DES PLANS TANGENTS MEN^ PAR UN POINT EXTERIEUR A LA SURFACE

548. {Fig. 80.) Soit V le point donne au dehors de la surface quelconque S : menons par ce point divers plans secants dans une direction arbitraire, et, par exemple, faisons-les passer tous par une droite quelconque YAD qui traverse la surface. Alors, ils couperont celle-ci suivantdes courbes AMD, AM'D, AM"D,... que Ton saurait construire par les methodes exposees precedemment, et auxquelles on pourra generalement mener, du point V, des tangentes VM, VM', VM",...; de sorte que toutes ces droites formeront evidemment un cone ayant le point Y pour sommet, et qui sera circonscrit a la surface S, c'est-a-dire qui la touchera tout le long de la courbe MM'M".... En effet, pour le point M", par exemple, le plan tangent de S renfermera la tangente WT de la courbe MWW^ aussi bien que Tarete M"V qui, par construction, est tangente a la surface : done ce plan sera lui-memA tangent au

CnAPITRI! I. •^ PLAIVSI TAlVGerrS PAR 1T2V POIIIT KXTlhllEUR.

iSl

8 deux surfaces ayant ainfli un plan tangent commun en W\ ofTriront un

bntact dans ce point, et dans tous ceux de la ligne MM'M""....

tia pose, pour r^soudre le probtfeme genera] qui fait Tobjet de ce chapitre,

constndre la tigne de contact MM' M" de la surface proposde S as^ec un cdne

\gyant son sommet en Y , puis de mener un plan tangent a S dans un quel-

^points de cette tigne ; ce plan satisfera 6videmnient Ji la question, puisqu'il

^cessairement (n^ 348) le c6ne circonscrit, et qu'ainsi il passera par le

^ui est ]e point donne.

uementy tout plan men^ du point Y, tangentiellement k la surface S, Ue-ci en un certain point, que j'appelle m, et qui, ^tant joint avecY, ^^"^e droite Ym evidemment tangente a S; done cette droite Ym sera neces- D^igbin€ des aretes du cone circonscrit VMM'M".... et par consequent le point owtrouver sur la courbe MM'M*. . . , qui devient ainsi le lieu de toutes les solu^ ^^^)bleme propose.

^ieigia'oP'' '® probleoie sera impossible quand le c6ne circonscrit n'existera pas; ilea be^ioi^gque le point Y sera tellement plac6, que Ton ne pourra mener, de ce I gjiQine tangente aux diverses sections faites par des plans passant par YAD. resulte de Ik que la question qui nous occupe admet une infinite de solul^te quand la surface proposee S est de^^eloppable. En effet, nous avons vu (n? 183) qu*une telle surface ^tait Tenveloppe de toutes Ics positions d'un plan mobile, assujetti k une loi de mouvement qui ne laissait d'arbitraire qu'une seule condition {*) I done, lorsque ce plan mobile, qui est en meme temps le plan tangent de la surface d^veloppable, viendra k passer par le point donn^ Y, il ne pourra plus prendre d'autre situation ; ou, du moins, il ne saurait occuper alors qu'un nombre limite de positions, suiyant la nature et le nombre des nappes de la surface. Ainsi, pour cette classe de surfaces, le probleroe de construire un plan tangent qui passe par un point donne, devient tout k fait determine (**)» et c'est ce que nous avons reconnu dans les cones et dans les cylindres (n^ 116 et 123).

D'ailleurs, comme une surface developpable est touchee par son plan tangent tout le long d'une meme generatrice rectiligne (n^ 177), il s'ensuit que si Ton effectuait ici les sections indiquees n^ 348, et qu'on leur menkt des tangentes par le point Y, tous les points de contact se trouveraient situ^s sur une droite de la surface ; et le c6ne circonscrit sereduirait alors k un ou k plusieurs plans tangents qui passeraicnt par le point Y.

551 • Le probl^me de mener, par un point Y, un plan tangent k une surface S

(*) Ou autrement dit, qui ne laissait qvi'itne seule constante arbitraire dans son dquation; ainsi la oondition de paaser par le point V, fixera compl^tement la position de ce plan dans Tespace.

