Q'N' = QN, B'C'=:BC
les divers points A', M, N', C',..., donneront la transformde de Th^lice sur le d6veloppement du cylindre. Or il est aise de prevoir que cette transformee A'MN'C. . . sera une ligne droite; car les ordonnees et les abscisses rectilignes de cette nouvelle ligne, ayant la meme grandeur absolue que les ordonnees et les abscisses cwvilignes de rhelice, seront, comme ces derniferes, dans un rapport constant; ce qui est le caractfere exclusif de la ligne droite, pour des points situes dans un mSme plan. Cela pose, je dis que la droite A'MC est precisement la tangente au point M de , rhelice primitive AMC. En effet, cette droite est d'abord situee dans le plan tangent du cylindre, qui contientun element superficiel LP/>/de la surface; et comme cet element est reste immobile pendant le developpement de la surface, il en resulte que Telement lineaire Mm se trouve commun a la courbe AIVIC et k la droite A'MC; done ces deux lignes sont bien tangentes Tune k I'autre.
449. D'aprfes cela, pour obtenir dor^navant la tangente a Thelice, il suflfira de construire, dans le plan tangent du cylindre, un triangle rectangle MP A' qui ait pour hauteur Tordonnee MP du point de contact, et pour base une droite AT egale k Tabscisse AP rectifiee ; I'hypotenuse de ce triangle sera la tangente demandee. Cest ce que Ton pent exprimer d'une manifere abregee, en disant que la soustangente A'P est dgaie a Fabscisse cujviligne AP du point de contact; car cette regie fera connaitre le pied A' de la tangente, et comme le point de contact M est connu, la position de la tangente sera completement fixee.
D'ailleurs, on voit que la tangente A'M, ainsi determinee, aura la mSme longueur que tarcdhdlice AM; puisque Tune est la transformee de Tautre, d'aprfes ce que nous avons dit au numero pr^c^dent.
1 86 * UVftK VI. — QUBHTKHrS HlVEaSES.
4oO. Observons ici que Taagle MAT de la taageDte avec le plan de h base da cylindre, sera donne par la formule
., MP MP , tang A' = ;;^ = jp = *;
or, comme ce dernier rapport est constant pour tous lea points d'utie ipeme helice (n** 446), on en conclut que les diverses tangentes a cette courbe sont tout^s egakh meat incUnees sur leplan de la base da cytindre^ eU par suitp^ chacune de ces tangentes coupe la generatrice da cylindre sous un angle constant A' MP; respjtat qui moQtre que la definition donnee au n"* 163 rentre dans celledu n^446.
451. [Fig, 94.) Construisons maintenant les projections d'une belice, en prenant pour base du cylindre droit sur lequel cette courbe doit etl*e tracee, un cercle ABCD dont nous adoptons le plan pour plan horizontal de projection. Soientd'aiileurs (A, A') Torigine, etA'A^lepas de Thelice; en partageant cet intervalle A' A* ou O'O'' en un certain nombre de parties egales, par exetnple seize, et divisant la circonference ABCD pareillement en seize parties egales AL, LM, MN,..., il suffira d'elever par ces points de division, des ordonn^es verticales PL', Q'M', ll'N',..., respectivement egales a -j^, r^.T^t-'-de rintervalle O'O", pour obtenir divers points de la projection verticale A'L'M'N'C'A*',.. de Thelice demandee (*). Quant k la projection horizoniale de cette courbe, c'est evidemroent la base ABCD du cylindre droit.
452. La tangente de Thelice en un point quelconque (M, M') s'obtiendra en prenant sur la tangente, au point M de la base, une longueur MT egale k Tare MA reo-
I T ' t III. ■■■till
tu
^) Celte projectioQ est une jfi/iusotde; car, si on 1ft rapporte k deux axes &'X', i'2', dont ToHgine soit u poini B', et que Ton compte les vfasciBBes cmrvilignes de l*h^ce, sor la section circvlaire fiile dans le ylindre par le plan horizontal B'X', on aura, pour «n point quelconque (E, £'), les relatioDii
B'F=sinBE, |f = ^';
ou blen, en compiant les sinus dans le cercle dont le rayon est I'unit^,
et alors, par r^lirninatiou de Tare /, on (rouve
a: = Rsin(a7rjj
pour Tdquation de la projection de i'h61ice sur Fe plan des deux axes B'X' et &'Z'« En y joignantV'i^uatioM (kcylrndre • • ^,
qui, combinec avec la pr^c^ente, conduit k
7 = Kco8(iir^j,
on aura les trois projections de rii^lice sur des plans recUingiilidres doiii Torignie serail au poial (0, W^.
