I 58 LIVREV. — PLANS TANGENTS DONT LB POINT.. • N^EST PAS POITNE
sommet le point donne (V, V). La courbe de contact de ce cdne auxiliaire avee la sphere sera un petit cercle (n^ 353, note) dont le plan se trouvera perpendiculaire a la droite (V'w', VO); et comme dans les points ou ce petit cercle rencontrera le parallele ET^ les plans tangents de la sphere seront communs k la surface S, il s'ensuit que ces points appartiendront k la courbe cherchee X'M' Y'. Or^ si nous faisoDs tourner simultanement la sphere et son cone circonscritt autour de la verticale 0, jusqu'a ce que Taxe (V'w', VO) de celui-ci soit devenu parallele au plan vertical, le sommet (V, V) se transportera en V"; et en menant les tangentes V'Y> Ve^, le cercle de contact sur la sphere se trouvera alors projet^ suivant la corde y'<^. Dans cette situation, ce cercle de contact coupe le parallMe ET' en deux points places aux ex tremites de la corde projetee verticalement sur le points'; or, comme la distance de cette corde k Taxe de revolution ne changera pas quand nous ramenerons la sphere et le cone circonscrit dans leurs positions primitives, il est clair qu'en reportant par un arc de cercle le point ^ sur le meridien primitif VO en 6, et en tirant par ce dernier point une corde perpendiculaire a VO, les intersections de cette corde avec la parallfele EAIF fourniront les points demandes M et N, qu'il faudra ensuite projeter en M' et N' sur E'F'.
PROBLEME II. Par un point donnd, mener a une surface dt revoludon unplan tanr gent qui la touche sur un parallele donne.
367. 11 ne sera pas necessaire ici, comme nous I'avions annonc6 generalement ail n^ 351, de construire la courbe de contact de la surface avec un cone circonscrit; il suffira evidemment d'appliquer au parallele assigne par la question, la methode du n^357 ou celle du n^ 366, et Ton obtiendra directement les /wiia^ de contact des plans tangents demandes. Dfes lors ces plans seront faciles k construire (n" 132).
PROBLEME III. Parun point donne, mener a une surface de rd^olution unplan tangent qui la touche sur un mdridien donnS.
368. Ce problfeme se resoudra encore directement, en appliquant au mdridien assigne par la question, la methode expliqu^e au n^ 360. On connaitra ainsi les points de contact des plans tangents que Ton cherche, et ces plans seront alors faciles a determiner (n*^ 132).
PROBLEME IV. Trom^er la courbe de contact d' une surface QVEhCOJfiQiJR clu second degre, avec un cdne circonscrit dont le sommet est donne ^
} 369. [Fig. 85.) Prenonspour exemple un ellipsoide k trois axes in^gaux, et choisissons nos plans de projection /^oro^/e^ k deux des trois plans principaux de ce corps. Alors, les contours apparents de la surface seront les deux ellipses (ABDE, A'D') et (A'C'D'F', AD), qui auront cbacune deux axes communs avec TeHipsoide; et en d^signant par (V, V) le sommet du c6ne circonscrit, nous cher-
. cherons k determiner les points de la courbe de contact, qui se trouvent places sur une section horizon tale quelconque 6'H'. Cette section est une ellipse semblable a ABDE, et dont (G'jfl', GH) est un des diametres principaux; alors, si nous la regardens comme la base d'un cone auxiliaire qui aurait son sommet au point P, oil
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Taxe vertical de la surface est rencontr^ par la tangente G'T', ce cdne T'G'H' sera cirvonscnt ^ rellipsoide. En effet, toutes les sections faites dans la surface par des plans menes suivant la verticale (0, O'T'), seraient des ellipses qui auraient un axe cominuQ (0, CT'). D'ailleurs, pour tous les points de ces ellipses placees sur G'H^ Tabscifise O'V etant la in^n(ie» la sous-tangente serait aussi constamment egale k VT; par consequent, les tangentes k ces ellipses verticales aboutiraient toutes au point T% et formeraient bien le c6ne circonscrit T'G'H^ Gela pose, si nousmenons k ce cdne auxiliaire un plan tangent partant de (V, Y"), Tarete de contact rencontrera la base G'H^ en un point qui appartiendra k la eourbe demandee; car, en ce point* le plan tangent du c6ne auxiliaire touchera relljpsoide et passera d'ailleurs par le point (V, T), ce qui est le caract^redistinctif (n^349) de la eourbe de contact de la surface avec le cone circonscrit dont le sommet serait en (Y, Y').
370. Maintenant, pour mener du point (Y, Y') un plan tangent au cone T'G'H', et afin de n'avoir k operer que sur Tellipse principale ABDE, donnde immidiate da la question, je prolonge ce cone jusqu'au plan horizontal A^'D"", qui a ete choisi de manifere a couper cette surface suivant une ellipse egale k la precedente; puis, &el adoptant cette section ( A''D", ABDE) pour base du cone, et joignant le sommet avec le point (Y, Y'), je cherche la rencontre de cette droite (Y'T'R', YOR) avec le plan A''D''; et enfin, du point R je m^ne deux tangentes RP, RQ a Fellipse ABDE. Les points de contact de ces tangentes etant fixes avec precision (au moyen des cordes supplementaires), je tire les rayons OP, OQ, qui seront les projections horizontales des aretes de contact, et j'en conclus aisement leurs projections verticales T'F, T'Q\ Enfin, ces derni^res coupant Tellipse G'H'aux points M' et N', je les projette en M et N, et j'obtiens ainsi les deux points de la eourbe demandee, qui sent places sur la section horizontale G'H' de rellipsoide.
