QUESTIONS DIVERSES

GHAPITRE PREMIER.

DE l'HI^LICE, ET DE L'Hl^LICO'iDE D^VELOPPABLE.

446. [Fig. 95.) L'HELICE est une courbe AMNCD. .. traces sur un cjlindre quelconque, et telle, que les ordonnees (dirig^es suivant les generatrices) sont pro^ portionneUes aux abscisses curvilignes comptees sur la base dpartir dun point fixe K\ pourvu qu'on enteode ici par base du cyliodre la section orthogonale faite par ie point A. C'est-a-dire qu'on doit avoir les relations

MP NQ CB , ' ' 1 . L

-^ = -;r~=jg-=. . . = *, ou generalement z = A5,

en designant par s un arc quelconque de la base, et par z Tordonnee qui aboutit a son extremite (*). Le nombre A, qUi exprime le rapport constant de Vordonnee avec I'abscisse pour tous les points d'une nnieme helice, varie d'une helice a une autre, ear on en peut tracer une infinite sur le iheme cylindre; iiiais chacuue est completenicnt delerminee, des qu'Oh assigne le rapport k et le point A choisi pour origine des abscisses. D'ailledr^, il est evident que Thelice coupera la base du cylindre precisement en ce point A, puisque, dans T^quation 2 == *5, Thypothese 5= o donne aussi J5 == o.

447. Lorsque la base du cylindre est une courbe fermee APBA, I'abscisse variable AP = 5 peut devenir egale au perinietre/? decettebase; et alors on obtient un point D dans lequel I'helice vient couper une seconde fois I'arete AF. Or, coifume cette circonstance se reproduira indefinimenl pour des abscisses egales a !ip^ 3^,,.., il existera sur la generatrice AF une infinite de points ou I'helice viendra la rencontrer, et qui seront a des hauteurs

par consequent, tous ces points seront distants les uns des autres d'une quantite h que Ton nomme le pas de I'helice. Lorsque ce pas est assigne directement, et que le perimetre de la base est connu, la constante k s'en deduit immediateinent, puisque, d'apres la definition meme de I'helice (n^ 446), ce nombre exprime le

(*) Noiis avons donn6 pr6c6demment (n** 163) une autre definition de TWlice; mais nous allons faire voir tout k Theure qu'elle 8*accorv!e compl6tcmeni avcc- la definition actuelle.

GHAP1TRB I. ^ H1&LICC, ET H^LICOIBB DSVBLOPPABLE. * 1 85

rapport de Tordonnee h avec Tabscisse correspondante p\ ainsi^ dans le cas od la base du cylindre sera un cercle du rayon R, on aura

27rR

448. De la tdngente a Vhdlice, {Fig. 95.) Gomme cette courbe n*est pas donn^e ici par Tintersection de deux surfaces, il faut recourir k des considerations particuliferes pour obtenir sa tangente en un point quel(ionque M. Concevons le cylindre developpe sur le plan qui touche cette surface tout le long de la g^neratrice PML; cette ligne demeurera immobile, et la base orthogonale APB deviendra (n® 161) une droite ATB', perpendiculaire k PL, tandis que les portions des autres generatrices conserveront leurs m^mes longueurs et leur parallelisme. Par consequent, si Ton porte sur la transformee de la base les distances