CHAPITRE II. ~ DES CPICTCI OIDES. I

autour de AV, on voit bien que le point (m, m') va decrire alopsun arc perpendicur hire a la charniere AV, lequel se trouvera projete horizontalement sur la droite mM, parallele k la ligne de terre, et verticalement sur m'M'; d'oii Ton conclura que (M, M') est un point de Tepicycloide demandee.

483. Pour en obtenir un second, il faudra imaginer que le cercle mobile a roul^ jusqu'a venir toucher le cercle fixe en A^, par exemple : alors, on pourrait recominencer, sur le plan vertical OA^ rabattu, des operations semblables a celles que nous avons executees sur le plan vertical OA; mais il sera bien p»!us simple de ramener toutes les constructions a s'efFectuer sur ce dernier. Pour cela, imaginons que les deux cones, parvenus a se toucher le long de Tarete qui aboutit en A^, tournent simultanement, et sans changer kurs positions relatives, autour de la verticale OS', jusqu'a ce que le rayon OA^ vienne coincider avec Tancienne ligne de terre OAX, Alors le point generateur sera situe sur le cercle mobile rabattu, non plus en m, mais h une distance An, egale a Tintervalie DA^ compris entre I'origine D et le point de contact dans sa vraie position, qui est Ae* De sorte que si Ton construit, comme ci-dessus, les projections N et N' du point rabattu », il n'y aura plus qu'Ji ramener OA en OA^ , puis k trouver un point N" place, relativement a cette derniere droite, dans une situation toute semblable a celle deN par rapport a OA; ce qui s'executera au moyen du cercle decrit avec la distance ON, sur lequel on prendra Fare FN" egal k IN.

484. On agira de meme pour toute autre position du point de contact des deux cercles; et quand ce contact aura lieu au milieu K de Tare DKF, 6gal a la circonference du cercle mobile, on voit bien que le point generateur se trouvera rabattu en 6, qui se projette en B' et B : si done on ramene ce dernier point sur OK, au moyen d*un arc de cercle BG, on obtiendra le sommet G ou la projection horizontale de Tepicycloide s'ecarte le plus du cercle fixe.

Observons enfin que les points D, M, N", transport's symetriquement au delk du rayon OG, au moyen d'arcs de cercle, fourniront des points F, M*, N"', qui appartiendront encore k Tepicycloide, laquelle aura pour a^e la droite OG, et admettra une infinite de branches identiques avec DGF.

485. Les constructions prec'dentes donnent aussi le moyen de tracer la projection verticale de Tepicycloide, puisque M' appartient k cette projection; et quant an point (N,N'), qui a et6 transporte en N'', sans changer de hauteur, on retrouverait bien ais'menl sa projection verticale dans cette derniere situation. Mais nous n*avons pas voulu effectuer ce trace, dans la crainte de rendre Tepure un peu conr fuse, et surtout parce que nous regardons ici le plan vertical de projection seulement comme un moyen d'executer nos operations graphiques, et non comme existant reellement; attendu que sa presence aurait rendu invisibles une grande partie des lignes de fpure. D'ailleurs Tepicycloide est suffisamment determinee par rintersection du cylindre vertical DMGF, avec la sphere du rayon S'A qu'il est facile de representer sur le plan horizontal.

486. De la tangente a Vepicychide. {Fig. too.) Puisque cette courne est tout

200 LIVBE TI. -- QUBSnOMS DIVERSES.

entiere (n^ 480) sur ia sphere fixe qui a pour centre le sommet S' et pour rayon rapotheme S'A, le plan tangent de cette sphere en (M , W) renfermera dejk la tangente demandee. Ensuite, comme nous avons demontre au n^ 470 que la droite (AM, AM')> qui joint le point generateur avec le point de contact correspondant A, est une normale a Tepicycloide, nous en pouvons conclure que la tangente cherchee se trouve aussi dans un plan perpendiculaire a cette droite, lequel pent etre regarde comme le plan tangent d'une sphere qui aurait son centre en A, et pour rayon la droite (AM, AM'); mais cette seconde sphere est variable de position etde grandeur, en passant d'un point a un autre de Tepicycloide, et elle ne fait que toucher cette courbe avec laquelle elle n'a de commun qu'un element lineaire. D'apres cela, leprobleme se reduit k chercher Tintersection du plan tangent a /a i^Aer^yZr^ avec le plan tangent k la sphere variable.

