DES FLAMS TANGENTS PARALLELES A UNE DROITE DONN^E
377. {Fig. 80.) Soient S une surface quelconque, et VO la droite donn^e (ou bien une ligne parallele k la droite donnee, et menee par un point pris arbitrairement dans Tinterieur de S) : si, par la ligne .YO^ nous conduisons divers plans secants^ ils couperont la surface S suivant des courbes ABD, AB'D, AB^'D^..^ qui pourront toujours 6tre construites par les methodes generales du livre lY; et en menant a ces sections des tangentes BU, B'U', B"U",..., paralleles a YO, elles formeront un cylindre qui sera circonscrit a S, c'est-k-dire qui touchera cette surface tout le long de la courbe BB'B'^E. En effet, le plan tangent de S, relatif au point quelconque B"^, renfermera ^videmment TarSte B"U' du cylindre, ainsi que la tangente B^'t k la courbe BB'B'^.. qui lui sert de base; done ce plan sera aussi tangent au cylindre, et dhs lors cette derniere surface aura un veritable contact avec S au point B'', comme aussi tout le long de la ligne BB'B''E.
578. Cela pose, pour mener a la surface S unplan tangent qui soit parallele a une droite donnie YO, il sufiira de chercher la courbe de contact BB'E de cette surface avec un cylindre circonscrit parallele a YO, puis de construire le plan tangent de S pour un quelconque des points de cette ligne de contact ; car ce plan touchera necessairement le cylindre circonscrit, et par suite il renfermera une de ses aretes, qui sont toutes paralleles a YO; doiic lui-meme sera parallele a cette droite.
Reciproquement, tout plan parallele a YO et qui touchera la surface S en un certain point que j'appelle 6, contiendra necessairement une droite men^e parallelement a YO, par ce point h\ done cette derniere droite sera une arete du cylindre circonscrit, et son point de contact b devra, par consequent, se trouver sur la courbe BB'E, qui devient ainsi le lieu exclusif de toutes les solutions du probleme propose.
Ce problfeme sera done impossible, quand le cylindre circonscrit parallfelemeni k la droite donnie n'existera pas; ce qui arriverait, entre autres exemples, dans un paraboloide, si la droite proposee ^tait parallele k I'axe de la surface; car alors les sections ABD, AB'D,..., seraient des paraboles, lesquelles n'admettent pas de tangente parallele a leur diamfetre principal.
37t>. II resulte de ces principes que la question generale qui nous occupe est susceptible d'une infinite de solutions, ou bien elle n'en admetaucune. On doit seulement excepter le cas oil S est une surface developpahle^ parce qu'alors, d'aprte la remarque faite au n** 350, !e plan mobile qui cngendre une telle surface, et qui est
Gihm^trie Leroj, 21 1
l6a MVBS T. — FLAMS TAffGEllTS DOHT LB POntW..^ if EST FAS Wnmi.
en meme temps son plan tangent, se trouvera eompl^tement d^termin^ par la oondilioD nouvelle d'etre parallele a une droite donnee. C'est ce que nous avons dijk reoonnu pour les cylindres et pour les cones, dans le chapitre HI du livre II.
380. Le problfeme de mener a une surface S non developpable, un plan tangent parallele a une droite donnee, redeviendrait determine si Ton ajoutait la condition que ce plan dut avoir son point de contact sur unecourbe connue; parce qu'alors ce point serait fourni par la rencontre de cette courke avec la ligne de contact du cylindre circonscrit.
Quant a la construction de cette derniere ligne, qui est aussi fort utile dans la tkdorie des ombres^ la seule m^thode generale est celle que nous avons indiquee 11^377; mais nous donnerons bientot des precedes plus commodes pour certains genres de surfaces qui se rencontrent frequemment, apres que nous aurons fait qiiekques remarques sur ces lignes de contact dans les surfaces du second degrs.
381 . La courbe de contact d^un cylindre circonscrit a une swfaee du second degre est toujourg PLM^E^ etsitude dans le plan diamitrai qui se trowe conjugui as^ec Udia-metre parallele au cylindre.
