CHAPITRE II
I DES EPICYCLOIDES.
469. {PL 47»/s"- !•) Une eourbe mobile xay est dite /Dufcrsur une courbe fixe XAY, lorsque des elements egaux ab = AB, be = BC, erf = CD,..., viennent s'appliquer respectivement les uns sur les autres, de telle sorte que le point b arrive k coincider avec B, ensuite c avec C, rf avec D, et ainsi des autres. Ceh equivaut a dire que le lieu du contact, qui est actuetlement en A et a, doit parcourir, dans le meme temps, des espaces egaux sur les deux courbes a la fois; tandis que, si ces espaces etaient inegaux, et que le point b vint k coincider avec C, il y aurait k la fois roulemenl et glissement d'une courbe sur I'autre; et enfm, il n'y aurait qu*un simple glissement, sans aucune rotation, si c'etait le meme point a de la courbe mobile qui vint coincider successivcment avecB, C, D,... D'ailleurs, ces distinctions s'appliquent pareillement a des courbes gauches, comme a celles qui seraieat situees dans le meme plan ou dans des plans dift'erents, pourvu que la courbe mobile ait toujours une tangente commune avec la courbe fixe.
470. Pendant la rotation de la courbe xay, un point quelconque m, fixe sur cette ligne mobile et entraiue avec elle, decrira dans Tespace une autre courbe mz que nous allons apprendre a construire par divers exemples; mais, dans tous les cas, la tangente mt, relative a une position quelconque, sera toujours /?e/pe/lrf^cl^kdre a la droite km^ qui reunit le point generateur avec le point de contact corre»pondant. En effet, lorsque les deux courbes xy et XY se touchent en A, elles ont en cet endroit un element commun AA'; or, pendant que les deux Elements ainsi confondus se detachent, et jusqu*a ce que les elements voisins ab et AB soient parvenus a coincider, le sommet A reste immobile^ et le point generateur m decrit un arc mm! infiniment petit et situe evidemment sur la sphere du rayon Am. Done, la tangente mtf qui doit 6tre le prolongement de cet element mm!, sera bien perpendiculaire k la droite Am, laquelle se trouve ainsi normale a la courbe mm'z. D'ailleurs on voit bien que ce raisonnement s'appliquerait de meme a tout point n qui, sans etre situe SUP le perimfetre de la courbe roulante xy, sp trouverait lie fixement avec elle, et decrirait une autre courbe nudont la normale serait encore An. Done, dans tousles cas, la droite qui joint le point de contact de la courbe roulante avec k point genera-ieur, est une normale a la courbe que decrit ce dernier point.
Si Ton voulait conserver a la demonstration precedente toute la rigueur de forme dont elle est susceptible, il faudrait d'abord substituer aux deux courbes xy et XY ileux polygones [Jig. n) k cotes respectivement egaux; puis, en les faisant rouler
CHAPITIIB II. — DE8 ^CTCLOIDBS. tQD
4'ttn sur Tautre, de maniere que leurs plans fissent entre eux un angle constant ott variable, le point m d^crirait une (igne discontinue mmm!\,. composee d^arcs sphiriques qui auraient leurs centres successife en A, B, G...., et telle, que la tangente mt au point m serait perpendiculaire sur Am. Or il est evident que cette deriii^re propri^t^ subsistera toujourd, quelle que soit la grandeur des cotes et des angles des deux polygenes : seulement, k mesure que les angles augmentent et que les cotte d^croissent, les arcs mm!, wlm''^...^ diminuent de longueur, et deux rayons cons^cutifs sent plus pr^s d*^tre 6gaux, ce qui rapproche de plus en plus la ligne fHrn^m"... d'une courbe continue. Done, puisque dans toutes ces variations Tangle Am/resteconstamment droit, il en sera encore de mdme quand les deux polygenes seront devenus deux courbes quelconques, par exemple deux cercles; ainsi, dans ce dernier etat, la courbe continue decrite alors par le point m aura pour tangente en ^Mune droite perpendiculaire sur Am.
ipicychides planes.