OlAPITnF. I. — HCUCB, VT niuCOTDE lU&TILOPPABLE. tS?
tifie (n^ 449); alors le point (T, T) aerale pied dela tangente cherchee, kquelle aura pour projection MT et WT.
4S5. D'apres cela* on voit que si Ton construisait ainsi diverses tangentes k Thelioe, lea pieds de ces droites aeraient tons aitues sur une courbe ATGH..., pour laquelle on aurait MT = MA, BG = BA, EH = EA,. . . 5 par consequei^t, cette courbe n'est autre chose que la de^ehppante du cercle ABQ) ( n'^ 199, 201 ), et c*est aussi la trace horizontale de la surface, lieu des tangentes a Thellce, surface que Von nomme VheUccide ddveloppable^ et sur laquelle nous revieodrons tout ^ I'heure.
454. {Fig. 94,) Etant donnee une kdliee ( AMBCDA, A'M'CA''C%--)t ^^ner i ceite courbe une tangente qui soitparaHile d unplan donnS U'YS.
Rappelons-nous d*abord que toutes les tangentes a rheliee font un angle constant avec la verticale (n^ 450), et qu'ainsi elles sont respeotivement parallfeles aun generatrices d'un cone de revolution, dout Taxe serait vertical, et dont ledemi-angle au centre egalerait Tinclinaison commune des tangentes sur les aretes du cylindro. Pour eonnaitre cette inclinaison,jeconstruis la tangente particuliere au point (B, B'), parcequ'elle sera evidemment parallele au plan vertical, et raefournira ainsi la vraie grandeur de Tangle cherche : je prends done sur la tangente au cercle une longbeur BC, egale a Tare AB rectifie, et, projetant le point G en G' sur la ligne de terre, I'obtiens la tangente (BG, B'G') relative au point (B, B'). Alors, en lui menarit par le point (0» B') une parallele (0^, B'G'), et faisant tourner cette demifere aiitour de la verticale 0, je forme le cone droit en question^ lequel a pour base le eercle du raVoti 0^. Maiptenant, Je coupe ce cone par ub plan parallele a U'VS, et mene par le sommet (0, B') : on sait comment obtenir (h<* 45) la trace horieontale aI6 d'uti pareil plan, qui donne, pour ses intersections avec le cone, les deux generatrices Oa et OSy paraUeles au plan SVU'; par consequent, les tangentes a Thelice qui jouiront de cette derniere propriete, s'obtiendront sur le plan horizontal, en menant au cercle la tangente MT, parallele a O^r, et la tangente &H, parallele a 0§. De Ik, on conclura leurs projections verticales en prenant MT = MAet EH = EBA, ce qui fera connaitre les pieds (T, T') et (H, H') des tangentes' demandees, qui seront enfin (MT, MT) et (EH, E'H'). 11 y en aurait d'ailleurs une infinite d'autres paralleles a celles-la, et relatives aux points M" et E", M*etE'%..., des diverses 5pi>vjde Thelice indefinie.
Observons aussi que Ton pouvait mener, sur le plan horizontal, une seconde tangente fiiG parallele a Oa; mais cette droite, consideree comme la projection d'une tangente k Thelice, aurait son point de contact en (jui, fx'); d'bii Ton voit clairement que sa projection verticale ne serait plus parallele k celle de la generatrice du cone projete sur Oa : ainsi il faut rejeter fa tangente [lO. Une pareille ambiguii^ se pre— senterait pour la generatrice OS; mais ellese Ifevera toujours, en exigeant que la tangente et la g6B6ratrice du c6ne soient paralleles sur les deqx plans de projection h la fois.