En efTet, si I'on con^oitpar le centre de la surface du seoond degre S {fig. 8o), une droite YO parallMe k la direction du cylindre, les diverses sections ABD^ AB'D, AB'^D,..., produites par des plans menes suivant VO, seront des courbes da second degre qui auront toutes un diametre commun AOD ; or, en ceupamt ces courbes par le plan diametral BB'E, conjugu^ avec AD ( c'esi-k-dire le plan qui diviserait en deux parties ^gales chacune des cordes paralleles k AD), les intersections seront des droites OB, OB', OB*,..., qui se trouveront necessairement diametres conjugues as^ec OA, dans chacune des courbes correspondantes. Done, les tangentesBU^ B'U', B''U%..., que Ton menera a ces sections par les divers points B, B% B",...^ seront paralleles k OA, et formeront ainsi un cylindre circonscrit a la surface S, dont la ligne de contact BB'B"" sera plac^e tout entiere dans le plan diametral BB'E conjugue arecOAC).
Au reste, ce r^ltat important pent Stre regarde comme une consequence du tfi^r^me d6montr6 n^ 353, pour la ligne de contact d'une cone YMlVrN circonscrit k S; car, si le sommet V s'^loigne k Tinfini sur la droite OAV, i) est facile de voir que les divers points de contact M, M', M'%..., se tnuasporteront en B, B , B ,••••
382. [Fig. 82.) Pour ^tendrele th^orkme precedent aux deBx paraboloides qui sont depourvus de centre, imaginez, par Faxe principal OX de la surface, un plan EOF parallele k la direction assignee pour les generatrices du cylindre, el meofCZ dans cette direction une tangente YBU a la parabole EOF; alors, le plan diametraU qui coupera en deux parties egales toutes les cordes paralleles k YBU^ passera evi*
(^] Dans le cas particulier oii la surface propose est une sphere, la courbe de contact du cylindre cir* rmiscrit devieiit un grand cerck, perpendicuhtire a la direction VO des arfttes do cylindre; r^ultal (\m dt prouve directemeDt en faisaat toarner autour de VO un grand cercle et sa tongente paraMVo i cette dralsi
CBAPITRE II. — PLAITS TAMGBRTS PARALliSLfeS A CITB DBOITB. 1 63
d^tnment par ie point de contact B de cette tangente, et produira dans la surface une section parabolique BB'B^C. Cela pos^, toutes les droites W\]\ B"U",..., menses par les divers points de cette derni^re parabola^ parailelement a VBU» se trouverontnicessairement tangentes k la surface; sans quoi leurs parties int^rieures^ oncordes^ fie seraient plus couples en leurs milieux par te plan BBX qui est suppose diametral [ eteoDJugu^ avec VBU. Par consequent, toutes les droites BU, Wli\ B''U"i..m for^ ^ meront bien Ie cylindre circonscrit que Ton demandait, et Ton yoit que sa ligne de contact BB'B'^C avec la surface sera plane et toujours paraboUifue.
Un raisonnement semblable, fond6 sur la definition m^me du plan diametral, aurait pu 6tre employ^ dans Ie o^ 5S1 .
PROBLfilME I. Trower la courbe de contcict d'une surface de revotulion^ avec un cylindre circonscrit et parallele a une droite donnde.
583. [Fig. 86.) Soient (0, VV) I'axe de la surface de revolution, et (E'CE'^D', CD) Ie in6ridien principal, dont la forme particulibre n^aura point d'influence sur Ie succ^s de la methode. Soit d'ailleurs (AB, A'B') la droite k laquelle doit etre parallele Ie cylindre circonscrit : la courbe de contact ccfm'y' (*) de ce cylindre avec la surface proposee peut se construire en cherchant successivement les points qui sont situ^s sur chaque parallele, ou bien ceux qui se trouvent sur chaque meridien ; d'oti resultant les deux precedes suivants.