487. Pour y parvenir, coupons ces deux spheres par le plan B'AV, qui contient la base AB'du cdne mobile. La section faite ainsi dans la sphere S'A sera evidemment le cercle AB' lui-meme; rabattons-le suivant kmb^ et menons-lui la tangente mP qui, dtant relevee, rencontrera le plan horizontal en P sur la charnifere AY : des lors ce point P appartiendra k la trace horizontale du plan tangent de la sphere S'A, et cette trace sera la droite PT menee perpendiculairement sur la projection OM du rayon qui aboutit au point propose (M, M'). Quant k la sphere variable dont le rayon est (AM, AM'), elle est coupee par le plan B'AV suivant un grand cercle qui, rabattu sur le plan horizontal autour de AY, deviendra le cercle decrit avec Am pour rayon . Menons-lui la tangente mQ ( laquelle doit abou tir au point b),ei relevons cette droite avec son cercle, pour trouver sa trace horizontale Q sur la charniere AY; dfes lors ce point Q appartiendra a la place du plan tangent de la sphere variable, et cette trace s'obtiendra en menant QX perpendiculaire sur la projection AM du rayon correspondant. Cela pose, les traces QX et PT des deux plans tangents allant se couper au point T, la droite TM sera la projection horizontale de la tangente k Tepicycloide; et la projection verticale T'M' s'en deduira, en projetant le point T sur la ligne de terre.

488. Autre mithole. [Fig. loo.) On pent obtenir cette tangente d'une mani^re beaucoup plus simple, par le precede Am plan /ion7za/(n^2i4), car ici nous connaissons immediatement deux normales a Tepicycloide : Tune est le rayon de la sphere constants mene du sommet S' au point (M, M'); Tautre est la droite (MA, M'A), d'aprfes ce que nous avons prouv^ au n^ 470. Par consequent, si nous faisons passer un plan par ces deux normales, la tangente cherchee devra lui etre perpendiculaire, et ses projections seront ainsi determinees. Or la premiere de ces normales va ^videmment percer le plan vertical en S' et la seconde en A; done S'A est la trace verticale du plan normal. Quant a Fautre trace, imaginons, dans le plan normal, une droite auxiliaire parallele a S'A; ses projections M'R, MR donneront le point R, ou elle perce le plan horizontal ; et, par suite, AR sera la trace horizontale du plan normal. Des lors la tangente a Tepicycloide s'obtiendra en menant MT perpendiculaire sur AR, et M'T' perpendiculaire sur AS'.

' cnAprrRK ii. — i>bs tSpictcloides. aoi

489. 11 importe d'observer qu'aux points de rebroussement D et F, la projection horizontale de repicyclo'ide a pour tangentes les rayons OD et OF. En effet, la droite Tariable (AM, AM'), k laquelle la tangente dans Tespace est toujours perpendiculaire, etant prolongee indefiniment, est une secante par rapport au cercle mobile, eomme on le voit par son rabattement Am. Or, ses deux points de section A et /n se trouvant r^unis quand le point de contact A du cercle mobile est arriv6 en D, la droite indefinie rabattue suivant km devient alors tangente au cercle mobile dans le point m^ et, par suite, tangente au cercle fixe dans le point D, puisque a cette epoque les deux cercles sont en contact par les points m et D. Done la tangente au point D du cercle fixe DA se trouvera etre precisement la normale de Tepicycloide et en m£me temps la trace horizontale du plan normal; et, consequemment, la tangente de Tepicycloide sera projet^e horizontalement sur le rayon ODX'.

Quant a la projection verticale de cette meme tangente, il suffira de projeter son pied D en D' sur la ligne de terre, et d'abaisser de ce dernier point une perpendiculaire sur la trace verticale du plan normal relatif au point D. Or cette trace s'obtiendra fort aisement, puisqu'elle passera evidemment par le point S' et par le point oil la ligne de terre rencontrera la seconde normale, qui est, comme nous venons de le prouver, confondue avec la tangente de Tare DA.

On agira d'une manifere toute semblable pour trouver les projections de la tangente k I'autre extremite F de Tepicyclcide; et Ton doit apercevoir que chacune de ces tangentes en D ou en F coincide precisement avec la tangente du grand cercle vertical de la sphere coustante dont le rayon est S' A.

490. Pour le sommet de Tepicycloide, qui est projete en G, la tangente sera horizontale et perpendiculaire au plan vertical OKG; car ce plan contiendra evidemment les deux normales du n^ 488, quand le point generateur sera parvenu a Textremite superieure B' du diam^tre mene par le point de contact du cercle mobile.