455. Si Ton demandait de mener a Thelice une tangente qui ixjX paralUle a une droite donnde, le problfeme strait ep giniral impossible, k moins que cette droite
1 88 LivBE VI. — QUEsnojfs mrBMiss.
ne fit elle-meme avec la verticale un angle egal k rinclinaison commune de toutes les tangentes de Thelice sur les aretes du cylindre; mais si cette condition 6tait remplie, alors il ne s'agirait que de mener au cercle ABCD une tangente parallele k la projection horizontale de la droite donnee, et Ton en d^duirait, comme cidessus, la projection verticale de la tangente kl'helice.
456, [Fig. 96.) L*HELICOIDE des^eloppable est la surface engendree par une droite mobile et indefinie, qui glisse sur une h^lice» en lui demeurant constamment tangente. Nous appelons cet belico'ide developpable^ tant pour le distinguer d*un autre belico'ide qui est gauche et dont nous parlerons plus loin, que parce que la surface actuelle satisfait evidemment (n^ 181) a la condition que deux generatrices infiniment voisines se trouvent dans un meme plan. Pour representer grapbiquement cette surface, on pourrait tracer d*abord rh^lice
(Agyc^eXirA, A'g'y'.c^'e'X'Tr'A"),
puis construire ses tangentes aux divers points (A, A') (6, S'), (7, 7'),...; mais il sera plus commode et plus exact de determiner ces droites, en cbercbant imm^diatement leurs traces sur le plan borizontal de projection, et sur un autre plan horizontal a' A'7' eleve, au-dessus du premier, d'une quantity A' A'' egaleau pas de rbelice; parce qu'alors la projection verticale de cette belice sera formee directement par les intersections successives de ces diverses generatrices, pourvu qu'elles soient assez multipliees. Or, deja nous savons (n^ 453) que les traces borizontales de ces droites sont situees sur la developpante de cercle ABCDEF..., que Ton construit en prenant sur les tangentes a la base du cylindre les distances
68 = SA, 7C = 7A, c?D = c^A,....
Ensuite, pour avoir leurs traces sur le plan superieur a' A", j'observe que la droite inconnue ( Aa, A' a'), qui sera tangente k Tbelice au point (A, A'), doit faire avec la verticale un angle determine (n'' 450) par la relation
tang A'' A'a' = j^:* ou bien -j^, = —f^\
or, comme on a pris A" A' = A, il en resulte que k"a' = arrR, c'est-k-dire que Tintervalle inconnu A" a' ou Aa doit etre egal k la circonference du rayon OA, ce qui permet de construire immediatement la premiere g6neratrice (Aa, A' a') de rbelicoide. D*ailleurs, dans les diverses positions que prendra cette droite mobile, la portion comprise entre les plans borizontaux L' A' et a' A'' conservera une longueur invariable^ puisqu'elle aura toujours une inclinaison constante (n"^ 450) sur ces plans paralleles ; il en sera evidemment de meme pour les projections borizontales de ces portions de generatrices, qui demeureront egales en longueur k Aa. Par consequent, si, k partir de la developpante inferieure ABCDEF..., on porte sur les tangentes du cercle les longueurs
Aa, B6, Cc, Drf, Ec, F/,...,
CHAPiTnB I. — niLicB^ vr ntLicouE DivELOPPABLis. 189
toates egales a la circonf^rence OA rectifiee; puis, si Ton projette les divers points a^ h^ Cyd^ By...^ sur le plan horizontal superieur a' k^^ en meme temps que les extr^mites inferieures A, B, G, D, E^..^ sur la ligne de terre, on pourra construire immediatement les projections verticales
k'a!, Vb\ CV, D'rf', EV, F/',,..
des generatrices de Fheiicoide; et ces droites dessineront d*elles-memes, par leurs intersections consecutives, la projection de Fhelice ou la courbe A'6'/(^e'XVA"a laquelle elles devaient etre tangentes.
457, {Fig^ 96.) La courbe abcdef...^ qui est la projection horizontale de la trace de rhelicoide sur le plan superieur a! k^^ se trouve necessairement une developpante du cercle OA, symetrique de la premiere ABCDE.... En effet, puisque la droite \iid par exemple, est egale k la circonference totale, et que la partie Hi egale Tare k^^ il faut bien que le reste dd soit egal k Tare d\nk\ et de meme 66 est egal a Fare tknk. Ainsi la spirale ahcdefy situ^e dans le plan superieur d k"^ viendrase terminer au point (A, A''), si Ton se borne, comme dans notre epure, a considerer une revolution unique de la generatrice mobile.
