Fequateur, et vient le couper en formant ordinairement un rebroussement. Une circonstance analogue va se presenter ici pour les points (K\ K) et (H% H), qui sont donnes immediatement par la rencontre des deux meridiens principaux. En eiTet, dans chacun de ces points, les plans tangents aux deux soffaces sont n^cessairement perpendiculaires aux plans meridiens, et, par suite, au plan vertical ; done leur intersection qui serait la tangente de la courbe, est aussi perpendiculaire k ce plan vertical, et s'y projette suivant un point unique; d'ou il arrive, par lesraisons precedentes, que la projection K'L'H' n'offre plus de contact avec les contours apparents des deux surfaces, tandis que ce contact a lieu ordinairement. D^ailleurs, il n'y a point ici de rebroussement aux points K' et H', parce que les deux branches de Fintersection, situees Fune en avant et Tautre en arriere da
GHAPITBE in. -« IJNTBBSECnOlf S DB DEUX SURPACBS €OUaBES, l45
plan vertical 01, ont des positions sym^triques et se confondent en projection verticale, comme on le voit d'aprbs la construction generale qui a donne les deux points
(M,M')et(iw,M').
556. {Fig. 78.) II est utile d'observer que la projection verticale K'L'H'sera
necessairement une Ugne du second degrdy toutes les fois que les deux surfaces do revolution seront elles-memes de cet ordre. En effet, le plan vertical 01 ^tant un plan meridien pour Tune et pour I'autre de ces surfaces, il divise evidemment en deux parties egales toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires, telles que (Mm, M'); done ce plan est un plan principal qui se trouve commun aux deux surfaces, et alors on demontre par un calcul fort simple que Tintersection de celles-<^i seprojette sur ce plan principal, suivantune ligne du second degre (*). On devra done profiter de cette notion acquise d'avance sur la nature de la courbe K'L'H', pour redresser les erreurs de construction qui tendraient a produire, dans cette ligne, des inflexions ou une courbure qui ne s'accorjieraient pas avec la forme bien connue des sections coniques.
557. Observons encore que, quel que soit le degre des deux surfaces de revolution, la courbe plane E'L'H' consideree en elle-meme, et independamment de la courbe gauche dont elle regoit la projection verticale, ne se termine pas brusquement aux points K' et H', mais qu'elle doit se prolonger au dela pour rentrer sur elle-meme, ou pour s'etendre indefiniment. De sorte qu'en continuant de tracer sur le plan vertical des cercles qui aient toujours le point Z' pour centre, et qui s'etendent au dela ou en degk des points H' et E% on pour ra, si la forme des meridiens leur permet d'etre encore coupes par ces cercles, obtenir des points de la courbe K'L'H', situes au dehors de la partie qui regoit la projection de I'intersection des deux surfaces. Cette circonstance, que Ton apercevra plus clairement dans I'epure 79 relative k une question analogue (n^ 544), tient a ce que la propriete graphiquequi sert k trouver chaque point M' de la courbe plane K'L'H' est plus generale que la definition de ce meme point, considere comme la projection d'un point commun aux deux surfaces. En effet, sous ce dernier rapport, il faut que M' soit non-seulement k la rencontre des deux cordes IV E' et F'GS mais encore situo dans I'interieur du cercle D'F'E'G', comme nous I'avons enonce n** 555; de sorte que, quand les deux cordes D'E' et FG' ne se couperont que dans leur prolongement, le point de section conviendra bien encore k la courbe plane K'L'H', mais non plus a la courbe gauche suivant laquelle se coupent les deux surfaces de revolution.
558. (Fi^. 78.) De la tangentE; premiere mdthode. Nous pouvons trouver cette droite pour le point (M, M'), en cherchant I'intersection des plans qui touchent les deux surfaces en cetendroit. Or, le plan tangent relatif a rellipsoide A'B'C, s'obtiendra (n® 155) en transportant le point M' en D' sur le meridien principal,
(*) Ce th^or^me int^ressant est dA k M. /. Binet. Voyez \ Analyse appUquee a la geometric des trots Himrns,'onSj chap. IX.
Geom^trie Leroy, 1 9
^46 MTRB IT. — IKTERSBCnOlfS DB SVRPACtS.
puis en tra^ant la tangente D'T' a ce m^ridien; alorg, si Ton ramfene le pied (T, T) de cette tangente en T sur le meridian OM, la droite TY perpendiculaire k OM sera la trace horizontale du plan cherche.
