CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS MEN^S PAR UNE DROITE. I7I

deux points de contact des plans tangents demandes, on pent eviter de tracer une nouvelle circonference, en cherchant la rencontre de cette corde (EF, ET') avec le grand cercle qui la contient. Le plan de ce dernier aura pour trace horizontale OK; et, en le rabattant autour de cette droite, ce grand cercle se confondra avec le contour de la sphere. Quant a la corde (EF, E'F'), emportee par le meme mouvement, elle passera toujours par le point K qui, etant sur la charniere, demeure immobile; tandis quele point (L, L') de cette corde decrira un arc de cercle dont le rayon sera la perpendiculaire abaissee de ce point sur OK. Or, si Ton tire LM a angle droit sur OK, il est facile de voir que le rayon en question aboutira en M, et se trouvera Tbypot^nuse d*un triangle rectangle ay ant pour cotes LM et LL'; si done on construitce triangle NLM, et que Ton prolonge LM d'une quantite Mr = MN, le point r sera la position que prendra (L, L') apres le rabattement de la corde, ei, par consequent, cette droite deviendra K/". Alors les points P et Q, ou cette derniere lignecoupera le contour de la sphere, seront les points cherches qu'il faudra ensuite ramener, par des perpendiculaires a la charniere OK, en X et ]x sur EF; puis, enfin, on projettera ces derniers points sur ET' en X' et/x'.

405. QuatriememSthode. {Fig.SS.) Dans cette methode, qui deviendrait necessaire si les deux traces de la droite donnee etaient placees a des distances trop considerables, on regarde comme construits les deux plans tangents menes a la sphere par la droite (AB, A'B'); puis, en les coupant par un plan conduit suivant les rayons qui aboutissent aux points de contact, il est clair qu'on aura pour sections deux droites tangentes au grand cercle contenu dans ce plan secant, et que la connaissance de ces tangentes suffira pour determiner les points de contact cherches. Or il est aise de construire ces tangentes, parce que le plan secant dont nous par- Ions, passant par deux rayons respectivement perpendiculaires aux plans tangents, se trouvera lui-meme perpendiculaire a ces deux-ci, et, par consequent, il le sera k leur intersection (AB, A'B'); ainsi ses traces seront les droites OC et OD' menees a angle droit sur AB et A'B'. D'ailleurs ce plan COD' coupera la droite (AB, A'B'} en un point (R, R') que Ton sait construire (n** 50), et d'oii il faudra mener des tangentes au grand cercle (*) suivant lequel la sphfere est couple par ce meme plan COD'. Pour cela, rabattonsce plan autour de sa trace horizontale OC : le grand cercle en question viendra se confondre avec le contour de la sphere; le point (R, R') decrira autour de la charniere OC un arc, dont le rayon sera la perpendiculaire (RC, R'C) abaiss6e sur cette droite : done, en construisant la vraie grandeur CH de ce rayon, et la rabattant de C en R", ce dernier point sera la position nouvelle de (R, R'), et les tangentes cherch6es seront rabattues suivant R"P et R"Q.

Maintenant, voyons ce que deviennent les points de contact P et Q, lorsqu'on ramene ces tangentes dans le plan COD'. La premiere, R"P, rencontrait la char-

(*) Ce grand cercle nVst autre chose que la courbe de coutactdela sphere avec un cylindre circonscrit et parallele a la droile (AB, A'B') : de sorte que, pour tous les points de celte circonf^ence, les plans taugenls de la sph6re sont parallel es k la droite donn^

1^2 LIYBE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'BST PAS DONNlfi*

oiere OG en un point Y qui restera immobile; ainsi cette droitesera projetee horizontalement sur RV, et, par suite, sa projection verticale sur R'V : done, en ramenant, par une perpendiculaire a OC, le point P en X sur RV, puis en projetantX en X' sur R'V, on obtiendra la vraie situation du point de contact (X, X') du premier plan tangent a la sphere.