491. [Fig. loo.) Lorsque nous avons cherche (n° 487) la trace QX du plan tangent a la sphire variable dont le rayon est (AM, AAf ), nous nous sommes appuyes sur ce que ce plan devait contenir la tangente rabattue suivant Qm6. Or, quand elle sera relevee dans le planB'AV du cercle mobile, elle ira percer le plan vertical en B'; done B'X est la trace verticale du plan tangent a la sphere variable. En outre, cette droite doit se trouver perpendiculaire k B' A, car c'est sur cette derniere droite que se projette le rayon (AM, AM') mene au point de contact de ce plan tangent.

492. Observons d'ailleurs que, dans les diverses positions A, A,,..., que prend le point de contact du cercle mobile, la projection AB' de ce cercle, sur les plans verticaux correspondants 0A» OA,,..., aura toujours la meme grandeur et la meme inclinaison; de sorte que pour tous ces plans, le triangle rectangle AB'X restera invariable de grandeur, et, par suite, les traces XB' des divers plans tangents aux spheres variables iront toutes rencontrer la verticale OS' au meme point Z'. De la il resulte que si Ton avait a considerer un cone dont le sommet fut en Z\ et qui eiit pour base T^picycloide spherique^ tous les plans tels que Z'XQ lui seraient tangents, puisque chacun d'eux renfermerait le sommet et une tangente de la base.

Geometric Lcroy, 20

En outre, tous ces plans tangents yiendraient passer success! vement par la droite fixe Z'X, lorsque le cone ^picychidal, en tournant autour de 0Z\ ainenerait en Ai les divers points N'\ G, N"^,... Gette propriete est employee dans les engreoage* coniques, qui sep>^ent a faire uiouvoir les roues d' angles (voyez le n** 883) [*].

495. DEVELOPPANTE SPHEWQUE. {Fig. loi.) torsque le cone nwbile a(>quiertune ouverture telle, que Tangle au centre ASB [feg. 99) devient egal a iSo°, ce cone se reduit a un cercle dont le rayon egale I'apotlieme SA du cone fixe, et dont le plan est tangent a ce dernier c6ne; dans ce cas particuller, repieyelo'ide decrite alors par un point M du cercle mobile, revolt le nom de developpante sphd-riquey attendu que la question revient a dire simplement que Ton fait rouler sur un cone f^xe S'AO un de ses plans ts^ngents S'AY, comme, dans lay%. 9de. UP/. 47* nous avions obtenu la spirale developpante du cercle en faisa^t rouler sur f ette circonference une de ses tsMiigentes.

494. [Fig- 101 .) Comxne la courbe en question est tout entiere sur la sphere du rayon S' A» il suffira de construire sa projection horizeAtaJie . A cet efKet, rs^battoos le cercle mobile dont le centre est au sommet (S', 0), autour de la tangente AY qui lui est commune avec le cercle fixe; et sur ce rabattement S'' prenons un arc A/» egai k Tare AD, si Ton adopte D pour Torigine de la developpante, c'est-a-dire pour b

[*] Gherchons les dquaiions qui d^lerminent I'epicydoide sph^rique (>%. 100), ea rapportant eette

courbe aux trois axes reclangulaires OX', 0Y\ OZ', dont le premier pasae par le point de rebroussement 0.

Si Ton pose

0S'=^, OA = R, CA = R', angle B'AA = «,

on aura MdemmeAi

pour r^uation de la sphere constante, sur laquelle est situ^e repieyelo'ide tout entiere; de sorte que cetle courbe se trouvera coropl^tement d^finie, en poignant k P6quatiou pr^cMente cetle de- sa projection bori" zontale DMGF. Or, si nous appelons a Tangle DOA, nous en conclurons que

Ra R.a = AD = Aiw; d'oQ angle Arm = -^ 1

et alors nous aurons pour les coordonn^s du point M, rapport^ d'abord aux axes OX et OT,

x= OA-h AH = R-h ^R'- R' cos^^ cosw,

r=-MH = -R'sin^.

Mais pour revenir de ces axes, qui seraient mobiles avec le point (ie contact A, aux axes fixes OX' et OY', il faut employer les formules connues

jc'ssxcosoc— jr sina, y =5X8ina-4-^coaa;

done, en substitiiant id left valeurs pr^c^dentes de 4: et de y, il viendra

R tt n A

(a) x'= (R-l-R' cosw) cosa — R' cosrgy cosw cosa-4- R'sin ^— aina,.

11 ' It

Ret R a

(3) y = (R-hR' cosw) sin a — R' cos -^ cosw sin a — R' sin-^cosa.