Quant k Tellipsoide a'6V dont I'axe n'est pas Tertical, je ramene d*abord le point M' en F' sur le meridien principal ; puis, je construis la nornnale F'N', de laquelle je conclus (n** 156) la normale (M'N', MN) relative au point (M, M'); et alors il me suftlra de mener par ce point un plan perpendiculaire k cette derniere Rormale. Pour cela, j'imagine dans ce plan une droite parallMe k sa trace verticale^ et dont la projection vertical e sera la ligne M'F perpendiculaire k M'NS tandisque sa projection horizontale sera MP parallele k la ligne de terre; ensuite, par le pied (P, P') de cette ligne auxiliaire, je mfene perpendiculairement sur MN la droite PQ qui sera evidemment la trace horizontale du plan tangent au point (M, M') de rellipsoidea'fe'c'.
Gela pose> les traces PQ et TY des deux plans tangents allant se rencontrer au point 9, c'est la le pied de la tangente demandee, laquelle a ainsi pour projections
em et e'M'.
539. Deuxiime mithode^ par le plan normal. Nous avons vu au n® 214 que la tangente a Tintersection de deux surfaces devait etre perpendiculaire au plan mene par les deux normales de ces surfaces; il nous suffira done de trouver ce plan, qui est lui-meme normal k la courbe. Or, nous avons dejk construit la normale (M'N\ MN) pour le deuxifeme ellipso'ide; quant au premier, nous menerons au point D' du meridien principal, la droite D'R' perpendiculaire sur la tangente D'T', et alors on sait (n** 150) que la normale pour le point (M', M), sera la droite (M'R', MO). Cela pose, il serait bien facile de trouver la trace verticale du plan menS par les deux normales ci-dessus indiquees; mais, comma nous avons-besoin de connaitre settlement la direction de cette trace, et qu'elle sera la memo sur les plans verticaux 01 et OT qui sont paralleles, nous observerons que les normales en question vont rencontrer les axes en R' et N'; d'oii il r^sulte immediatement que N'R' est la trace du plan normal sur le plan vertical 01, et qu'en tirant par le point M' la droite M'O' perpendiculaire k cette trace, on aura la projection verticale de la tangente demandee.
Pour obtenir I'autre projection, prolongeons jusqu'au plan horizontal deux quel«* conques des droites qui reunissent les trois points (M', M), (N', N), (R', 0), lesquels sont situes dans le plan normal. Ici, on voit que la droite (N'M', NM) perce le plan horizontal au point a, et que la droite (N'R', NO) le rencontre en 6; done oeS est la trace horizontale du plan normal, et en lui menant une perpendiculaire Md, ce sera la projection horizontale de la tangente cherchee.
340. [Fig. 78. ) La methode que nous venous d*employer est non-^eulement plus simple, dans certains cas, que celle des deux plans tangents, mais elle offre eneart Tavantage de pouvoir quelquefois s'appliquer k des points particuliers, pour lesquels Tautre methode serait insufTisante.
Considerons, en effet, le point (K, E') situe a la fois sur les deux meridiens prin-
GHAPITBE Ul« — INTBRABCTHHia DB BBUX SVBFACSS GOUBBES, 1 47
cipaux : a cause de cette position particuli^re, les deux plans tangents seront Fun 6t Tautre perpendiculaires au plan vertical, et, par suite, leur intersection qui est la tangente dela courbe (E'L'H', KLH,...), sera projetee horizontalement suivant une perpendiculaire k KO, et verticalement en un point unique K'. Cette construction fait connaitre la position qu'occupe, dans Tespace, la tangente de la courbe gauche; mais elle n'apprend rien sur la droite qui toucherait en K' la courbe ' plane K'L'H^ droite que Ton doit regarder comme la projection de la tangente qui precederait inimediatement, dans I'espace, celle qui s'est r^duite k un point unique en se projetant sur le plan vertical : tandis que la consideration des deux normales manifeste une propri^te constante dont jouit la courbe plane K' L'H' regard ee comme trac^e dans le plan des deux meridiens, et ind^pendamment de la ligne h double courbure dont elle rOQoit la projection. Cette propri^te consiste en ce que, si Ton transporte le point quelconque M' sur les deux meridiens, en D' et en F par des perpendiculaires aux axes, puis si Ton tire les normales D'R' et F'N', la droite R'N' sera toujours perpendiculaire a la tangente en W. Or, cette relation subsistant pour tons les points de la courbe plane K'L'H', et ne portant que sur des lignes situees dans son plan^ elle doit etre vraie aussi pourle point K' oil elle demeure 6videmment applicable avec encore plus de simplicite, puisque ce point est par lui-mSme transporte sur les deux meridiens. Par consequent, il suffira de mener les normales K'V et K'U', puis de tracer la droite U'V, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire K'S' qui sera la tangente demand^e.