(**) L'exoeption que pr^ntent les surfacee d^veloppables est unique; car elle n*a point lieu pour les sti/faces gauches. En effet, nous verrons que dans celles-ci tout plan men6 par le point V et par une g^ndratrice rectiligne est tangent k la surface dans un certain point qu'il faut construire ; de sorte qu'en joignant ce point de contact avec V, on obtiendra encore une des ardtes du cdne circonscrit, lequel subsiste ici eomoie dans lea surfaces non r^lte.

l52 UVRB ¥• — PLANS TANGENTS DONT LB POINT... N^EST PAS DONNlS.

DOQ developpable, redeviendrait determine, si Ton ajoutait la condition que ce plan dut toucher la surface 5Mr une courbe donnSe, par exemple sur un meridien, ou sup \ un parallele, dont la position serait assignee. En eiTet, apres avoir construit la ligne de contact MM'M"... du cone circonscrit ^ S, il suffirait d'examiner en quels points elle rencontre la courbe donnee, et ce seraient la ^videmment les points de contact des plans tangents qui satisfont au probleme. Gelui-ci serait impossible, si la courbe assignee sur la surface n'avait aucun point commun avec la ligne MM'M^•..

352. Quant ^ la construction de la ligne de contact d'une surface quelconque S, avec un cdne circonscrit qui a pour sommet un point donne Y, courbe qui est d'ailleurs tr^s-utile dans la Perspectis^e, puisque c'est evidemment le contour apparent de la surface vue du point Y , la seule methode tout a fait generale est celle que nous avons indiqu^e n^ 548; ccpendant, comme elle exige des operations graphiques assez penibles, nous aliens exposer d'autres metliodes plus simples, mais applicables seulement a certains genres de surfaces qui se rencontrent plus frequemment. Auparavantj toutefois, nous d6montrerons un theoreme important sur ces lignes de contact, par rapport a toutes les surfaces du second degr^.

353. La courbe de contact d'un cdne circonscrit a une surface du second degri est toujours PLANE; et son plan se trouve paraMile auplan diametral qui serait conjugui as^ec le diamStre menipar le sommet du cdne.

Soient Y le sommet du cdne, et S la surface du second degr^ dont il s'agit {fig. 8o); nous supposerons d'abord qu'elle admet un centre 0, mais, du reste, elle pent etre indifferemment un ellipsoide ou bien Tun des deux hyperbolo'ides. En faisant passer par la droite YO divers plans secants, nous obtiendrons des courbes du second degre ABD, AB'D, AB''D,..., ayant toutes un diam^re commun OA; et si nous les coupons par leplan diamStralBB'C, qui est conjugud ai^ec OAy c'est-k-dire qui divise en deux parties egales toutes les cordes de la surface parallfeles a cette direction, nous obtiendrons des droites OB, OB', OB'',..., qui jouiront evidemment de la meme propriete, par rapport aux cordes menees dans chacune de ces courbes paralleled ment k OA. Ainsi OA et OB, OA et OB', OA et OB",..., formeront des systfemes de diametres conjugues deux a deux, dans les diverses courbes du second degre ABD, ABD, AB"D,.-..

Gela pose, tirons a Tune de ces courbes une tangente YM, puis menons, par le point de contact M, un plan parallele a BB'G : ce nouveau plan coupera la surface S suivant une courbe MM'N, et les sections primitives suivant des ordonn^es PM, PM', PM",..., respectivement paralleles k OB, OB', OB". Alors, si Ton mfene paries divers points M', M",..., des tangentes aux courbes AM'D, AM"D,..., je dis que ces tangentes aboutiront, sur la droite OA, au meme point Y, d'oii est partie la premiere MY. En effet, on sait que dans toute ligne du second ordre rapport^ a deuoo diamitresconjuguis, la sous-tangente ne depend que de Tabscisse du point de contact et du diametre sur lequel on compte cette abscisse; par cons^uent, pour les divers points M, M', M",..., qui repondent a la meme abscisse OP, la sous-tangente aura

GUAPITBB I. — PLANS TAHGBSTS PAE UN POINT EXt£b0SUE. 1 53

une valeur commune, savoir :

PV = g^-OP, d'oii OV=g^.

Done, toutes les tangentes menees en M, M', M",..., formeront bien un c6ne circonscrit k la surface du second degre, et dont la iigne de contact sera la courbe planeWA'WJif parallele au plan diametral BB'C qui estconjugue avec VO (*). D'ailleurs, cediametreVO contiendra le centre P de la courbe MM' M""..., comme nous allons le faire voir.