471. Premier cas. {PL kl^fig^ 3.) Considerons un cercle mobile 0' qui roule exterieurement sur un cercle fixe 0, en demeurant toujours dans le meme plan que ce dernier, et adoptons pour point gen^rateur le point de contact actuel D de ces deux circonferences. Lorsque le cercle 0' aura roule jusqu*k toucher Tautre en un point quelconque A4 , on retrouvera la position correspondante M du point generateur D, en decrivant, du point 0'^ comme centre et avec le rayon O'D, une circonference sur laquelle on prendra un arc A4M de meme longueur absolue que Tare A4D, ce qui s'efFectuera en mesurant ce dernier au moyen d'une tres-petite ouverture de compas. Mais ces operations s'executeront avec plus de rapidite, si Ton a eu soin d'abord de diviser la circonference mobile en parties ^ales, et de les reporter sur le cercle fixe suivant DA|, A4A2, AsAs^*.; car alors il suffira de decrire deux arcs de cercle, Tun du centre 0'^ avec un rayon O4M = O'D, I'autre du centre A4 avec un rayon A4M egal k la corde D4 du cercle primitif 0'. Des constructions semblables elTectuees pour d'autres points de contact Ag, A,^..., permettront de tracer aisement la courbe DMGF nommie ^picygloide extArieu^ laquelle comprend une infinite de branches identiques a celles que nous venous de citer, et qui se rattachent les unes aux autres par des points de rebroussement tels que D et F.
472. La tangente au point M de cette courbe sera pr^cisement la droite MT, eorde supplementaire de MA4, puisque nous savons (n^ 470) que cette demiere est normale k T^picycloide. Cette propri^td fournit m^me un trace beaucoup plus simple et bien suffisant pour les engrenages; car, si Ton decrit divers arcs de cercle ayant pour centres les points A^ A3, A3,..., etpour rayons les cordes Di, D^, D3^..., du cercle primitif 0'; puis, si Ton trace une courbe enveloppe de tons ces arcs, cette enveloppe sera precisement Tepicycloide DMGF, attendu que les cordes dont nous venous de parler indiquent ^videmment ( n^ 470) les longueurs des
196 LIVRE VI. — • QUESTIONS DlVEftSES.
normojles telles que MA4 , qui aboutiraient aux points de contact suecessifs A| > A, , As 9..., du cercle mobile. Cest la methode proposee par M. Poncelet.
473. On pourrait adopter un point generateur D' situ^ hors du cercle mobile, mais lie avec celui-ci d'une maniere invariable. Alors ce point D' decrirait une courbe k noeud D'M'6'... que Ton nomme dpieycloide raUongie, et qui seconstruirait en prenant, sur chaque rayon O4M9 determine comme au n^ 471 » une distance MM' = DD'. La droite A4M' serait encore (n® 470) normale a cette courbe; ainsi la tangente M'T' devra etre menee perpendiculairement k A4M'.
Si le point generateur D'^ etait en dedans du cercle mobile, la courbe decrite alors serait une ipicycloide raccourcie D"M''G'^ laquelle ofTrirait des points d'inflexion au lieu d'un noeud. Un point quelconque M'' de cette courbe s'obtiendra aussi en prenant, sur le rayon OVM, construit comme au n° 471, une distance MM'' = DD"; et puisque la droite A4M'' sera encore (n^ 470) normale a cette epicycloide, la tangente M''T" s'en deduira immediatement.
On pourrait aussi (n** 472) se contenter de tracer ces courbes comme Tenveloppe de tous les arcsdecrils des centres A| , A2, A^,..., avec les normales D'l, D'j, D'3...,ouD"j,D"2,D''3,...
474. DEUxifeME CAS. {Fig. 40 Lorsque le cercle mobile 0' roule dans la concavite du cercle fixe 0, et que le premier a un rayon R' < ^R, le point generateur D decrit une epicycloide interieure qui presente la forme DGF, et qui se construit, du reste, comme precedemment. Si Ton choisissait le rayon R' = |R, comme dans la fig. 5, la courbe DMFDT' aurait une forme et une equation toutes semblablesa celles de la developpee de Tellipse [fig. 76), avec la seule difference que les quatre points de rebroussement seraient ici places a egales distances du centre {voyez la note An n*'492).
