CHAPITRE y. — PLANS TANGENTS A PLUSIEURS SURFACES. l8l

rayoii ,0A ; et alors il devienclra tangeot a un autre conje droit doni la geaeratrice T'F'^ parallele k S'B', en sera ebignee de la distance OA. Or ce dernier cpne est facile a construire, ainsi que son plan tangent conduit par le point 0; done, ensuite, il suffira.de mener ,au cone primitif un plan tangent parallele a celui-ci.

D'apres ces considerations, on prendra sur la perpendiculaire I'G un intervalle GH = OA; puis, en tirant parle point H la droiteT'F' parallele aS'B', on determinera le cercle SF auquel on menera, du point 0, les deux tangentes ON etOL. Alors, en conduisaut au cercle SB deux tangentes,PQ et.XY paralleles aux precedentes^ on aura les traces horizontals de deux plans PQR' et XYZ', qui toucheront exterieuremerit les deux surfaces donnees : les traces verticales de ces plans sont bien faciles atrouver.

4^5. Ilexiste aussi des plans qui. touchent ces surfaces intdrieurementy c*est-Jidire en laissant Tune c^'un cote, et I'autre du cote oppose. Pour les trouver, on verra sans peine qu*il faut augmenter la distance TG, d'une quantite Gh= OA; puis, tirer parallelement a S'B' la droite ff^ qui determinera le, cercle S/ auquel on mfenera jles tangentes On et QL Alors, en conduisant au cercle SB deux tangentes pq et ocy paralleles aux precedentes, ce seront les traces horizontales des deux plans tangents interieurs. .

436. Si Ton veut trouver pour un de ces quatre plans, par exemple PQR', son point de contact avec la sphere, on coupera cette surface par un plan 0D perpendiculaire aPQ; et, apres avoir rabattu la section sur le grand cercle horizontal, on tirera la tangente D Q dont le point de contact 5, ramene en /x, fournira la projection horizout^ale du point oil la sphere est touchee par le plan PQR'. La projection verticale u! se deduira aisement de la. . .

PROBLfEME II. Par un point donnd, mener unplan tangent a deu^ spheres.

437. C^%- 93.) Adoptons pour plan horizontal celui qui passe par les centres et 0' des deux sphferes par le point donne A". Alors, sans recourir a un second plan,de, projection, nous pourrons mener aux deux grands cercles horizontaux la tangente commune MNA, qui, en tournant autourde 00' A, engendrera une surface conique evidemment circonscrite aux deux spheres donnees. Ce cone AMP est ce (jue deyient ic^ la surface developpable 1 du n*^ 426, car il e^t bien Xemeloppe de toutes les positions que prendrait le plan vertical MNA, tangent aux deux spheres, en roulant sur ces deux surfaces a la fois. Ainsi, puisque tout plan tangent a ce cone touchera les d^upc spheres, et que la reciproque est pareillementvraie, leprobleme primitif se reduit a mener du point donne A" un plan tangent au cdne AMP. Pour cela,, on s^it qu|il faut tirer la droite AA'^ et du point oil elle ira percer le plan du

iff- *

cercle vertical MP, base du cone, tirer a ce cercle deux tangentes; operation qui s'efiectuera aisement, en rabattant le cercle MP autour de son diametre, comme on ravuaun*^40i.

4^^. II est plus simple de r^marquer que le problfeme primitif se reduit a mener par la droite AA" unplan tangent d la sphere 0; car ce plan touchera evidemment le cone AMP, et, par suite, la sphere 0' que ce cone circonscrit. Or, d'apres ce qax

1 82 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N^EST PAS DONNli*

a ete dit au n°403, il suffit de tracer le nouveau cone A'^IV^'P, circonscrit pareillement a la sphere 0, et rinterseclion des deux carcles verticaux MP et M'T^ fera connaitre immediatemenl la projection horizontale /x du point de contact de la sphere avec le plan tangent demande. La seconde projection de ce point, sur un plan vertical choisi a volonie, s'obtiendra aisement en rabattant le cercle MP autour de son diametre, et par la la position du plan tangent sera completement determinee; mais nous laisserons au lecteur le soin d'effectuer ces operations tressimples, qui conduiront evidemment a deux plans tangents exterieurs.

439. On peut trouver deux autres plans tangents intirieursy en considerant le cone amp decrit par la tangente man commune aux deux grands cercles horizontaux, mais placee entre ces circonferences. Alors, par des considerations analogues aux precedentes, on verra qu'il suffit de mener par le point A" un plan tangent au cone amp; ou bien de mener par la droite a A" unplan tangent a la sphere 0; de sortc que le point de contact X sera donne par Tintersection des deux cercles M"P" et mp.