354. Dans toute surface du second degrd, les dwerses sections faites par des plans paraUHes entre eux sont des courbes semblables, dont les centres sont situis surle dia^ mitre qui se trowe conjugud avec celui de ces plans sicants qui passe par le centre de la surface. En effet, quelle que soit une de ces sections planes MM'M'^N, on pourra mener par le centre un plan BB'B''G qui lui soit parallele, et construire le diametre OA conjugud avec ce dernier plan. Alors toutes les sections ABD, AB'D, AB^'D,..., auront pour diam^res conjugues, deux k deux, OA et OB, OA et 0B% OA et OB" : done, les ordonnees MP, MP', MP,..., qui correspondent k la meme abscisse OP, seront proportionnelles aux diametres non communs OB, 0B% OB'",...; et, par cons^uent, ces droites, consid^r^es comme des rayons vecteurs parall^les menes dans les deux courbes MM'N et BB'G, satisferont k la condition genSrale de la similitude. D'ailleurs, comme le point est evidemment le centre de figure de la courbe BB'G, il en sera neeessairement de meme du point P par rapport k la courbe MM'N; ainsi les centres des sections parallfeles au plan diametral BB'C sont bien situis tons sur le diamfetre OA conjugu6 avec ce plan.

355. {Fig. 8 1.) Revenons au th^orfeme demontr^ n^ 353 pour les surfaces donees d^un centre; et afin de I'etendreaux surfaces qui en sont depourvues, e'esta-^ire aux deux paraboloides, modifions la demonstration de la maniere siiivante. Menons par le point donn6 Y une parallele YX' a Vaxe ou diam^tre princupal OX du paraboloide ; cette droite YAX' sera encore un diametre de la surface, et les divers plans secants men6s par ce diametre fourniront des sections paraboliques AME, AM'E', AM^'E''.... Gela pose, tirons k Tune d'elles la tangente YM, et par le point de contact M menons, parallelement au plan tangent du paraboloide en A, un plan MM'M'^N qui coupera les paraboles suivant des ordonnees MP, M'P, M'T,..., respectivement parallMes aux tangentes AT, AT^ AT'',..., de ces courbes. Alors, pour de telles ordonnees, on sait que la sous-tangente sera consCamment double de Tabscisse commune AP; par consequent, toutes les tang€$ntes en M, M', M"",..., aboutirontau mdme point Y, et formeront ainsi un cdne ciroonscrit qui

( * ) Dans le cas parUculier o(i la surface est une sphere, la courbe de contact du c6ne ciroonscrit deviant un petit cercle, perpendiculaire a la droite VO, qui r6unit le sommet V avec le cenlre de la sphere, D*ailleurs, cela se prouve directement, en faisant tourner autour de VO un grand cercle ( )t aa tangente men6e du point V,

Ceomeirie Lerojr. J ^a

tS4 LIVBE v. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT. •• n'eST PAS DONNl£.

touchera le paraboloide de long de la courbe plane MM'M"N, En outre, on voit f que le plan de cette courbe esiparalleleau plan tangent en A, lequel remplace ici le plan diametral conjugue avec VX'; car ce dernier serait k une distance infinie.

Dans Tellipsoide de la^f^. 80, le plan tangent en A 6tait aussi parallele a BB'B''G, et par suite k la courbe de contact MM'M"N; mais nous n'avons pas voulu employer alors ce plan tangent pour la demonstration, parce qu'il n*existerait plus dans les hyperboloides, si le diametre VO ne rencontrait pas la surface.

PROBLEME I. Troiwer la courbe de contact dune surface de rSvolution, avecun cdne circonscrit dont le sommet est donnd.

356. [Fig. 84-) Soient (0,rZ') Taxe de revolution que nous regarderons comme vertical, et (X'C'Y'D', CD) le meridien principal de la surface. Ici, cette courbe est une ellipse dont un diametre principal coincide avec Taxe de revolution ; mais la methode que nous allons exposer est tout a fait gen^rale, et applicable k un meridien quelcooque. Soit d'ailleurs (V,V') le point assign^ pour le sommet du c6ne circonscrit : la courbe X'M'Y', suivant laquelle il touchera Tel- Kpsoide, pent se determiner en construisant successivement les points qui se trouvent sur chaque paralltle de la surface, ou bien ceux qui sont situes sur les divers meridiens; ce qui va donner lieu k deux m^thodes, dont chacune suffit k elle seule pour tracer la courbe demand^e.