Quant a la tangente rabattue suivantR^Q, elle va couper ici la charnifere OC a une distance trop considerable pour qu'on puisse tirer parti de ce point immobile. Mais pour y suppleer, j'observe que PQ represente le rabattement de la corde qui unirait lesdeux points de contact des plans tangents; et comme cette corde rencontre la charniere OC au point (K, K'), elle a necessairement pour projections KX et K'X'. Done, en ramenant, par une perpendiculaire a OC, le point Q en /x sur KX, puis projetant fx. en /x' sur K'X', on obtiendra le point de contact (fi, fi') du second plan tangent a la sphere. On pourrait d'ailleurs s'appuyer aussi sur cette consideration, que la corde (Xjx, X'jx') doit evidemment se trouver perpendiculaire au plan AOB qui passerait par le centre de la sphere et par la droite donnee ( AB, A'B').

PROBLEMS II • Par une droite donnde, mener un plan tangent a une surface de rivolution dont le mdridien quelconque est connu.

406. [Fig. 89.) Soient (0,rZ') I'axe de revolution, (X'CY'D',CD) le meridien principal de la surface, et (AB, A'B') la droite par laquelle il faut conduire le plan tangent demande. Nous emploierons ici la m^thode generale indiquee aux n** 395 , 396, et consequemment nous chercherons :

I® La courbe de contact (XKYRL, X'K'Y'R'L') de la surface proposee avec un cone circonscrit dont le sommet (V, V) est pris k volonte sur la droite (AB, A'B'); cette courbe se construira par les moyens employes pour le probleme du n^ 356, et nous avons eu soin de conserver ici les mSmes lettres qui avaient servi dans I'epure 84, relative k ce probleme isol6 : de sorte que les explications anterieures s'appliqueront litteralement a Tepure actuelle;

2® La courbe de contact [xtlyr^ (xff V y r') de la surface proposee avec un cylindre circonscrit parallelement k (AB, A'B'), laquelle courbe se construira aussi par les moyens employes pour resoudre le probleme du n® 383, sur Tepure 86, dont les notations ont ete conservees dans Tepure actuelle.

Maintenant, examinons si ces deux courbes de contact se coupent quelque part, et, pour trouver leurs points de section, gardons-nous de combiner, sur un meme plan de projection, une branche phine ou visible, avec une branche ponctuie ou invisible; car de telles branches, n'etant pas situees sur la meme nappe de la sur-^ • face, ne sauraient se rencontrer. Nous voyons ici que les courbes se coupent en deux points (X, X',) et (fi, fx.') , dont les projections horizontales et verticales doivent d'ailleurs, pour chacun d'eux, etre placees sur une meme perpendiculaire a la ligne dc terre; alors, d'apres les raisonnements developpes aux n^ 395 et 396, ce sent la les points de contact de la surface de revolution avec les plans tangents qui pa&seraient par (AB, A'B'), et, une fois ces points connus, il sera bien facile de con<struirct par divers moyens^ les traces des plans. Nous ferons seulement observer

CHAPITUS in. — PLAHS TANQBRTS WEXts PAR UlffB DEOITE. I 'jZ

que les traces horizontales devront passer par le pied A de la droite, et ^tre perpendiculaires aux projections OX et 0/jl des Donnales relatives aux deux points de contact trouves.

407. Cos particuUers. Si la droite donn^e etait verticale, il suffirait ^videmment de mener par son pied deux tangentes k la projection horizontale de Tequateur.

Si cette droite etait horizontale, on m^nerait un plan meridien qui lui fut perpendiculaire, et, du point ou il la rencontrerait, on tirerait deux tangentes k la meridienne contenue dans ce plan; operation facile k executor, quand on aurait rabattu ce point et la meridienne en question sur le plan vertical, comme on Ta fait au n« 360 pour le point F de Tepure 84.

408. DeuxUme mdihode. Lorsque la surface de revolution sera du second degri, il y aura beaucoup d'avantage k employer, comme au n^ 395, deux c6nes circonsents dont on placera les sommets aux deux points oil la droite donn^e rencontrera le plan de Tequateur et le plan du meridien principal ; parce qu*alors, d'apres le theoreme demontre n^ 355, chacune des courbes de contact sera projetee suivant une droite sur un des deux plans de projection : et il n'y aura k construire dans toute Tepure qu'im^ seuk courbe, ainsi que nous Texpliquerons en detail dans le problfeme analogue etplus gdndrcd qxxi sera traiteau n^ 417.