440. II n'est pas besoin d'avertir que les quatre solutions precedentes se reduiront a deux, ou n'existeront pas du tout, suivant la position qu^aura le point donne A" par rapport aux deux spheres, ou jpar rapport aux cones circonscrits eaotdrieurei interieur. En outre. Tun de ces cones ou tons les deux disparaitront, si les spheres donnees se coupent, ou bien si Tune enveloppe I'autre.

PROBLEME III. Trouver un plan qui soit tangent a trois spheres donnees.

441. [Fig. 93.) Adoptons encore pour le plan horizontal celui qui passe par les centres 0, 0', 0" des trois spheres donnees; puis, remarquons que les surfaces developpables 2 et 2^ (n** 431), qui doivent etre circonscrites aux spheres et 0\ et 0", deviennent ici les deux cones AMP et A^'M'T". Alors, en traQant leurs courbes de contact avec la sphere 0, lesquelles se reduisent aux deux cercles verticaux MP et M"P, les deux points de section qui sont projetes en /x, seront ceux oii les plans tangents de la sphere toucheront a la fois le cone AMP et le cone A"M"P"; par consequent, ces deux plans seront aussi tangents aux spheres 0' et 0% et ils les toucheront exterieurement,

442. Mais comme il existe deux autres cones circonscrits intdrieurement aux groupes des spheres et 0', et 0", lesquels peuvent etre combines d'une maniere analogue, soit entre eux, soit avec les cones exterieurs, il en resultera generalement huit solutions pour le probleme propose, savoir :

Deux plans tangents exterieurs fournis par les cones AMP et A''M"P*', et dontles points de contact avec la sphere sont projetes en /x;

Deux plans tangents interieurs fournis par les cones AMP et a^m^p"; les points de contact avec la sphere sont projetes en v;

Deux plans tangents interieurs fournis par les cdnes amp et A'^M^P"; leurs points de contact sont projetes en X ;

Enfin, deux plans tangents interieurs fournis par les cones amp^ cCm^p"^ et dont les points de contact sont projetes en tt.

CUAPITRE T. — PLANS TANGtRTS A PLUSIEURS SUHPACES. 1 83

445. II est facile d'apercevoir que ces huit plans tangents se reduiront a quatre^ si deux des spheres se coupent : quand une d'elles rencontrera les deux autres, il y aura au plus deux plans tangents communs; et il n'en existera aucun, lorsqu'une des troissphferes sera enveloppee par une autre. Mais, outre ces cas particuliers, la question sera impossible toutes les fois que les quatre cercles de contact MP, M"P", mp, m"p''^ ne se couperont pas; et le nombre de leurs points de section indiquera toujours le nombre de solutions qu'admettra le probleme propose.

444. Nous n*avons point parle des cones N'A'Q'etn'ti'^' dont chacun est circonscritaux deux spheres 0' et 0". Neanmoins, il est evident que tout plan tangent aux trois spheres devra aussi toucher le cone A' ou le cone a'; de sorte que le systeme de ces deux surfaces coniques aurait pu etre combine, soit avec le sysleme A et a, soit avecle systeme A" et a", pour resoudre le probleme propose. En outre, puisque chaque plan tangent aux trois spheres touchera en meme temps trois des cones circonscrits, il passera par leurs sommets, lesquels se trouveront ainsi a la fois dans un plan tangent et dans le plan des trois centres des spheres; d'oii Ton conclut que les sommets des trois cones touches par un meme plan seront toujours en ligne droite, Aussi Ton voit dans notre epure, que les sommets de six cones circonscrits aux spheres sont distribues trois a trois sur quatre droites AA"A', ka!a'\ k"a'a^ A'(fa9 dont la premifere renferme les trois sommets exterieurs^ et chacune des autres, un sommet exterieur avec deux sommets interieurs.

445. De la on pent deduire un theorfeme remarquable de la Geometric plane, en se bornant k considerer seulement les generatrices des cones et les grands cercles des spheres, qui sont situes dans le plan des trois centres 0, 0% 0". En effet, comme les sommets de ces cones sont 6videmment les points de rencontre des coupes de tangentes communes a deux de ces grands cercles, on en conclut que si, apres avoir trace trois cercles quelconques dans un meme plan, on mene toutes les tangentes qui peuvent toucher a la fois deux de ces cercles, les six points de rencontre A et Uf A! eta'. A'' et a", ddtermines par chaque couple de tangentes^ seront places trois a trois sur quatre droites^ dont une contiendra les trois points exterieurs, et chacune des autres un point exterieur avec deux points interieurs.

Comme exemple d'un plan tangent commun a plusieurs surfaces, nous citerons encore le probleme resolu au n*" G7^ et oil il s'agissait de trouver un plan qui fut tangent a deux cdnes ay ant meme sommet.