557. Mithode du parallSle. Soit (E'F, EMF) le parallMe choisi arbitrairement sur la surface de revolution que nous d^signerons par S : en substituant k celle-ci un c6ne droit engendr6 par la revolution de la tangente E'Z' autour de Taxe, il est evident que ce c6ne touchera la surface S tout le long du cercle E'F', et qu'ainsi tout plan tangent qui sera men6 k ce c6ne par le point (V, V) touchera S dans le point ou Tarete de contact rencontrera le cercle E'F'. Par consequent, ce point de rencontre appartiendra k la courbe demand^e X'M'Y', qui n'est autre chose (n^ 349) que le lieu des points de contact des divers plans tangents mends a la surface S, par k point {y,T).

358. La question est done r^duite k trouver un plan qui, partant du point (V, V), aille toucher le cdne Z'E'F' : car on y parviendrait (n^ 125) en joignant le sommet (Z',0) (*) avec (V, V), puis en cherchant le point oil cette droite irait couper le plan horizontal E'F', en menant enfin de ce dernier point des tangentes au cercle (ET',EMF). Mais camme le sommet (Z',0) peut se trouver, ainsi que cela arrive ici, place k une distance incommode, et que d'ailleurs le point d'oii partiraient les tangentes k la base du c6ne varierait aussi k mesure qu'on changerait de parallele, nous allons employer une marche qui obviera k ces deux inconv^nients. |

Adoptons pour base du c6ne droit le cercle (G'H',GPH), suivant lequel il est coup6 par le pkn horizontal V'G'H^ : alors cette nouvelle base eontenant dans son

(*) Les trois points d^ign^ par 1* dans notre ^pure sont cens^ repr^nter le point unique ou la tangente E'ZMrait couper Taxe vertical, point qui est le sommet du cdne droit, mais qui n'a pu se trouver ici renferm^ dans le cadre

€llAl»iTBK I. — I^LAlfS TANGEirni PAft VK POINT Bam&BIWE. 1 55

phm le point donn^ (Y, V), il deviendra inutile de recourir au sommet du cone, et il sufiira de mener les tangentes k la base actuelle par le point (¥,¥'). D'ailleurs, comme ce sont les points de contact qui seuls nous interessent, decrivons sur la droite VO, comme diamHre, une circonference qui coupe le cercle 6PH aux points P et Qy et les rayons OP et OQ seront 6videmment les projections horizontales des generatrices suivant lesquelles le c6ne droit sera touchy par les plans tangents mente de (VyV)- Done, en prolongeant ces rayons jusqu'au parallMe donne EMF les points M et N, que Ton projettera sur E'F' en M' et N', seront deux points qui appartiendront (n^ 357) a la courbe de contact de la surface S avec le c6ne circonscrit dont le sommet serait en (VyV).

359. Pour trouver les points de cette courbe qui seront sur un autre parallfele, on agira d'une mani^re toute semblable; et la mime circonference^ d^crite sur YO comme diambtre, servira pour toutes ces opirations^ puisque les tangentes a la base du nouveau c6ne droit devront encore partir du point (Y,Y'), Par exemple, si nous consid^rons le parallfele (E'^F", EMF) 6gal au pr^c^dent, il faudra tirer ia tangente WGT qui, en tournant autour de Taxe vertical, decrirait un c6ne droit dont la base, consider^e dans le plan horizontal Y'G', sera le cercle (G''H'*,G'^PH") : celui-ci 6tant coupd par la circonference YO en deux points F' et Q'', les rayons OP et OQ'^ sont les projections horizontales des aretes de contact du c6ne droit G"'E*'F*'H'^ avec les plans tangents qui lui seraient menes par le point {Y,Y'); puis, la rencontre de ces rayons avec le parallfele (EMF, E*'F*') fournira les points (M", M"), (N'% N'*) situ^s sur ce parallele, et appartenant k la courbe de contact de la surface S avec le cdne circonscrit qui a son sommet en (Y,Y').

