CHAPITRE III

DES PLANS TANGENTS MENl^S PAR UNE DROITE DONN^.

395. {Fig. 83.) Pour resoudre generalement ce problfeme par rapport a une surface quelconque S» qu'il faut supposer non d^eloppable^ puisque autrement la question serait impossible (n^ SSO), imaginons un cone circonscrit a S et dont le sommet Y soit place arbitrairement sur la droite donnee AB ; puis determinons, par quelqu'une des methodes exposees precedemment, la courbe de contact XXY de ce cone avec la surface S. Cette courbe etant (n^ 349) kUeu des points de contact ck torn les plans tangents de S qui vont passer sur le point M, elle contiendra necessairement le point de contact X du plan tangent mene par AYB ; et si Ton construit de meme la courbe de contact X'XY' d'un second cone circonscrit a S^ et ayant aussi son sommet Y' sur AB, cette courbe devra encore passer par le point cherch^ X. Done ce point sera fourni par Tintersection des deux lignes XXY et X'XY'.

Reciproquement, tout point X ou fji, qui sera commun a ces deux courbes, satisfera aux conditions du probleme, car, des lors que le point jx se trouve sur XY, le plan tangent de S en jx passera par le point Y; puis, a cause que ce point fi se trouve sur X' Y', ce meme plan tangent passera par Y' : d'ou Ton doit conclure qu'il renfermera la droite donnee AB.

396. On pent aussi combiner la courbe XXY avec la ligne de contact ^Xv d'un cylindre circonscrit a S, parallelement a la droite AB. En effet, cette dernifere ligne est le lieu des points de contact de tous les points tangents de S, qui sont paraUiles a AB (n^ 378); et comme le plan cherche satisfait a cette condition, son point de contact X devra se trouver encore sur la courbe x\y. Reciproquement, pour tout point commun aux courbes ooXy et XXY, le plan tangent de Ssatisfera aux deux conditions suivantes : i'' d'etre parallele a AB; 2"^ de passer par le point Y : doncce plan renfermera bien la droite AYB.

397. On peut encore n'employer que le seul c6ne YXY, circonscrit k la surface S; car, en menant a ce cone un plan tangent par la droite AYB, on aura evidemment une solution de la question. Au reste, quand les courbes ary, XY, X'Y' ne se rencontreront pas, le probleme de mener un plan tangent a la surface S par la droite donnee AB, deviendra impossible; et Ton sent bien ^ pnbn que cela doit arriver pour certaines positions de cette droite.

398. Remarques. Lorsque la surface propos^e S est du second degre, on sait (n** 553) que toutes les courbes de contact XY, X'Y', X"Y",..., des cones circonscrits dont les sommets se trouvent sur AB sont planes;, par consequent, les plans de ces courbes ont alors pour intersection commune la corde Xjx, qui reunit les points de contact des deux plans tangents menes par AB a la surface S. II est d'ailleurs facile de voir que cette corde est conjugate avec le plan diametral qui passe* rait par AB.

399. En outre, quand la droite AB sc trouvera situee dans un plan principal