409. Troisiime mdthode. En supposant encore que la surface de revolution soit du second degri y on pourra n'employer qu'un seul des deux c6nes circonscrits dont nous venous de parler ; car, comme la courbe de contact sera (n^ 353) tout entifere dansun plan perpendiculaire au plan horizontal (ou au plan vertical), il suflira de mener a cette courbe deux tangentes par le point ou son plan rencontrera la droite donnee (*). D'ailleurs on a vu (n^ 374) combien il etait facile de construire ces tan* gentes avec leurs points de contact, sans tracer la courbe du second degre en question, mais en connaissant seulement ses deux axes; or Tun de ceux-ci s'obtiendra imm^diatement en menant par le sommet du c6ne circonscrit deux tangentes a Tequateur (ou au meridien principal) , et le second axe s'en d^duira d'une mani^re bien facile k imaginer {voyez n^ 418).

Nous engageons le lecteur k appliquer cette methode k un ellipsoide de revolution; maisici, pour varier les exemples, nous aliens en faire Tapplication a un hyperboloide gauche de revolution, defini par sa gen^ratrice rectiligne, et non par sa meridienne.

PROBLEME III. Par une droite donnSe, mener unplan tangent it un kyperboloide gauche de rA^olution.

410. Soient (0, CO'') Taxe vertical de la surface, et (ADB, A'D'A'') {/ig. 90) la droite mobile qui, en tournant autour de cet axe, engendre (n^ 140) Thyperboloide que nous supposons termine aux deux sections horizontales A' B' et A'^B'", egalement eioignees du cercle de gorge. Nous n'executerons pas la representation

{*) Cette marche est analogue i celle qui nous a servi pour la sphere, au n* 401.

174 UVBE Y. — PLANTS TANCiEXTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONn£«

de la surface sur le plan vertical, puisque cela conduirait k tracer rhyperbole meridienne dont nous voulons ^viterl'emploi; mais sur leplan horizontal, nousregarderons la surface comme reellement projetee, et en consequence nous ponctuerons les parties de lignes principales qui seront au-dessous de la nappe siiperieure.

411. Maintenant, soit (a€, a!&) la droite par laquelle il s'agit de iheoer un plan tangent; si du point (V, V) , oil elle perce !e plan horizontal du cercle de gorge, on imagine un cone circonscrit dont deux des aretes seront evidcmment les tangentesVX et VY, ce cone touchera I'hyperboloide suivant une (iiourbe situee tout €ntifere{n®355) dans le plan vertical XY, et qui, par consequent, sera une hyperbole ay ant pour axe reel la corde XY. Done, en menant deux tangentes a cettc courbe par le point (R, R'), ou son plan va eouper la droite (aV6, a'V'S'), on obtiendra les points de contact des plans tangents a rhyperboloide.

412. Pour construire ces tangentes, il faut d'abord faire tourner autour de Taxe (X, O'O") le plan vertical XY, jusqu*a ce qu'il prenne la position xy, paral*!* leie au meridian principal, et alors le point (R, R^) se transported en (r, r'). Dans cette situation, I'hyperbole contenue dans le plan vertical xy est semblable & la meridienne principale de la surface^ et a comme elle, pour projectiions de ses asymptotes, les droites A'D' et B'D'; de la, et au moyen de Taxereel a/y, on d6duit aisement les deux foyers 9 et i{/. Cela pose, pour meuer des tangentes ,k cette hyperbole par le point r' (^) , je decris un arc de cercle avec la distance r'cf poMi* rayon, et un autre arc dont le centre soit en ^ at le rayon egal ^a^y \ puis» en tirant la droite r' V par le milieu de Tare 97, j^obUens Tune ^^s tangentes cherchees, et son point de contact V sera determine par sa rencontre avec la 4r/oite ^jiy, De meme, Tautre tangente sera la droite r'm' men^e par le milieu de Tare (f^y et la ligne ^i prolongee d^terminera le point de contact rn! de cette secpnde tangente.