475. [Fig. 4-) ipicycloide rectiUgne. Ce cas tres-particulier, et fort utile pour les engrenages, se presente quand on choisit le cercle mobile 0'' de maniere que son rayon R" = |R; car alors Tepicycloide decrite par un point du cercle 0" se trouve confondue avec le diametre D'^OD qui passe par la position initiale D" du point generateur. En effet, si nous considerons le cercle mobile a une epoque quelconque de sa rotation, ou il touche le cercle en A et ou il coupe le diametre D"OD en M, il suffira de prouver que les arcs AM et AD'' sont egaux en grandeur absolue^ puisque alors il sera certain que le point generateur, place d'abord en D'\ sera venu en M sur le diametre D^'OD. Or Tangle AO"M est ^videmment double de AOD"; done les arcs AM et AD'' sont aussi doubles Fun de Tautre, quant au nombre de degr^s qu'ils contiennent : mais le premier de ces arcs appartient k une circonference qui n'est que la moitie de Tautre ; done la longueur absolue de AM egale celle de AD''.
476. Troisieme cas. {Fig. 6.) Supposons maintenant que le cercle mobile 0^ qui roule dans la concavite du cercle 0, ait son rayon R' > -^R; je dis que I'epicycloide DGF, decrite alors par le point generateur D, coincidera avec celle que decrirait un troisieme cercle 0" qui aurait un rayon R" = R — R', et qui roulerait en
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sens contraire de 0'. Pour le prouver, je considfere le cercle mobile 0' parvenu dans la situation quelconque ^ ou le point gen^rateur D oceupera une position M telle que Tare AM = AD : je tire la droite MOj , et sa parallMe OB; puis, j'achfeve le parallelogrammeOO'aMO", qui me donne 0"B = 0"M = R — R', et je trace enfin le cercle C. Cela fait, il n*y a plus qu'a demontrer que les arcs BM et BD ont la meme longueur absolue; or les trois arcsBA, AM, MB, qui mesurentdes angles evidemment egaux, doivent Stre proportionnels a leurs rayons, ce qui donne
BA AM BM R "^ R' "" R" '
et puisque Ton a pris K' ■+• R' = R, il en resutte que BM -+- MA = BA : mais dejk Ton sait que Tare AM = AD ; done il reste BM = BD.
477. QuATRii^ME CAS. {Fig. 7.) Enfin, supposons que le cercle mobile O'ait un rayon R' > R, auquel cas il enveloppera le cercle fixe. Alors Tepicycloide decrite par le point generateur D se trouvera exterieure^ et chaque branche DGF oceupera, sur le cercle fixe, un arc DEF egal k Texcfes de la circonference 0' sur la circonf<6renceO. D'ailleurs on demontrera aisement, comme au n® 476, que cette epicycloide DGF coincide avec celle que decrirait un cercle C tangent exterieurement au cercle 0, et dont le rayon serait R" = R' — R.
478. {Fig. 8.) Lorsqu'on suppose infini le rayon R du cercle fixe, ce cercle devient une droite DAF sur laquelle route le tercle 0' ; et un point quelconque M de la circonference de ce dernier d^crit alors la cycloide DMGF, dont la normale est encore MA et la tangente MT. Le trace de cette courbe s'efTectuera aisement par les moyens indiques aux n^ 471 et 472, sans qu'il soit besoin de les repeter ici. D'ailleurs, la cycloide %Gtz\i raUongee ou raccourcie^ comme au n^ 473, si le point generateur etait place au dehors ou au dedans du cercle mobile. Quant aux autres lignes de cette figure, nous en parlerons au n^ 822 bis.
479. {Fig. 9.) Au contraire, si c'est le cercle mobile qui acquiertun rayon infini, ce cercle deviendra une droite indefinie DX, qui, en roulant sur la circonfi§renceO, decrira, par chacun de ses points D, une spirale DM'M^'M''..., laquelle n'est autre chose que la dSveloppante dn cercle (n^ 197). D'ailleurs, comme les normales M'A', M"A'',..., sont pr^cisement les rayons de courbure (n® 198) de cette spirale, si des points A', A'', A"^,..., on decrit avec des rayons ^gaux a Da^ Da'', Do^,..., des. arcs de cercle, ces arcs se confondront dans une etendue assez considerable avec la spirale meme, et ils fourniront un moyen trfes-exact et trescommode pour tracer cette courbe.