458. D*aprte cela, on pent aisement construire en relief la surface que nous venonsde decrire; car, en prenant deux plateaux sur lesquels on tracera les deux spirales ABCDEF..., abcdef...y et en les maintenant dans une situation parall^le et symetrique, au moyen de tiges verticales, il suffira de tendre des fils qui reunissent les points correspondants A et a, B et 6, C et c, D et ^,...; et Tensemble de ces fils rectilignes representera I'helicoide developpable, dont VarSte de rebroussement (n^ 178) sera Theiice figuree aussi par les intersections consecutives de ces memes fils. Si, d'ailleurs, on evide sur le plateau superieur Tinterieur de la circonference OA, on apercevra tres-sensiblement cette helice en forme d' arete saillante ; ce qui justifiera bien aux yeux du spectateur la denomination attribuee dans toutes les surfaces developpables, k la courbe formee par les intersections des generatrices, laquelle partage la surface en deux nappes distinctes, mais reunies par un rebrous-tement le long de cette courbe.
-459. {Fig. 96.) Pour manifester ici cette circonstance importante du rebroussement, construisons la section faite dans rhelicoide par un plan horizontal quelconque X'Y'. En projetant sur le plan inferieur les points de rencontre de X' Y' avec les projections verticales des generatrices, on obtiendra une spirale composee de deux branches XWX et XZY, placees Tune sur la nappe superieure formee par les portions de generatrices situees au-dessus de leurs points de contact avec Tbeiice, et I'autre sur la nappe infdrieure; et je dis que cette spirale est aussi une developpante du cercle OA. En effet, si le plan X' Y' est mene, par exemple, par le milieu X' de la hauteur A'A"", il coupera toutes les generatrices en deux parties egales; de sorte que son point de section avec la droite (Def, D'^') sera tel, que DW egalera la demi-circonference Ac^X. Mais, puisque deja la partie Def = A(^., il s*ensuivra que le reste <>W egalera Tare c^X; on trouyera dememe que AX = A<?X, etpZ = |9X,...
Tf)0 UVRR TI. **- QCeSTIOna DIVFRSRS.
Done la section XWXZY est hieo une developpante du cerclo OA, laquelle a pour origine la section X; et la fornae de cette spirale en ce point, manifeste dairement le rebroussementque prasentent les deux nappes de la surface, lorsqu'elles s'approchent de I'helice.
460. Voyons, maintenant, quelles seront les sections faites dans Thelicoide par un cylindre FWZp, concentrique avec celui qui contient I'helice primitive. Pour eela, prenons d'abord les points F, a, 6,..., oil le cercJe FWZ/? coupe les portions inferieurei des generatrices sur le plan horizontal, et rapportons ces points sur les projections verticales des memes droites; ensuite, faisons la fpeme operation pour les points |, v], W,..., oii les portions sup^rieures des generatrices sont rencgntrees par le cylindre propose, et nous obtiendrons les deux courbe$
(Fa^Zw, Fa'e'Z'o)') et (l^jW?/), ^^j'W'^y),
situees Tune sur la nappe inferieure de Thelicoide, I'autre sur la nappe superiour^* pt qui seront aussi des helices de m&me pas que rbelice (ASyd^, A'S'y^). En effet, les portions de generatrices (9F, (p'F'), (Xa, X'a'), {nO, vf9')^...^ sont toutes de meme longueur, puisqu'elles sont projetees sur des droites OTidemment egales f)Fc=: Xa 3s 7;$,,.., et que leur inclinaison sur le plan horizontal est constante. Done, lorsque la droite finie (f>F, (p'F') parcourra Thelice doqnee, en lui demeurant tangente par son extremite mobile (7, f>'), I'autre extremite (F, F') s'elbvera de quantites egales aux differences de niveau des points (9, y'), ()., X'), (n, tr'),...; or ces differences sont proportionnelles aux arcs 9X, 9X71,..., qui ont evidemment entre eux le meme rapport que les arcs Fa, Fad,..;; par consequent, ces derniers se trouveront eux-m^mes proportionnels aux ordonnees des points (a, a'), (6» $'),...» et la eourbe ( F a6, F' a' 6') sera bien une helioe dont le pas Agalera oelui de rbeliee (AS7, A'S'7'), puisqu*au bout d'uoe revolution, les deux points (F, F) et (9,®') auront monte de U meme quantite k.