A present, il ne reste phis qu'a projeter les points /' et m' en / et m sur xy^ pui^ a ramener ces points dans le plan vertical primitif XY, en (X^ X') et (^, [l'). €e sont la les points de contact de rhyperboloide avec les deux plans tangents me^espar U droite (aS, a'^') ; et leurs traces aBa A2 et aAaB, sont faciles a construire aviiec C6$ seules donnees*

413. Mais comme, dans rhyperboloide gauche, nous savons que chaque plaii tangent doit renfermer deux generatrices rectilignes de la surface, lesquelles . s^e coupent au point de contact, on pourra mener par les points X et jx quatre tangentes au cercle de gorge, savoir XA2, XB^, jxA,, /xBg, lesquelles fourniront, par leurs rencontres avec la trace horizontale de la surface, quatre points appartenant aux traces des plans tangents. D'ailleurs les deux generatrices XAa et jxBa, faisant partie Tune du systeme (AD, A'D'), Tautre du systeme (BD, B'D'), iront n^cessairement se eouper (n** 144) en un point qui devra evidemment se trouver sur la droite (a§, a' 6'); et ce point (6,6') sera precisement celui ou cette droite perce C hyperbo-^

( * ) Voyez^ dans les Trait6s des secUons coniqueg, la methode des Anciens pour mener des tangentes i ces courbes.

C0APITRE m.— PLANS TANGB9ITS UKN^S PAH UXB DROITS. I'j5

Ifiide. II y aurait aussi ua second point de section qui serait fourni par la rencontre des generatrices XB^ et jxA,.

414. Observation. Si le point (V, V), oil la droite donn6e (aS, a'S') perce le plan horizontal du eercle de gorge, se trouvait en dedans de ce cerck, on ne pourrait plus mener les tangentes VX, VY; et cela indiquerait que la courbe de contact de Thyperboloide avec le cone circonscrit qui a son sommet en (V, V') change de position, et devient une hyperbole dont Vaxe reel est vertical, et dont le plan est toujours perpendiculaire k I'horizontale YO. Dans ee cas,- on menerait du point (Y,. Y') deux tangentes a la roeridienne situee dans le plan VO, et la corde comprise entreleurs points de contact serait Taxe reel cherche; ensuite, le reste des constructions s^effectuerait d'une maniere analogue a ce qui a ete fait dans le premier cas.

415. Autre solution. {Fig. 90.) Les remarques faites au n® 413 fournissent une methodfe fort simple et applicable a toutes les positions de la droite donnee. En effet, si, apres avoir construit, par le proc6de du n*^ 284^ les points d'intersection de la droite (a§, a'S') avec Thyperboloide, on mene par Tun d'eux (s, s') des tangentes 6A2, eBj-au eercle de gorge, ces generatrices, combinees tour a tour avec (a&, a'S'), determineront immediatement les deux plans tangents demandes, qui auront pour traces horizontales aX^ et aB,. Quant aux points de contact, ils ^eront fournis par les deux autres generatrices partant des points B2 et A, (*)•

416. II resulte de la que, si la droite donnee ne coupait pas Thyperboloide quelque part, il serait impossible de mener par cette droite un plan tangent a la surface; condition qui est evidente a priori^ puisque tout plan tangent devant renfermer ici deux generatrices qui se coupent, il y en aiira au moins une qui rencontrera la droite (aS, a' 6') situee par hypo these dans ce plan tangent. Seulement, ce point de rencontre s'eloignera a Tinfini, dans le cas tout particulier oil ces deux generatrices et la droite (aS, a'§') se trouveront paralleles toutes trois ; mais alors la position du plan tangent n'en deviendra que plus facile a assignor, puisqu'il sera evidemment (n** 280) tangent au cone asymptote.

PROBLEME IV. Par une droite donnee^ mener un plan tangent a une surfojce QUELCONQUE du second degre.

417. {Fig. 91.) Prenons pour exempleun ellipsoide rapporte k deux plans de projection, dont chacun soit parallele a un plan principal de la surface; celle-ci aura pour contours apparents les ellipses /?nncy?afe5 (ABDE, A'D') et( A'C'D'F', AD) qui ont chacune deux axes communs avec Tellipsoide. Soit d'ailleurs (RS, R'S') la droite donnee; les points de contact des plans tangents menes par cette droile seront fournis (n**59r>) paries intersections des courbes de contact de deux cones circonscrits arellipso'ide, et ayant leurs sommets situesoii Ton voudra sur la droite donnee; mais, pour simpiifier la construction de ces courbes, plaQonsles sommets

(*) Une solution seoiblable peut 6tre appliqu^e k riiyperboloide & una nappe et nun de r^volutioa. [Fo;^'ez n* 590.)