360. {Fig. 840 M^^de du mSridien. Pour trouver les points de cette mdme courbe, qui sont situ6ssur un m^ridien quelconque «06, imaginons par tons les points de cette meridienne des droites perpendiculaires k son plan, et dont Ten* semble formera un cylindre horizontal, ^videmment circonscrit k la surface S le long de cette courbe meridienne. Alors, si par le point (Y, Y') nous menons k ce cylindre un plan tangent, ce dernier se trouvera aussi tangent k Tellipsoide dans le point oil il touchera la base du cylindre ; et, par consequent, ce point appartiendra k la courbe chercb^e, puisque celle-ci (n^ 349) est le lieu de tons les points de contact de I'eU lipsoide avec les plans tangents qui partiraient de (Y, Y').

Or, pour construire ce plan tangent au cylindre horizontal, il faut (n^ 116) tirer du point (Y, Y') une parallfele aux generatrices de cette surface, c'est-k-dire une droite (YP'', Y'H"^) perpendiculaire au plan vertical aOS qui contient la base du cylindre; puis, du point P, oil cette droite rencontre ce plan m^ridien, mener k cette base une ou plusieurs tangentes. Mais pour realiser cette dernifere operation, je rabats la meridienne a06 sur le plan vertical, ainsi que le point P; ce dernier se transporte ^videnlkment en (H'', H'^), et en tirantles tangentes H*'^', H"'F'*, j'obtiensles points de contact {<f\ y), (F*', F) sur la base du cylindre rabattue; done, en les ramenant par des arcs de cercle horizon taux dans le meridien primitif aOS» ils auront pour v^ri tables positions (ij;, ^') et (M", M*).

l56 UTU ▼. — PLAHS TUI€am BOUT LB FOIlinr... R^EST PAS Bomrf.

36i . Ce dernier point coincide avec un de ceux que nous avons obtenus par la wniAode du paralleled parce qu'ici le plan meridienOaS a ete cboisi de mani^rea renfermer le point (M% M') deja construit; ei nous avons adopte cette disposition, afin de montrer clairement que, si les deux methodes s'appuient sur des considerations tres-differentes, elles emploient du moins les mimes operations graphiques^ execuiees dans un ordre pricisement inverse^ comme on doit le voir ici pour le point (M''* M'). Au reste, quelle que soit la methode que Ton emploiera, il est des points particuliers qui s'obtiendront par un precede direct ; et nous recommandons de commences r execution de Vepure par la recherche de ces points remarquables.

362. Points sur les contours apparent. Quant a ceux qui seront situes sur I'equateur (CD\ CLD), il est clair que les plans qui toucheront Tellipsoide en ces points se tvoviyetoniverticaux^ et des lors leurs ir:tces horizon tales seront les tangentes YL et YK partant du point Y; d'ailleurs, les points de contact L et E se trouvant determines en projection horizontale, par la rencontre du cercle OLD avec la circonference dont YO est le diametre, il suffira de projeter L et K en L' et K' sur CD'. Observonsy en outre » que ces deux points, etant sur le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal, formeront les limites communes de Vart visible LMXK et de Varc invisible LM''YK sur cette projection; au surplus, le premier de ces arcs se distinguera aisement de I'autre, en examinantsi Tun de ses points (M, M') est plac6 au-dessus de Tequateur CD'.

De meme, pour les points situes sur le meridien principal (X'CY'D', CD), lefr plans tangents de Tellipsoide se trouveront (n^ 129) perpendiculaires au plan ver*tical; ainsi leurs traces passeront par le point Y' et seront les deux tangentes Y'X% Y'Y', dont les points (*) de contact X' et Y' devront fitre projetes en X et Y sur CD. D'ailleurs, comme ces deux points sent places sur le contour apparent de la surface par rapport au plan vertical, ils separeront I'aic visible X'M'Y' de rare invisible X'N'Y' sur cette projection; et Ton distinguera le premier de ces deux arcs, en examinant si Tun de ses points (M, M') est place en avant du plan vercical CD qui con* tient le meridien principal.

