CHAPITRE T. — PLANS TANGENTS A PLUSIEURS SCBFACES

generatrices MN et M'N' seront bien situees dans un meme plan, ce qui est le caractere distinctif des surfaces developpables (n^ 179). D'ailleurs, on peut regarder les droites infiniment voisines MN, M'N', M"N",..., comme les intersections cons6cutives des plans tt, v! ^ ;r",..., ou bien comme Tenveloppe de Tespace parcouru par le plan tt lorsqu'il roule sur les surfaces S et T, en demeurant tangent k Tune et a I'autre, ainsi que nous Tavoni^ explique aux n*** 182 et 184.

Cela pose, quand la surface 2 sera construite, tons les plans tangents qu'on lui roenera, toucberont parallelement S et T, et fourniront les diverses solutions du probleme primitif.

427. La surface developpable 2 circonscrite aux surfaces S et T, est necessaire a considerer dans la theprie des ombres; et elle presente ordinairement deux nappes distinctes, lesquelles proviennent de ce que les courbes a? et j' du n** 425 peuvent admettre une tangente commune extdrieure, et une autre interieure. Au surplus, ces generalites seront eclaircies par Texemple fort simple des deux spheres que nous considererons au n® 437.

428. Lorsqu'une des deux surfaces proposees^ par exemple S» est elle-meme developpabk, le probleme de leur mener un plan tangent commun n'est pas en general impossible; maisil n'admet plus une infinite de solutions, comme on doit le sentir en faisant rouler un plan tangent sur la surface S jusqu'k ce qu'il rencontre T. D'ailleurs, dans I'hypothese actuelle, la courbe x relative au plan P (n^ 425) se reduirait a une ou plusieurs lignes droites, auxquelles il ne serait plus possible de mener une tangente commune avec la courbe y\ a moins que Tune de ces droites ne se trouvat d'elle-meme tangente a cette courbe j, ce qui ne pourrait arriver que pour un certain nombre des plans P, P', F'... : de sorte que le probleme deviendrait determine, et la surface 2 se reduirait alors k un ou k plusieurs plans. Nous en verrons un exemple dans le n*^ 434.

429. Enfin, le probleme n'admettrait en general aucune solution, si les surfaces donnees S et T etaient toutes deux developpables, puisque les courbes x ei y du n^425, devenant alors Tune et I'autre des lignes droites, sur tons les plans P,F, F',..., il ne serait plus possible de leur mener une tangente commune.

430. Lorsque les surfaces S et T ne sont developpables ni Tune ni Tautre, on peut rendre ditermine le probleme de leur mener un plan tangent commun, en assignant un point exterieur Y par lequel devra passer le plan demande. En effet, cela reviendra a conduire par ce point V un plan tangent k la surface developpable 2, qui est circonscrite (n** 426) aux surfaces S et T, et cette derniere question n'est susceptible que d'un nombre limite de solutions, comme nous I'avons vu n^" 349 et 350. Pour les obtenir, il faudra generalement construire la section faite dans la surface 2 parun plan quelconque mene du point Y, puis tirer par ce point des tangentes a cette section; alors chacune de ces tangentes, jointe k la gen^ratrice rectiligne qui passe par son point de contact, determinera un plan tangent k la surface 2, et, par suite, aux deux surfaces primitives S et T. On trouvera un exemple de ce genre au n*^ 437.

l8o LIVRG V. — PLANS fA\(;;:NTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNE.

431 . Trom^er un plan qui louche en mime temps trois surfaces donnees S, T, U.

La marche gen6rale pour resouclre ce probleme consiste a iniaginer une surface developpalile 2 circonscrite a S et a T, puisune autre 2a circonscrite k Set all. Alors, en c'onstruisant(n'*246) les courbes de contact MM'... etM/iyfj.'.. (le cesdeux siirfaces 2 et 22 avecS, chaque point jui, ou se rencontreront ces courbes, sera tel, que le plan tangent de S touchera evidemment les surfaces 2 et 22 ^ la fois, et, par suite, ce plan touchera aussi les surfaces T et U. Ce sera done une wsolution du probleme; inais comme les operations graphiqiies seroht brdinairement fbrt compliquees, nous nous bornerons a en citer un exemple ou les constructions deviennent tres-simplee |wyez n® 441 ) . • •• - • . .

Observons que, quoique nous ayons dit (n° 429) qu'on ne pouvait pas generalemetitmener un plan tangent commun a deux surfaces developpables, la chose devient impossible, parce que les deux surfaces 2 et 22 offrent cela de particulier, qu'elles soill circonscrites k la meme surface S. '

452. Si une ou plusieurs des trois surfaces donnees etaient developpables^ le probleme serait ge^neralement impossible. En eftet, si S est developpable, les surfaces 5 et S2 du ilutnero precedent se reduiront a des surf aces planes {n^ 428), auxquelles il rie sera plus possibte de meneruri plan laiigent cbmnfiun; a moins que, par des cirdohstaiices toutes jpairtlculiferes,' deiix de ces surfaces planes n6 yieiinent Ji coiiicider'completement! ., . ^ i .

435. On ne saurait priposer de trbuver un plan qui toiiche k la fois qtiatre surfaces S,'T; U, V, ou un plus grand bombre. Car, en imaginant les trois surftices developpables 2, 22, 23, circonscrites aux groupes S el T, S'efXJ, S et V, ilh^arrivera pas, en general, que les trois courbbs suivant lesqiielles la surface S sera'tbuchee par % Sa, 2,, viennent se couper toutes en un ni^me point /Ji, circohstance qui serait cependant necessaire pour quele plan tangent de S en /a touchat en meme temps 2, 22, 2,, et, par suite, les autres surfaces proposees t\ U, V.

PROBLEME 1. Consthtire urt plan qui iouche\ a lafois^ une sphire et un cSne de res^olution r ) . . '

454. (Fr^. 92.) Faisons passer les de'ii'x plans de projection par le centre de la sphere donneeqiii a pourfayon OA, et dirigeons le plan hoVizorltalperpendiculairement a I'axe du cone qui aufa pour sommet (S, S'), et pour base lie cercle (lu rayon SB. te probleme de hieYiei^ uh plan tangent commun a ces 3eux surfaces sera determine (n** 428), parce qu^icl Vuri6 d'elles est developpable; et, pour le resoiidre plus simplement que par la methoae generalie, supposons que PQR' soil fe plan chercfie. II touche le cone' suivant une aretie situee dans uri plan meridien SM, perpendiculaire a PQ; de sorte que la distahc^'de ce plan tangent au pied (S, 1') de Taxe est tfne droile egale a I'G, et feitiiec 'dans le plian 'nieridien SM : mais si je transporte le plan PQR' paralleleirient a lui-m6me, jusqu'k ce qii^il passe par le centre de la sphere, il se sera rapproche du point (S^ V) d'une quantite egale au

( * ) (.'0 i^robUme o&t lire de ]a Geometric descriptive de M. L6f6bure de Fourcy.