Epicychides spheriques.
480. {Fig. 99. ) Gonsiderons maintenant deux cercles OA et CA, dont le second roule sur le premier, en lui demeurant toujours tangent, mais de mani^re que leurs plans fassent entre eux un angle constant GAX = gj : pendant cette rotation, un point quelconque M, fixe sur la circonference mobile et entraine avec elle, decrira dans I'espace une courbe DM... qui se nomme une epigtgloide sphdrique^ parce
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qu'elle est situee tout enUere sur la surface d'une sphere constante. En efiH, si, par les centres des deux cercles, on eleve sur leurs plans les perpendiculaires OS etCS, ces deux cutes iront se rencontrer necessairement dans chacunedes positions ducercle mobile; car, pour chaque point de contact tel que A, les plans AOS et ACS se trouveront evidemment perpendiculaires k la tangente commune AV, etdeslors Us coincideront D'ailleurs, comme Tangle OAC est le supplement de CAX = w» qui dcmeure constant pendant la rotation, il s'ensuit que le quadrilatere GAGS aura deux cotes ettrois angles dont la grandeur restera invariable, et consequemment il en sera de meme pour les cotes OS et CS, dont le point de rencontre demeurera immobile. D'oii il resulte que la distance de ce point S au point mobile M sera eonstamment egale a SA, et qu'ainsi I'epicycloide tout entiere se trouvera situee sur la sphere qui auraitSA pour rayon.
481. En outre, si Ton imagine deux cones de revolution, ayant pour sommet commun le point S, et pour bases les cercles OA et CA, il est evident que ces cdnes aurontun plan tangent commun SAY; et, par consequent, la generation de Tepicycloide pent s*enoncer de la maniere suivante : Si deux cdnes de revokLUon^ qui ont, toujours mAme sow/net et des gdneratrices de mime longueur, roulent I' an sur I'autre^ sans glisser, et en demeurant tangents le long d'une generatrice variable^ un point quelconque^ fixe sur la base du cone mobile, decrira la courbe nommee epicydoide spherique. En effet, on doit voir que, . par la, les circonferences des deux bases seront toujours tangentes, et que leurs plans conserveront une inclinaison constante ; et meme c'est la le moyen le plus commode pour realiser mecaniquement ces deux conditions pendant le roulement du cercle mobile sur le cercle fixe.
482. {Fig. too.) Construisons la projection de Tepicycloide sur le plan de la base du cone fixe, en regardant ce plan comme horizontal, et adoptons pour plan vertical celui qui passe par I'axe S' de ce cone et par le point de contact A des deux bases, dans la position actuelle qui se rapporte k une epoque quelconque du mouvement. D'apres cela, les deux cones seront projetes verticalement sur les triangles isoceles S' AE, S' AB', et la droite AB' representera la projection verticale du cercle mobile qui, rabattu autour de la tangente commune AY, deviendra le cercle Ami. Cela pose, soit D Torigine de Tepicycloide, c'est-k-dire la position qu^occupait le point generateur, quand il se trouvait en contact avec le cercle fixe : maintenant que le cercle mobile a parcouru, en roulant sur Tautre, Tare DA, le point generateur se trouvera place sur le rabattement en /n, a une distance curviligne Am, egale en longueur absolue a Tare AD {"). Mais en relevant le cercle Amb
( * ) Pour tracer T^pure, il est bon de commencer par diviser le cercle mobile en parties ^les, de mesurer une de ces parties au moyen de tr6s-petites cordes ; puis, de transporter celles-ci sur le cercle fixe, ce qui donnera un arc ^1 k Tune des divisions du cercle mobile. Ensuite, on r^p^tera cet arc du grand cercle autant de fois qu'il y avait de divisions dans le cercle mobile^ et Ton obtiendra Tdtendae DAP occupde par une branche de r^picycloide, sur le cercle fixe. \Iependant, si le rapport des deux, rayons AO et C A ^tait exprim^ par un nombre assez simple, il serait plus exact de prendre d'abord sur le cercle fixe un arc DAF, ^al k une fraction de cette circonf(6rence, exprimto par ce rapport; puis, on diviserait Tare DAF ea autant de parties ^les qu*on en aurait marqu6 dana le cercle mobiie.
