DES PLANS TANGENTS A PLUSIEURS SURFACES A LA FOIS

425. Trouver un plan qui louche en m&me temps deux surfaces donnees S et T. Pourresoudre ce probleme d'une manitere gen^rale, et quels que soient les plans

de projection adoptes, menonsdans I'espace un plan arbitraire P; puis, cherchons la courbe de contact X de la surface S avec un cylindre circonscrit et perpendiculaire au plan P, question qui rentre danscelle du n^ 577, puisque les aretes de ce cylindre devront etre/?ara/feVe5 a une droite connue, savoir la perpendiculaire au plan P. Determinons de meme la courbe analogue Y pour la surface T, et construisons les projections a? etj de ces deux lignes sur le plan P : alors, en menant une tangente commune aux deux courbes a? et y, ce sera la trace d'un plan n perpendiculaire a P, et qui, touchantevidemment les deux cylindres, sera necessairement tangent aux surfaces S et T. On obtiendra done ainsi une solution du probleme propose; maisil y en aura une infinite d*autres jt', tt",..., que Ton trouvera en repetant des constructions analogues pour divers plans P', P,..., choisis dans des directions differentes.

426. On pent lier entre elles toutes ces solutions, en construisant la surface ddveloppahle qui est circonscrite d lafois aux deux surfaces S et T. Pour cela, imaginons que les points de contact m et n des courbes x eiy avec leur tangente commune sur le plan P, ont ete projetes sur les courbes X et Y en M et N; ce seront la les points dans lesquels le plan it touche les deux surfaces S etT; et si Ton construit semblablement les points de contact M' et N', M" et N^..., des plans tt', tt",..., la suite des droites MN, M'N', M^'N",..., formera une surface 2 qui touehera evidemment SetTlelong des courbes MM'M*..., etNN'N"...; maisj'ajoute que cette surface 1 sera devebppahle. En effet, si les points M et M' sont pris infiniment voisins, le plan tangent tc renfernrjera les elements lineaires MM' et NN', et dfes lors les deux