584. Mithode du parallele. Soit (E'P, E/nF) un parallfele choisi arbitrairement • sur la surface de revolution S; en substituant k celle-ci Ie cone droit engendre par la revolution de la tangente E'Z' du meridien, il est clair que ce c6ne touchera la surface tout Ie long du parallele E'F', et qu'ainsi tout plan tangent mene a ce cone, parailelement a ( AB, A'B'), touchera S dans Ie point oil I'arete de contact rencontrera Ie parallele E'F; done ce point appartiendra k la courbe demandee, dont la propriete caracteristique (n** 578) consiste en ce que, pourchacun de ces points, Ie plan tangent de la surface S se trouve parallele a (AB, A'B').
Nous sommes ainsi ramenes a conduire un plan tangent au cdne Z^E'F, paral-- Iblement h une droite donnee; mais pour ne pas etre obliges de recourir au souw met Z' de ce cone, qui pourrait se trouver k une distance incommode, et afin ' n'avoir k mener des tangentes que d'un meme point fixe, nous modifierons Ie p. • cede general du n^ 124, de la maniere suivante.
Imaginons que Ie cone droit Z'E'F' a ete transporte parailelement k lui-meme, ( avec Ie plan tangent demande, jusqu'a ce que son sommet soit venu se placer en un certain point 0' de Taxe vertical (0, I'Z'); dans ce mouvement, on sent bien que I'arete de contact aura conserve la meme projection horizontaie; et la trace horizontale du cone ainsi transporte s'obtiendra en tirant la droite OV parallele k Z'E', et en decrivant, avec un rayon Oe = IV, Ie cercle epf. Alors, pour mener k ce c6ne un
(*) Gomme Ie probl6me actuel a beaucoup d'aiialogie avec celui du n° 356, nous emploieroDS ici des tettres italiqiuis, afia qu*on aper^ive las parties analogues desyf^. 84 et 86, sans confondre cependani let deux co\iit)es qui ae trouveroat reprodiutes k U fois dans l'6pure 89.
:ti.
l64 UTBE V. -^ PLANS TANGENTS DONT LB POINT... N^EST PAS DONNlfi.
plan tangent parallele a (AB, A'B'), je tire dans cette direction ia droite {O'a'f Oa) qui vient percer le plan horizontal au point [a^a!) duquel devraient partir les tan«gentes au cercle epf: mais comme je n'ai besoin que des points de contact, je d^cris sur Oa, comme diametre, une circonference qui, par sa rencontre avec le cercle qif^ determinera ces points p et 9; et les rayons Op, Oq seront les projections horizontales des generatrices de contact des plans tangents que Ton cherchait. Maintenant, ces generatrices vont rencontrer le parallele ( EmF, E'F'), base du cone primitif, aux points [m^ m') et (n, n'); par consequent, ce sont Ik deux points de la courbe de contact de la surface de revolution avec le cylindre circonscrit.
385. Les points de cette courbe, situes sur un autre parallble, se construiront d'une maniere semblable, en transportant toujours au point 0' le sommet du cone droit circonscrit le long de ce parallele ; et par Ik, la circonfdrence decrite sur le diarmitre Oa servirapour toutes ces operations.