11 resterait maintenant a eliminer Tare a entre ces deux Equations pour obtenir celle de la courbe DMGF

CHAMTIIK n • — UBS £piCTCLOIIIGS« ^oi

poBitioQ qu'occnpait le point generateur lorsqu*il se trouvait en contact avec le cone fixe. Alors m sera le rabattement de ce point g^nerateur quand le contact est arrive en A» et sa position v^itable (M, M') se deduira aisement de la, en relevant le cercle S"dans le plan tangent S'AV, autour de la charnifere AV.

Lorsque le cercle mobile aura roule jusqu'k toucher le cercle fixe en A, on imaginera que tout le systeme tourne simultan^ment, sans rouler, autour de la verticale S'O, pour amener le rayon OA5 sur la ligne de terre OA; alors, en prenant Tare A/i s= DA|^ le point generateur se trouvera rabattu en n, et projet6 en N et N' : mais ensuite, pour reporter le cercle mobile dans sa vraie position, on decrira avec le rayon ON une circonference sur laquelle on prendra Tare NN5 egal K Tare II5, compris entre les rayons OA et OA5 ; de sorte que N5 sera le point cherch6. On trouvera ainsi DMNsPGQFpour la projection horizontale de la developpante spherique.

495. La iangente au point quelconque (M, M') devra fitre menee perpendiculaire sur le plan des deux normales dont nous avons parle au n* 488, lesquelles sont les droites qui reunissent le point generateur (M» M') avec le centre (0, S') et avec le point de contact actuel A. Or ce plan normal coincide evidemment avec le plan S' AV oil est situ6 le cercle mobile, et qui est tangent au cdnefixe; done il suffira de tirer MT perpendiculaire sur x\V, et M'T' perpendiculaire sur S'A.

496. On doit apercevoir que la branche DMPGQF> qui sera decrite au bout d'une

sur le plaa horizontal ; mais cette Mimination ne pouvant s'elfectuer que quand on aura fix^ num^riquement le rapport des rayons R, R', et quand ce rapport sera un nocnbre commensurable, nous garderons les deux Equations (a) et (3) qui suffiront pour calculer les ooordonnees x' ety des divers points, en attribuant k a difT^rentes valours successives.*

Pour passer de \k k I'^picycloide plane, il suffira de poser cos&> = =t= i, selon que le cercle mobile roulera au dehors ou au dedans du cercle fixe; et si, en nous arr^tant k ce dernier cas, nous supposons d'ailleurs que R' est le quart de R, comme dans la/^. 5 de la PL 47, les ^uations (2) et (3) deviendront

(4) «' = {Rcosa-H|R cosa cos4iH- JR sina sin4a,

(5) /= TRsin*-+-|R sina co94a — |R cofta sin4«;

puts, si roQ substitue dans ces demi^res valours connues

cos4a = 1 — 88in*acos*a, sin 4a = 4slna cosa(cos'a — sin* a), on trouvera, en supprimant les accents qui deviennent inuliles k pr^sent^

X = R cos* a, 7 = R sin'a.

Maintenaut TdUmination de a est facile; car, en ajoutant ces ^uations apr^s les avoir 6lev^ k la puissance \y ii restera pour r^picycloide representee dans \9ifg, 5 de PL 47,

C'esl done un cas particnlier de U ddveloppte de I'ellipee qui a poar Aqnatim

et ces deux eourbes appariieniieni k la famille des storuidesy qui sont representees generalement par

2o4 LIVRE VI. — QUESTIONS DIVEBSBS.

revolution entiere du cercle mobile, occupera sur la base du cone un arc DA6F, egal a I'exces de la circonference S" sur la circonference 0; mais, en outre, il faut bien remarquer que cette branche se composera de deux parties reunies par un rebroussenient au point G, au milieu de DGF, lequel est la projection de la position la plus elevee du point generateur. Pour se rendre compte de cette circonstance, il faut imaginer la nappe sup^rieure du cone S' AE prolongee jusqu'a ce qu'elle soit terminee par un cercle egal a celui du rayon OA, et observer que le cercle mobile S" se trouve dans un plan variable qui touche a la fois les deux nappes du cdne, suivant une generatrice egale au diametre de ce cercle S" ; d'oii il resulte que, pendant qu'un certain arc Am de la circonference mobile route sur la base inferieure du cone, I'arcdiametralement oppose roule en meme temps sur la base sup^rieure; et, consequemment, lorsque le point generateur m est arrive au milieu de sa course, il se trouve en contact avec cette base superieure, et il y produit un rebroussement tout ^ fait identique avec celui qui avait eu lieu au point de depart D sur la base inferieure du cone. Quant aux autres lignes que renferme cette epure, nous en parlerons au n^ 669.