On aurait pu trouver directement les points M et N, en proj etant H' en H, et menant par ce dernier point des paralleles HM et HN aux cordes DP et DQ; car, dans deux ellipses semblables, telles que G'H' et A''D'', les rayons vecteurs OM et OP sont proportionnels aux demi^xes OH et OD.
371. Pour toute section horizontale autre que G'H', on operera d'une maniere analogue; mais s'il arrivaitque le sommet T' du cone auxiliaire fut a une distance incommode, on pourrait adopter pour base de ce cone la section K'L' faite par le plan horizontal mene du point ( Y, Y') ; et alors il suffirait dc concevoir, par ce dernier point, des tangentes k cette ellipse K'L'. Or ces droites, ainsi que leurs points de contact, sont tres-faciles a determiner par une construction directe, sans decrire la eourbe, et d^apres la seule connaissance des axes, qui sont ici proportionnels avec AD et BE, et dont Tun est K'L'. Cette construction se trouvera expliquee tout ii I'heure, dans un cas analogue (n"^ 374).
372. Points sur les contours apparents. On les determinera comme dans le probl^me precedent (n** 362), en menant les tangentes Y'X' et Y'Y' au contour apparent de rellipsoide sur le plan vertical, et projetant les points de contact X' et Y' en X et Y, sur AD. De meme, les tangentes Yx et Yj^au contour apparent sur le plan
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horizontal, fourniront deux points x tly qu'il faudra projeter en af ety sur A'ly. D'ailleurs, ces deux systemes de points indiqueront les extremity A,^ arcs visSbles sur les deux plans de projection.
373. [Fig. 85.) Les points limites, c'est-k-dire ceux oil la tangente de la courbe sera horizontale^ se trouveront necessairement situes dans le plan vertical VO. En
^ effet, il resulte evidemment de la construction generate qui a donne les points P * et Q, ou M et N, que les points de la courbe de contact sont deux k deux sur des cordes horizontales (MN, M'N'), coxn&t^mmeni paraUiles au diamStre conjugue de OR dans Tellipse ABDE; et, par suite, chacune de ces cordes est divisee en deux parties egales par le plan vertical VOR. Done, lorsqu'un de ces points correspondants se trouvera dans' le plan VOR, Tautre y sera pareillement; et la corde qui les reunissait sera devenue tangente a la courbe, sans avoir cess6 d'etre horizontale.
374. Maintenant, pour construire ces points dont la hauteur sera maximum ou minimum^ il suffira Evidemment de mener, par le point (Y, V), deux tangentes k la section produite dans Tellipsoide par le plan vertical YOR. Or cette section est une ellipse dont les demi-axes sont O'Q! et Oa; et si, en la faisant tourner autour de Taxe (0, O'Z'), nous la rabattons sur le plan vertical, ainsi que le point (Y, Y') qui se transportera en Y"", il s'agira de mener par ce dernier deux tangentes k une ellipse dont les demi-axes deviendront O'C et 0'a\ problfeme qui pent se resoudre sans tracer la courbe. En efTet, apr^s avoir construit les foyers f et <]; de cette ellipse, je decris un arc de cercle avec le rayon Y''^ et un second arc de cercle du point ^ comme centre, avec un rayon egal au grand axe de Tellipse; alors, ces deux circonf^rences se coupant aux points S et y, on sait [*) que la droite Y''(^, meneepar le milieu de Tare f S, est la tangente demand^e, et que son point de contact ^ est fourni par sa rencontre avec la droite <];S. Par consequent, il n'y aura plus qu'k ramener le point {^y i) dans le plan vertical YO, au moyen d'un arc de cercle horizontal, et Ton obtiendra ainsi le point (X, X') le plus has de la courbe de contact.
De meme, la seconde tangente a Tellipse precedente sera la droite Y''a> passant par le milieu de Tare 97, et sa rencontre avec ij^y determinera son point de contact (tt', tt), lequel ramene dans le plan vertical YO, deviendra le point (jx, /x') le plus baut de la courbe en question.
375. On pourrait encore construire, d'une maniere analogue, les deux points de cette courbe qui seraient places dans le plan Y'O', perpendiculaire au plan vertical; car la section produite dans Tellipsoide par ce plan secant Y'O' serait une ellipse dont les axes sont faciles a trouver : mais, pour ne pas rendre I'epure difficile k lire, nous laisserons au lecteur le soin de s'exercer a cette construction, qui est entierement semblable k la precedente.
376. Nous ferons observer, en terminant, que la methode employee ici pour un
(* ) Voyez^ dans les Traits de G^m^trie analytique, la m^hode graphique des Andens pour mener lea tangentes aux sections couiqucs.
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ellipsoide est ^galement applicable k un hyperboloide, ou meme a un parabolo'ide ayec les modifications legeres qu'am^nerait tout naturellement la nature des sections planes qui seraient faites dans ces surfaces.
