CHAPITRE III. — - PLANS TANGENTS MESis PAR CNE DEOITE

de la surface S, que nous appellerons horizontal pour simplifier le langage, les plans des courbes XY, X'Y'^ X''Y",..., qui sont (n*' 553) respectivement paralleles aux plans diam^traux conjugues avec les droites VO, V'O', V"0", seront tous ver^ 4icaux, et par suite les courbes XY, X'Y',..., se projetteront suivant des droites qui passeront toutes par le point ouse projettera la corde Xjx; puis, comme d'ailleurs les cones circonscrits k la surface S se projetteront eux-memes suivant des couples de tangentes a la section principale, on pent en conclure ce theoreme remarquable de geometric plane : Si Von fait mowoir sur une droits AB le sommet V d'un angle variable XVY dont les cdtds demeurent tangents a une courbe du second degri, les cordes quijoindront deux a deux les points de contact de ces tangentes cor-respondantes se rencontreront toutes en un point unique ^ lequel sera situe sur le diamitre conjuguia^ec la droite AB, Cette dernifere circonstance resulte de ce que la corde X|x 86 trouvait dansle plan x\y^ qui est lui-meme (n^ 381) le plan diametral conjugue avec AB.

400. En revenant au probleme general qui fait Tobjet de ce chapitre, on voit que la solution exigera ordinairement le trace des courbes de contact de deux cdnes, ou bien d'un cdne et d'un cylindre, circonscrits k la surface proposee S; mais, dans plusieurs cas, cette marche pourra etre simplifiee par des considerations particulieres que nous allons exposer sur divers exemples.

> PROBLEME I. Par une droite donnde^ menerun plan tangent a une sphere.

401. [Fig. 87.) Faisons passer nos deux plans de projection par le centre de la sphere donnee; alors les sections produites par ces plans, et qui formeraient les contours apparents de la surface, se trouveront rabattues suivant un cercle unique EE'FT, decrit du point avecle rayon meme de la sphere. Soit d'ailleurs (AB, A'B') la droite donnee; en imaginant un cone circonscrit a la sphere, et dont le sommet soit en un point quelconque de cette droite, il suffira evidemment de mener a ce cdne un plan tangent qui passe par (AB, B'A'), pour obtenir la solution du probleme propose; car ce plan renfermera une generatrice du cone circonscrit et une tangente a sa base, qui sont deux droites tangentes a la sphere; et dbs lors il sera lui-meme tangent k cette derniere surface.

Choisissons pour sommet de ce cone circonscrit le point (A, A'), oil la droite donnee vient percer le plan horizontal. Alors, en menant les tangentes AE et AF au grand cercle horizontal de la sphere, cette surface sera touchee par le cone EAF suivant un petit cercle perpendiculaire k la ligne AO [note du n® 355) ; par consequent, ce petit cercle sera vertical et projete sur son diametre EF; puis, comme le plan vertical EF va rencontrer la droite donnee au point (R> R'), c'est de ce point qu'il faut (n^ 123) mener des tangentes k la base du cone. A cet efTet, je rabats le cercle vertical EF sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de son diamfetreEF, et ce cercle devientETF; mais, par suite de ce mouvement, le point (R^ R'), dont la plus courte distance k la charniere EF etait la verticale (R, R'G), se transportera perpendiculairement k cette charniere, k une distance RR'' = R'G; done les tangentes R"S et R"T feront connaitre, en rabattement, les

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