Mais il sera fort avantageux de chercher imm^diatement les points situes sur le parallele E'^F'' egal a E'F, surtout si le meridien se trouve, comme dans cet exemple, symetrique au-dessus et au*dessous du plan horizontal CD'; car alors il n'y aura aucunes nouvelles constructions graphiques a executor. En effet, si Ton congoit le cone Z'^E^'F' circonscrit le long du parallele ET^, il est evident que ses generatrices seront respectivement paralleles a celles du cone Z'E'F', desorte que, quand . nous le transporterons au point 0', suivant la regie precedente, il coincidera entibrementavec le coneO'e'/'; et toutes les operations ulterieures redevenant les memes que ci-dessus, nous en conclurons que les aretes de contact avec les plans tangents cherches, se trouvent encore projetees horizontalement sur les rayons 0/>, O9, qui, par leur rencontre avec le cercle EmF» fourniront aussi les points demandes. Toutefois, il y aura ici une petite modification ; car on devra prolonger ces rayons au delk de pour obtenir la veritable position des points cherches m" et n*\ que Ton projettera en nf et n"" sur le parallele E^F''; et la raison de cette difference - tient k ce que ce parallele etait situe sur la nappe superieure du cone Z*E'*'F', tandis que le cercle epf^ auquel nous menons les tangentes op et aq^ se trouve sur la nappe infirieure de ce cone transporte dans la position 0V/\
586. Methode du mdridien. [Fig. 86.) Si Ton veut obtenir les points de la courbe en question, qui seraient situes sur un meridien donne aO§, on imaginera par tous les points de cette meridienne des droites perpendiculaires k son plan, lesquelles formeront un cylindre horizontal evidemment circonscrit k la surface de revolution tout le long de cette meridienne. Alors, si Ton m^ne k ce cylindre auxiliaire un plan tangent parallele k (AB, A'B'), ce plan touchera la surface S dans le point oil il rencontrera la meridienne a§, base du cylindre ; et par consequent ce point appartiendra a la courbe cherchee, qui est (n^ 378) le lieu de tous les points de contact des plans tangents de S menes parallelement a la droite ( AB, A'B').
Pour construire ce plan tangent au cylindre auxiliaire qui est horizontal, je tire (n^ 117) la droite (Oa, O'a') parallele k (AB, A'B'), etdu pied (a, a') j'abaisse une perpendiculaire op sur le plan vertical aO€; alors, en joignant le point /» avec
€BAnTEB n. -— PLAHS TANGKIITB PARALlJsiJES A UIVB DftOm. 1 65
(0, 0'), j'aurais la direction suivant laquelle il faudrait mener une tangente k la meridienne aSf base du cylindre propose. Mais, pour pouvoir efTectuer cette operation, je rabats sur le plan vertical cette meridienne et la droite qui reunirait les points f7 et (0, 0') : par Ik, le point /?se transporte en {e^ ef) etla droite en question devient (Oe, OV); je mene done, parallelement a cette derniere, une tangente Z'E' au meridien principal, et le point de contact (E', E), etant ramen^ dans le meridien primitif Oa par un arc de cercle, fournira le point demande (m, mf).
Comme on pent mener au meridien principal une seconde tangente parallMe k OV, il existe un second point de contact (F^^, F) qui, ramene dans le meridien aOS, fournira un nouYcau point {m'\ nf) appartenant aussi k la courbe cherchee.
387. Nous retrouvons ici deux points que nous avons d^jk construits par I'autre m^thode, attendu que le meridien aO§ a et^ choisi de maniere k passer par ces memos points; et par Ik nous avons voulu manifester cette circonstance remarquable, que si les deux methodes sont fondees sur des considerations tr^s-difTerentes, elles emploient du moins les mimes operations graphiques ex^cutees dans un ordre prSci-^ sSment inverse. Mais, outre les points situes sur un parallele ou sur un meridien quelconque, il en est plusieurs qui s'obtiennent par des precedes directs, et nous recommandons au lecteur de commencer le trace de I'epure par la recherche de ces points remarquables.
388. {Fig. 86. ) Points sur les contours apparents. Pour les points de la courbe en question qui se trouveront sur I'equateur (CD', G/D), les plans tangents de la surface serontverticaux; ainsi les traces horizontales de ces plans seront desdroites paratleles k AB et tangentes au cercle C/D. Done, en tirant le diam^tre ^/perpendiculaire k AB, les extr^mites * et / que Ton projettera sur CD' en k' et /' fourniront les points demandes. D'ailleurs, Tare de courbe qui sera visible sur le plan horizontalf se terminera pr^cisement k ces deux points, puisqu'ils appartiennent au contour apparent de la surface par rapport k ce plan de projection; et cet arc visible Imnk se distinguera du reste de la courbe, en examinant si un de ses points (m, m') se trouve aur-dessus de Tequateur CD'.