On demontrera la meme proposition, d'une mani&re aDabgue» pour la aeetion
461. {Fig. 96.) II est bon d'observer ici, comme une consequence inimedi^tis de ce qui precede, que quand une droite mobile et indeftnie (F9/, Fip'/') gksse sur unehelice (A^yc^..., A'6'7'(^), en lui demeurant tangents par un m^me peiniqui reste invariable sur la droite mobile, tout autre point (F, F') de cette derqiere lign^ decrit aussi (n^460) unehelice de mime pas que la premiere. Mais si la tangents roulait sur rhelice, sans glisser^ de telle sorte que chaque element de la droite viAt s*appliquer successivement sur les elements de la eourbe, alors uu point queleonque (F, F) de la droite mobile resterait tou jours dans un meme plan horizontal, et y decrirait (n° 453) une diveloppante du cercle qui sert de base a rhelice primitive.
462. Leplan tangent pour un point quelconque (9, 0') de rheiico'ide est le mem^ que dans tout autre point de la generatrice [VOp^ YQ'p')f ftinsi que nous Tavons demontre (n^ i77) pour toute^^rfBce developpable; done leplan demande reiiferimera la tangente PY a la spirale ^C]Lf » et cette droite ser^ pfecisem^qt la trace
CHAPITRB I. — miuCR, CT 1I^LI€0»E DSVELOPPABLB. I9I
horizontale de ce plan tangent, lequel se irouve par la sufflsaftiment determine. Observons, d'ailleurs, que comme la ligne Ptt, tangente a la developpee ASXtt, est toujour normale ( n"" 197 ) k la developpante ABCLP, il s'eosuit que la trace YP du plan tangent se trouvera perpendiculaire sur la gen^trice (P;r, PV), et qu'ainsi ce phn renfermera .le rayon (On, O'n') du cylindre. D'oii Ton peut conclure que le plan tangent de rfaelicoide se troute determine par la generatrice sur laquelle est le point donn^, et par le rayon du cylindre qui aboutit au point de contact de cette generatrice avec I'ar^te de rd3rous8em6nt.
465. n resuite Avidemment de \k que tous les plans tangents de Tfaeiicolde font, avec le plan horizontaU an angle constant qui ^gale Tinclinaison de la tangente k fheiiee primitive. D'aitleurs, chaque plan tangent, tel que irPY, contenant deux generatrices infiniment voisincs qui sont des tangentes k Th^lice, n'est autre chose que le plan osculaieur {n? 177) de cette courbe; et, par saate, Thilicoide est Vemeil&ppe de tous les plans osculateurs de son ar6te de rebrousseoient* comme cela arrive dans totite surface d^veloppable (n^ 181).
464. D'apr^s cela, le contour apparent de I'helicotde sur le plan vertical de projection est form* par les droites (L/, L7'), (Aa, A' a'), (AU, A'^U'), puisque, le long de ces generatrices, le plan tangent se trouve perpendiculaire au plan v^tical : seulement, une partie des deux derniferes generatrices est recouverte par la premiere, et se trouve rendue invisible par cette circonstance. Quant au contour apparent sur le plan horizontal, il est forme evidemment par Thelice (A&z^X, A'S'y(^X'), quoique le long de cette courbe les plans tangents de Theli'^ <^ofde ne ^oient pas t>micauac^ ainsi que I'exigerait la rfegle generale du n"" t06; mais c'est qu'ici la surface presente, pour limite des parties visibles, la circon-
' stance particulifere d'un rebroys^ermtnt. On doit ajouter k ce contour les spirales ABC6QRS et abctpqrk, qui terminent la portion de surface que nous nous sommes borne k considerer ici, avec le soin d'omettre la partie de la premiere qui est recouverte par la seconde; et, d'aprte ces remarques, il sera aise au lecteur de se rendre compte des parties pleines et ponctuSes que presente notre epure.