Une construction semblable fera trouver la tangente au point H'.
PROBLEME VII. Intersection d' un paraholoide avec un hyperboloide, tous deux de revolution, et dont les axes se rencontrent.
541. {Fig. 79.) Soient (0, O'Z') Taxe du paraboloide, et A'C'B' le meridien principal de cette surface que nous supposerons terminee au cercle {A'B\ AB) de maniere que Tinterieur de ce paraboloide soit visible sur le plan horizontal. Soit aussi (01, ZT) Taxe de Thyperboloide, ce qui suppose que le plan vertical de projection a 6t6 choisi parallMe aux deux axes k la fois : quant au meridien de cette seconde surface, nous ne le regarderons pas comme donne par la question, parce qu'alors le problfeme rentrerait entierement dans celui du n^ 332; mais nous definirons Thyperboloide au moyen de la generatrice rectiligne (PQ, P'Q') qui Tengendrerait en tournant autour de la droite fixe (01, ZT), sans toutefois consid^rer cette seconde surface comme r^ellement existante; c'est-k-dire qu'ici le paraboloide subsistera seul, et sera traverse suivant une certaine courbe par les diverses positions de la droite mobile (PQ, FQ'). Du reste, pour trouver cette courbe, nous emploierons encore des spheres s6cantes (n^ 333) decrites toutes du point Z'; seulement, comme nous ne connaissons pas a priori le meridien de Thyperboloide, nous ne tracerons plus arbitrairement le grand cercle d'une de ces sphferes, mais nous commencerons par construire un parallele de cet hyperbolo'ide.
542. Menons done par un point ca' pris k volonte sur Taxe, un plan F'w'G' qui lui soit perpendiculaire : ce plan rencontrera la generatrice au point (§', €), dont la
IQ.
l48 LIVBE IV. — IlfTBRSECnORS DE
distance au point u/ sera ^videmment Thypot^nuse d'un triangle rectangle construit sur les cotes w'S'' et 6'S" = aS; ainsi, en decrivant avec cette hypotenuse co'S" un cercle F'6"G', ce sera le rabattement du parall^le suivant lequel I'hyperboloide est coupe par le plan F'w'G'; et les extremites F' etG' de son diametre, seraient deux points de Yhyperbole miridienne situee dans le plan vertical OL
Cela pose, adoptons pour rayon d'une de nos spheres secantes, la distance Z'F. Alors, une pareille sphere coupera Thyperboloide suivant le parallele projet6 sur F'G', et le paraboloide suivant un cercle projete sur D'E'; par consequent le point W ou se rencontrent ces deux cordes, et qui tombe en dedans de la sphere, repr6sente la projection verticale des deux points ou se coupaient les circonferencos de ces paralleles. Ge sont done Ik deux points de Tintersection des surfaces proposees; et on les retrouvera sur le plan horizontal, en y tragant le parallele (DME» D'E') et abaissant la verticale M'mM.
545. Des constructions analogues fourniront autant de points que Ton voudra de la courbe
(K'L'X'M'H', KLXMHm/K),
suivant laquelle le paraboloide est coupe par Thyperboloide ; et le meridien V'F'S'U' de cette derniere surface, qui se conclura de tons les points tels que F', devra toucher, sur le plan vertical, la projection de la generatrice au point (S, S') dans lequel cette droite traverse le meridien principal 01. D'ailleurs, ce sera la rencontre de ce meridien Y'F'S'U' avec le meridien du paraboloide, qui fournira les points extremes de I'intersection (K, K') et (H, H').
544. Observons aussi qu'une meme sphere pourra fournir deux points tels que U et X' situes sur un parallele unique, et appartenant tons deux k Tintersection des surfaces proposees; tandis que, d'autres fois, une sphere secante fournira deux points M' et/x', dont un seul appartiendra veritablement kl'intersection, parce que le deuxieme serait'plac6 en dehors du contour de la sphere. Cependant ce point |x^ continuant de satisfaire k la propriete graphique qui sert a construire chaque point de la courbe plane K'M'H', consideree independamment de la courbe gauche dont elle reQoit la projection, appartiendra toujours au prolongement de cette ligne plane, comme nous Tavons explique au n^ 557; et celle-ci sera evidemment une hyperbole, d'aprfes les raisons citees au n^ 556.