Quant aux points de la courbe qui «eront places sur le contour apparent de la surface relativement au plan vertical, c'est-k-dire sur le meridien principal, on observera que les plans tangents correspondants se trouveront perpendiculaires au plan vertical; done leurs traces seront des droites paralleles a A'B' et tangentes k la meridienne E'CE'^. Ainsi, en menant ces tangentes, et determinant leurs points de contact a/ ety, que Ton projettera sur CD en a? ety, on obtiendra les points cherches, lesquels formeront aussi les extremites de Fare de courbe visible sur le plan vertical; cet arc sera ici afm'y, parce que Tun de ses points (m, m') se trouve plac6 en avant du plan vertical CD qui contient le meridien principal.
389. Les points limites^ c'est-k-dire ceux oil la tangente de la courbe sera horirzontale^ se trouveront necessairement situes dans le meridien Oa parallele k la droite donnee (AB, A'B'). En effet, il resulte evidemment de la construction generale qui a fourni les deux points (m, m') et (n, n') relatifs k un meme parallele, que ce plan
^G6 LIVW V. — M.ANS TAHGB1IT8 •OHT LB POIITr... N^fiST PAS WOOi*
v^tical Oa divise en deux parties Agates toutes les eordes qui lui sont perpeiidicu* laires, telles que (/nn, m!n') ; done, lorsqu'uu de ces points se trouvera dans le plaa meridian Oa, Tautre point correspondant devra s'y trouver pareillemeni, et la droite indefinie qui les reunissait sera devenue tangente k la eourbe sans avoir cesse d'etre horizontale.
Maintenant, pour construire ces points plaees surle m^ridienOa, j'observe que I'arete ducylindre circonscrit, qui passerait par Van d'eux, se trouverait necessairement tangente a la m^ridienne Oa, puisqu'elle serait dans son plan; par consequent, il suffira de mener des tangentes a cette m^idienne, parallelement k la droite (AB, A'B'). A cet effet, je rabats sur le plan vertical le meridiem Oa et la droite (Oa, O'a') deja parallele k (AB, A'B'): cette droite rabattue devient O'o", et en tirantdans cette direction uiie tangente au mmdien principal, le point de contact u' se projette en u; puis, lorsqu'on ramenera ce point dansle meridien primiiif Oa, il prendra la position (r, /), qui est le point leplus bos de la eourbe. Le point le plus haut {t, t) s'obtiendra d'une maniere semblable, en menant au meridien prin*^ cipal une seconde tangente parallele k O'a''; mais dans Texempi^ aetuel, ou Ib meridien est une ellipse, on sait que les deux points de contact de ces langentes paralleles seraient sur un meme diamfetre dont le milieu 0' restera immobile quand on fera tourner le meridien autour de Taxe vertical ; par consequent, les deux points (r, f) et (/, t!) devront encore se trouver sur un diametre de la surface, et ce dernier point pourra se d^duire de I'autre.
390. Cette relation et la dependance analogue qui existe manifesteifieni ici entro les points (/n, m') et [m'\ m!"), (n, n') et {n*', n**) ,..., som une suite n^essa^re dii tbeorfeme demontre au n^ 381, d'apres lequel on a vu que, quaftd la surf^pe ^at da second degre, la eourbe de contact d'un cylindre circonscrit est tout entiere dans Le plan diametralconjugue avec le diametre (Oa, O'a'), d'oii il resulte evidemmept que le centre (0, 0') de la surface du second degre doit etre aussi le cenirede k^ eourbe de contact. On peut encore observer que les deux axes de 4)ette eourbe dans I'espace sont les diametres {kl, k'V) et (/t, ft'), puisqu^ les tangentes Q^eesauiL extremites de chacun d'eux lui sont perpendiculaires (n^ 389). Puis, conune upde ces deux axes est horizontal, ils continueront d'etre les diametres principauoo de l^ eourbe en projection horizontale; mais il n'en sera pas de nieme sur le plap v^rti-* cal, oil ils deviennent simplement diametres conjuguds obliques.