363. Points limites. Nous entendons par Ik les points oil la tangente de la courbe de contact se trowera horizontale^ et qui seront, par consequent, plus baut ou plus has que tons les points voisins. D'abord, cette circonstance ne pourra se rencon^ trer que dans le meridien YO qui passe par le sommet ( Y, Y') du cone circonscrit. En effet, la methode gen6rale qui a fourni (n^358) les points (M, M') et (N, N') montre evidemment que les divers points de la courbe sent, deux a deux, situdssut des cordes horizontales (MN, M'N') que le plan vertical yO dime chacune en deux parties egales; done, lorsqu'un de ces points correspondants se trouvera dans le plan vertical YO, I'autre s'y trouvera aussi, et, par suite, la corde relative a ces

(*) II suffira de mener ces tangenles avec une i^gle appuy^ gur le point V' et 8ur le meridien; mais, ensuite, il faudra fixer leurs points de contact avec pr^sion, en se servant des cordes suppltaentaires de leilipse m^diennne.

CHAPITHE I. — FLAWS TAHGBHTS PAR UlT POINT EXTEEIECR. 1 57

points ainsi confondus sera devenue tangente k la courbe, sans avoir cesse d'etre horizontale. Ainsi les points le plus haut et le plus has sont bien dans le meridian YO.

Maintenant, pour determiner ces points limites, j'obscrve que la droite qui joindrait Tun d'entre eux avee (V, V) serait necessairement tangente a la meridienne yO» puisqu'elle se trouverait a la fois dans le plan de cette courbe et dans le plan tangent de Tellipsoide. Done, si je rabats cette meridienne sur le plan vertical, ainsi que le point (V, V) qui sera transporte evidemment en V"; puis, si je mene la tangente VU' dont je determinerai exaccement le point de contact U' au moyen dc^j cordes supplementaires, il n'y aura plus qu'a projeter ce point U' en U, et a le ramener, par un arc de cercle horizontal, dans sa veritable position (R> R'). Ge $era la le point le plus has de la courbe, et la tangente horizontale U'R' indiquera le dernier des parallMes qui peuvent contenir des points de cette ligne.

Le point le plus haut (T, T') s'obtiendrait semblablement; mais nous n*avons pas voulu efTectuer la construction qui s'y rapporte, dans la crainte de jeter quelque confusion sur la figure.

364. Dans Texemple actuel, ou la surface de revolution est du second degre, la courbe de contact est necessairement p/lane (353), etici c'est une ellipse qui a pourun de sesoa^e^, dans Tespace, la droite (RT, R'T'), puisque les tangentes aux extremites de cette Ugne lui sont perpendiculaires, attendu qu'elles le sont au plan vertical VO (n® 363). II serait meme facile d'en conclure le deuxieme axe et les deux autres sommets, en faisant une section horizontale dans I'ellipsoide par le milieu de la droite (RT, R'T) ; et Ton doit observer que ces deux diametres princi-paux resteront les axes de la projection horizontale RLTK, parce que, Tun d'eux etant horizontal. Tangle compris entre leurs projections demeurera droit; tandis quesur le plan vertical, ces deux diametres ne seront plus perpendiculaires I'un k Tautre, et deviendront simplement deux diametres conjugues obliques de la courbe

365. Remarque. Si Ton se rappelle que toute surface de revolution pent etre consid^ree comme Venveloppe d*un cdne mobile (n^ 194) toujours circonscrit le long d'un parallele, ou bien encore comme Yemeloppe d'un cylindre mobile {n? 196) toujours circonscrit le long d'un m^ridien, on sentira que, dans les deux methodes employees n^ 357 et 360, nous avons eu pour but de substituer a la surface de revolution proposee, une enveloppee conique ou cylindrique, pour laquelle la construction du plan tangent mene du point ( V» Y) etait plus facile que pour la surface primitive. Or, comme les surfaces de revolution admettent aussi une enveloppee spherique [n^ 193) dont le rayon est la normale au meridien, il en resulte une troisifeme m^thode, moins avantageuse dans la pratique, mais qu'il est interessant de connaitre.

366. Troisieme mdthodepar une enveloppee spherique. {Fig. 84. ) Avec la normale E'ci>'du meridien, tra^ons un cercle qui, en tournant autour de Taxe vertical, engendrera une sphere evidemment tangente a la surface de revolution S tout le long du parallele ET'; puis, imaginons un cdne circonscrit a cette sphere, et ayant pour