465. Ddveloppement de rh^licoide. {Fig. 96.) On pourrait Feffectuer ici, commo dans toute surface developpable, en partageant nne courbe plane ABCDGL^ situee sur la surface, en petits arcs seasiblement confondus avec leurs cordes; alors tes secteurs eiementaires projefees sur D(^yC, Et&D, Ffe£,...y pourront etre regardes comme des triangles dont les o4tes, conaus par leurs projections, seront laciles a ^valuer; de sorte que, si Ton construit ces triangles sur un meme pl^n et k la suit« les uns des autres, leur ensemble reprisentera le developpement de la sur£ace en question. Toutelbis, il feut avouer que ce mode ^'operations donnerait lieu k xles ohances d'enreurs aecnmuiees, qui disparaitraient si Ton connaissait d'avance la forme que doit prendre, sur le developpement, une certaine courbe donate sur l(i sur&oe primitive ; et e'est ainsi que nous en avoos use poor lea eylindres et les c6nes, dans les n~ 243 et 251 .
466. Or, dans rhelicoide developpable, il arrive que toiUes les hilices ont pour
jg^ LIVRE TI. — QUESTIOlfS MYERSES.
transformiesy sur le developpement, des cercles concentriques. En eflFet, si nous concevons Thelice arfite de rebroussement (ASyc^..., A'S'/c^...), comme partagee en ^l^ments egaux projetes sur AS, 67, yc^,..., il est facile d'apercevoir que tous les angles de contingence sent dgaux entre eux dans cette ligne k double courbure; car celui qui est projete sur D(^C, 6tant combing avec la yerticale i^ formera un angle trifedre dans lequel deux faces et Tangle difedre compris resteront les memes pour tous les points de Th^lice. Mais ces angles de contingence, qui changent ordinairement de grandeur pour une courbe quelconque tracee sur une surface que Ton developpe, demeurent imanables quand il s'agit de I'arete de rebroussement (n^ 179, note) : dond'helice (ASyc^,.., A'S'y'c^...) se transformera dans une courbe plane, dont les angles de contingence seront egaux entre eux, pour des arcs de meme longueur; par consequent, cette transformee aura une courbe uniforme (n^ 198), et d^s lors elle sera un cercle.
Maintenant, pour une autre h^Iice (F^dZcj, Ya'O'Z'td') situ^e sur le meme helicoide, on obtiendra sa transformee en traQant, sur le developpement, des tangentes au cercle dans lequel sera changee Thelice (A67..., A'S'y'...), et en prenant ces tangentes egales aux portions de generatrices (yF, f'F'), (Xa, X'a'), [nQ, 7r'5'),.., Or, comme ces derni^res droites ont toutes la meme longueur (n"^ 460), il arrivera evidemment que leurs extremit^s aboutiront sur une circonf(6rence concentrique avec la prec^dente : done, etc.
467. {Fig. 96.) Pour faire servir cette propriety des helices au developpement de rhelico'ide sur un de ses plans tangents, nous choisirons le plan LL'X' qui est perpendiculaire au plan vertical, et qui renferme les deux droites (LX, L'X"), ((J;a, L'a^), tangentes aux deux helices projetees sur A€X et YaB. Or, comme ces droites devront se retrouver tangentes aux deux cercles dans lesquels ces helices se transformeront, il n'y aura qu'a rabattre ce plan autour de LL^ avec les deux tangentes en question, qui deviendront evidemment LX'' et ifa!'\ puis, Clever sur ces demieres lignes les perpendiculaires X''0'' et a"0'', qui determineront le centre O'' et les rayons de ces deux transformees circulaires.