545. De la tangente. Cherchons, comme au n® 559, les normales des deux surfaces pour le point quelconque (M, M'). Dans le paraboloide, la normale E'R' du meridien fait connaitre le point R' oil aboutirait, sur I'axe O'Z', la normale de la surface en (M, M') ; et sans tracer cette derniere droite, il nous suffit d'avoir obtenu ce point R'.
Dans rhyperboloide, dont le meridien n'est pas donne par la question, j'observe que le plan tangent relatif au point projete en (6, €') et rabattu en 6", passerait par la tangente 6"T du parallele et par la g6n6ratrice (§P, S'P') qui perce ie plan vertical 01 en (S, S') : par consequent, sur ce plan des deux axes, le plan tangent
CHAPITBB HI. — IHTJBMSECnOXS 0E DEUX SimFACBS COITBBES. 1 49
auraitpour trace la droite TS'; done, en lui menant une perpendiculaire 6'N', ce sera la projection de la normale relative an point (S, 6'). Mais ce point est sup le memo parallele que (M, M'); done aussi, pour ce dernier, la normale de la sur- . face rencontrerait Taxe \TJ au point N'; ainsi cette normale est suffisamment determin^e.
Cela pose, le plan des deux normales en (M, M') coupera evidemment le plan vertical 01 suivantla droite R'N'; done, en abaissant sur cette ligne une perpendiculaire M'5', ce sera la projection verticale de la tangente a la courbe d'intersection. Ensuite, nous pourrions chercher sur le plan horizontal de projection, la trace du plan des deux normales, lequel passe par trois points connus (M', M)» (R', 0), (N', N); mais il sera beaucoup plus court de determiner cette trace sur le plan horizontal D'E', oil est deja situe le point (M, M'). Car en prolongeant R'N' jusqu'a ce qu'elle coupe ce plan en f!^ et projetant ce dernier point en p, la droite /^Msera evidemment la trace demandee; si done on lui mfeue la perpendiculaire Md^ on aura la projection horizontale de la tangente a Tintersection des deux surfaces.
346. Remarque. La Mdthode des sections horizontaks qui sufQt toujours pour trouver Tintersection de deux surfaces quelconques, quoiqu'elle soit souvent treslaborieuse, est susceptible, dans certains cas, d'une modification qui la rend tresavantageuse, et que nous aliens expliquer sur un exemple assez simple pour que le lecteur puisse tracer lui-meme I'epure. Designons par S un cone qui a pour base ou trace horizontale une courbe quelconque B; soit S' un autre cone dont la base est un cercle C. En coupant ces deux surfaces par un plan horizontal quelconque, on obtiendrait deux courbes 6 et c dont la derniere serait un cercle; mais I'autre h seraitune courbe qu'il faudrait construire par points, ce qui serait penible. Au lieu de cela, imaginons un cone auxiliaire S2 qui ait le mome sommet que S, et pour directrice le cercle c : ces deux cones S et Sa se couperont evidemment suivant une ou plusieurs generatrices rectilignes 6, G', qui passcront necessairement par les points /7i, m\... communs aux sections h et c. Or il est facile de trouver ces geueratrices; car, en prolongeant le cone S, jusqu*au plan horizontal, il y tracera un cercle C2 dont le diametre s'obtiendra tres-aisement; et alors la rencontre des bases B et C2 fera connaitre les projections horizontales des generatrices G, G',..., lesquelles k leur tour couperont la projection du cercle c aux points cherchesm, /n', . .. qui devaient etre communs aux courbes 6 et c; et des lors ces points appartiendront a Tintersection des deux cones primitifs S et S'. Tout ceci revient a dire que Ton projette perspectivement les sections 6 et c sur le plan horizontal, au moyen de droites issues du sommet S.
Cette methode, oil Ton n'emploie que la ligne droite et le cercle, sera evidemment applicable a la combinaison du cone S a base quelconque B, avec une sphere, un conoide, un cylindroide, ou toute autre surface dans laquelle les sections horizontales seront des cercles ou des droites; par exemple, le lieu engendre par un cercle variable, toujours horizontal, et dont un diametre s'appuie constamment sur deux droites fixes*
l5o UVBB V.--^ PLANU TlHGBmni DOITT LB POIBT... N^EST PAS BOHKlK.
Si la premiere surface S etait ud cylindre a base quelconque B, on choisirait pour la surface auxiliaire Sa un autre cylindre parallele au premier, et ayant pour directrice la section circulaire c; alors la trace horizontale G2 serait un cercle egal a c.