391. Troisieme methode, par une envehppee sph^ique. {Fig. 86.) D'gpres Le3 remarques faitesau n^ 365, nous pouvons obtenir les points de la eourbe prece^ delate, qui sont situes sur un parallele donne ET', en substituant k la surface de revolution S une sphere qui lui soit circonscrite le long de ce parallele, et dont le rayon sera la normale F<^' au point F' du meridien principal. En eilfet, imaginons un cylindre aua7(Aa£re circonscrit k cette sphere, et parallele k (AB, A'B') ; H eourbe de contact sera ici un grand cercle perpendiculaire k cette (jiroite (n** 381, note), .^> comme dans les points oil ce grand cercle rencontrera le parallele E'F, les plans tangents de la sphere seront communs a la surface S, il s'ensuit que ces points appar-
CBAPITIIE II. — PLAHS TANGENTS PARAfXilLES A UNE imOITR. 167
tiendront a la courbe demandee, dont le caractere consiste en ce que chaque plan tangent de S se trouve parallele a (AB, A'B'). Or, si nous faisons tourner autour de la verticale la sphere et le cylindre circonscrit, ainsi que la droite (Oa, O'a') qui indique la direction des aretes de ce cylindre, jusqu'a ce que cette derniere droite »oit venue dans la position OV parallele au plan vertical, alors le grand cercle de contact sot la sphere se trouvera projete suivant le diametre yw'c^ perpendiculaire ^ (ytf; et, dans eette situation, ce grand cercle coupera le parallele E'F' en deux points pkc^s aux extremites de la corde horizontale projetee en e'. Mais cette corde ne changera pas de distance par rapport a Taxe vertical 0, quand nous rameneroAs le sysrt^me dans Petat primitif ; par consequent, si Ton rapporte, par un arc de cercle, le point e' en t sur le meridien Oa, et que Ton lire la corde men perpendicohiire k Oa, les points m et n, oil cette corde rencontrera le parallele E/nF, seront les points demandes qu'il faudra ensuite projeter sur E'F', en m' et n\
PROBLEME II. Mener & une surface de rSvolution unplan tangent parallele a urie droite aonnSe^ et dont le point de contact se trouve surunparallile connu.
392. II ne sera pas necessaire ici, comme nous Tavions indiqu6 g6nera!enieni au n** 380, de consfruire la courbe de contact de la surface de revolution avec un cylindre circonscrit, dont les aretes seraient parallelesa la droite donnee; inais il suffira d'appliquet" imm^diatement au parallfele assign^ par la question, la m6thode du n"* 584 ou celle du n® 391, ce qui fera connaitre le point de contact du plan demand^; aprfes quoi, la construction de ce plan deviendra bien facile.
PROBLEME III. Mener a une surface de revolution un plan tangent parallele a une droite donnie^ et dont le point de contact se trouve sur un meridien connu.
393. On resoudra encore directement ce probleme, en appliquant au meridien donne par la question la no^thode expos6e n^ 386; car elle fera connaitre immediatement le point de contact du plan tangent cherche, ce qui suffira pour construire ce plan.
PROBLEME IV. Construire la courbe de contact d'une surface QUELCONQUE du second degrS^ avec un cylindre circonscrit parallelement a une droite donnee,
394. En disposantles donnees de la question comme dans T^pure 85 relative au problfeme du n^ 369, on substituera d'abord a Tellipsoide un cone circonscrit le long d'une section horizontale G'H'; puis, on menera k ce c6ne T'G'H' un plan tangent parallele a la droite donnee, au lieu de le faire passer par le point (V, V). On sait qu'a cet effet il faudra tirer par le sommet T' une parallele a la droite assignee pap la question, puis chercher le point de rencontre de cette parallele avec le plan A"D* que Ton adoptera encore pour base du cone; et ce sera par ce point qu'il faudra mener des tangentes a Tellipse ABDE. A cela pres de cette modification, les operations graphiques seront les memes que dans le n"" 569 deja cite; c'est pourqnoi nous laisserons au lecteur le soin d'executer les constructions, qui d'ailleurs seront applicables, d'une maniere analogue, a toute autre surface du second degre.
1 68 UVIUS V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT. . . N^EST PAS DOHxN£.