Cela pose, sur \^fig. 97, et avec un rayon O^Xj egal a la droite 0"X'' de layfg^. 96, je decris une circonference sur laquelle il faudra marquer des arcs qui aient la meme longueur que les arcs d*helice projetes sur A6, Sy, ye^,... Or, puisque la demi-spire (ASyX, A'S'/^') ®*t 6gale en longueur (n*^ 449) k sa tangente (LX, L'X'), nous tracerons la tangente X2L2, ^gale k X'L', et, aprfes avoir divis^ cette droite X, L, en huit parties egales, nous les reporterons sur la circonf6rence depuis Xa jusqu*en Aa et A, ; alors Tare de cercle AaX, A, sera la tromformie de la spire entiere ( ASyXA, A'6'yX'A''). Ensuite, nous menerons les tangentes ?aBa> y2Ca» c^aDa,..., que nous ferons Egales ^ i, !2, 3,... des divisions deXaLa, etce seront les vraies longueurs des generatrices de Thelicoide, comprises depuis Tarete de rebroussement jusqu'au plan horizontal ; de sorte que la nappe mfirieure de cette surface se trouvera d^velopp^e suivant la forme
Aa^aya^a A3 Ua Is LiaLia-^dAaf
GlIAPITRE I. *- Hl&LICE, ET HELICOIBE DiVBUIPPABLE. 1 93
dont le contour exterieur est evidemment la developpante du cercle Aa>2 As» tandis que la circonference ¥2(1^62(^2 sera la transformee de I'autre helice (FaSo), Fa'S'w'). Quant au developpement de la nappe supdrieure de rhelico'ide, on Tobtiendrait en proloDgeant chaque generatrice Fa<p2y demaniere que sa longueur totale F9/3 egalat { le double de £2X3.
468. Nous aurions pu eviter de recourir a la seconde helice (Fafi, F'a'5'), pour trouver le rayon OjXa = O^X'' du cercle suivant lequel se transforme I'helice primitive (ASyX, A'S'y'X'), attendu que ce rayon doit etre precisement le rayon de courbwre (n® 198) de cette derniere helice; car, dans le developpement d'une surface developpable, on salt [note du n° 179) que Tarete de rebroussement conserve les m^mes angles de contingence qu'auparavant, ainsi que des arcs de meme longueur; desorte qu'elle garde la meme courbure, mais seulement elle perd sa tor^ sion, comme nous I'expliquerons plus en detail au n° 634. D*ailleurs, nous verrons au n^ 676 que le rayon de courbure d*une helice est donn^ par la formule
p = R{i+tang«a>) = ^,
oil &) d^signe Tangle de la tangente k Th^lice avec le plan de la base orthogonale du cylindre, etR le rayon de cette surface (*). Or cette expression est susceptible d'une construction fort simple; car, si par le point £' de lay?^. 96, etparallelement a la tangente L'X', on tire la droite E'F sur laquelle on elevera la perpendiculaire FK\ la comparaison des triangles rectangles conduira aisement k la relation
E'A' = E'K'cos*w;
(*) Si Ton veut trouver directement celle formule, on pourra employer le moyen suivaot qui m'a ^t^ communique par If. Catalan, r^p^iileur & T^cole Polylechnique. Solent MP et PQ (fig. 98) les projections de deux elements 6gaux de rb^lice, correspondants au point (P, P') pour lequel le plan osculateur contient (n* 463) le rayon du cylindre (PO ,P'), et projetle ces deux 61toents sur la droite M'P'Q' qui fail Tangle a> avec la base du cylindre. Si Ton fait tourner ce plan osculateur autour de la droite (PO, P'), jusqu'^ ce qu*il devienne horizontal, les deux elements seront rabattus suivant Pm et P^; puis, en ^levant des perpendiculaires sur leurs milieux, le rayon de courbure de Tbi^lice sera represent^ par Pgi> ou |PP. On a Evidemment
^oik Ton d^duit, en obeervant que PM est la projection de la droite P'M'=: Pm,
pMy co?w
On pourrait aussi rattacher cette m^tbode k la formule g^n^rale p = — trouv^ au n® i98, en observani qn'ici Tangle de contingence c a pour vraie grandeur le supplement de mPq; or on a evidemment^
PH /ISC'* — 1\ . , , . ™ (PM)' //y'cos*»
p^ = cos(-^j=smi. = i., et PH = i^ = -^^;
d'o^ Ton conclut
rffcos'w , R
« = — 5 — et p = — J-, R *^ cos'»
cc qui juslifie la construction employee dans le texte,
Grnni^irie Lcmy, ^5
194 MVRF VI. — QCESnOKS DIVBBSES.
d'oii il suit que le rayon de courbure de Thelice est p = E'K'. Cest done avec celte longueur (qui doit se trouver egale a 0''X") qu'il faudra decrire le cercle OaXj de la fig. 97 ; et ensuite, les autres operations graphiques s'effectaeront comme au second paragraphe du n'^ 467.
