CHAPITRE IV
DK8. PLANS TANGENTS PARALLl^LES A UN PLAN DOMISE.
421. Soit S la surface k laquelle on propose de inener un plan tangent qui soit parallele a un plan donne P. Imaginons que, dans ce dernier, on trace deux droites arbUraires A et B; puis, que Ton determine, par les procedes indiques au chapitre II, les courbes de contact X et Y de la surface S avec deux cylindres circopscrits, paralleles Tun a A etTautre a B. Alors on sait (n**378) que pour tons les points de la courbe X, les plans tangents de S se trouvent paralleles a A ; que pour tons ceux de la courbe Y, les plans tangents sont paralleles a B : done, si les courbes X et Y se coupent, chaque intersection fournira un point pour lequel le plan tangent de la surface S se trouvera parallele k la fois aux deux droites A et B, et consequemment il sera parallele au plan donne P.
422. II est bon d'db^erver que le probleme precedent revient a celui-ci : Mener a une smrfojce S une normale qui soit parallele a une droite donnee D. Ep effet, si Ton construit un plan P perpendiculaire a la droite D, il suffira de trouver un plan tangent parallele aP; et la normale relative au point de contact de ce plan tangent sera evidemment parallele a la ligri^ D. Cette recherche estnecessaire pour obtenir le point hrillant d'une surface, eclairee par des rayons de lumiere que Ton regarde cooiine paralleles entre eux.
423. Lorsque la surface S sera developpable, le probleme deviendra impossible en general, attendu que la condition d'etre parallele a une droite donnee suffit (n® 579) pour determiner completement le plan tangent d'une pareille surface, et qu'ainsi Ton ne saurait exiger que ce plan soit parallele a la fois a deux droites A et B, ou au plan P qui les contient.
424. Le mode de solution que nous avon§ indique au n** 421 est general, mais il entrainera souyent dans des operations graphiques.fort oompliquees; c'est pourquoi il faudra chercher, dans chaque surface, a profiter des proprietes particulieres qui pourront simplifier la solution, comme nous aliens Tindiquer sur quel-^ ques exemples.
i"* Si la surface proposeeest de revolution, auquel cas chaque plan tangent est perpendiculaire ^u plan meridien correspondant, on commencera par mener un plan meridien perpendiculaire au plan donne P, et qui coupera ce dernier suivant une droite que j'appelle d\ alors, en tirant a la section meridienne ainsi obtenue une tangente parallele a d^, son point de conjta(;t sera evidemment celui d'un plan tangent qui se trouvera parallele a P. Qette mj^rche sera d'une application fort ais6e pour une sphere, un ellipLOule, un tore, etc.
Geomelrie Lctvy, a j
178 LIVBE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'^EST PAS DONn£.
2** S'il s*agit d'un hyperbolo'ide de revolution a une nappe, lequel admet (n^ 146) deux syslemes de generatrices reclilignes respectivement paralleles aux aretes du c6ne asymptotique, on coupera ce cone par un planmene dusommet, parallelement a P. Ce plan secant fournira deux aretes a et a', paralleles a P, et Ton en deduira aisement les quatre generatrices correspondantes de I'hyperboloide, savoir, A et B paralleles a a, puis A' et B' paralleles a a'. Alors, en combinant les generatrices A et B', on obtiendra un plan 6videmment parallele k P, et qui touehera Thyperboloide dans le point oil ces deux droites se coupent; puis, on en trouvera un second qui remplira les memes conditions, en combinant ensemble les generatrices A' etB qui se coupent pareillement.
La meme methode s'appliquera a un hyperbolo'ide a une nappe et non derdvobition, attendu que cette surface admet aussi, comme nous le verrons au livre VII, deux systemes de generatrices rectilignes paralleles aux aretes d'un c6ne asymptotique [voyez 581).
