CHAPITRE III

SUR LES SPHl^RES ET LES PTRAMIDES.

497. Trouver V intersection de trois spheres donndes. {Fig. loa.) Adoptons pour plan horizontal celui qui contient les centres A, B^ C des spheres proposees, et decrivons les grands cercles qui sont les traces horizontales de ces surfaces. Alors, si les circonferences A et B se rencontrent aux points D et E, il est clair que le cercle vertical, decrit sur DE comme diametre, sera Tintersection des deux spheres A etB; tandis que les spheres A et C se couperont suivant un autre cercle vertical projete sur FG. Maintenant, si les deux cordes DE et EG se rencontrent en M, on pourra affirmer que les circonferences projetees sur ces cordes se coupent effectivement en deux points qui seront projetes horizontalement en M; et ces points de Tespace se trouveront evidemment communs aux trois spheres en question. Pour achever de fixer la position de ces points, projetons-les sur un plan vertical quelconque XY; en rabattant le cercle DE autour de son diametre horizontal, et tirant Tordonnee Mm, cette droite mesurera evidemment la hauteur de Tun des points cherches audessus du plan horizontal : done, en prenant au-dessus et au-dessous de XY les distances IM' et IM'', egales a Mm, on obtiendra les projections (M, M') et (M, M"") des deux points demandes.

498. Si Ton avait cherche Tintersection des deux spheres B etC, on auraitobtenu un cercle vertical dont la projection HK aurait du n^cessairement passer aussi par le point M; d'ou Ton pent conclure ce theoreme de geometric plane : Quand trois circonferences trades dans un mime plan se coupent deux d deux^ les points de section

€HAPlTaE 111. — sua LES SPHERES ET LES PTKAMIDBS. 205

correspondants se trouvent situes sur des cordes qmpassent toutes trois par un mime point da plan.

499. Constndre une pyrcanide triangulaire dont les six ar6te$ sont connues de grandeur. {Fig. 102.) On tracerad'abord, sur le plan horizontaU une des faces ABC de la pyramide, au moyen des trois aretes donnees qui se rapportent a cette face; ensuite on determinera le quatri^me sommet (M, M') en cherchant, comme dans le probleme precedent, Tintersection de trois spheres qui auraient pour centres les points A, B, C, et pour rayons les longueurs des trois autres aretes assignees par la question. II y aura evidemment deux pyramides symetriques Tune de Tautre^ puisque le dernier sommet pent etre place en (M, M') ou en (M, M"); et d'ailleurs on trouvera, par les m^thodes du livre P', tout ce qui pent interesser sur les angles plans, les angles diedres, etc., dechacune de ces pyramides.

500. Circonscrire une sphere a une pyramide triangulaire donnee. {Fig. io3.) Soient (A, A'), (B, B'), (C, C), (S, S') les projections des quatre sommets, sur deux plans rectangulaires, dont un renferme la face ABC; si ces projections n'etaient pas donnees immediatement, elles se determineraient comme au probleme precedent. Le centre de la sphere cherchee, devant etre k egale distance de ces quatre sommets, se trouvera a la fois dans les deux plans verticaux FO et GO, eleves perpendiculairement sur les milieux des aretes AB et AG; done ce centre sera quelque part sur la verticale (0, TO'), intersection de ces plans. De meme, il doit etre contenu dans le plan eleve perpendiculairement sur le milieu d'une troisieme arete appartenant k une autre face, telle que (SA, S' A') ; done, si Ton prend la peine de construire les traces de ce plan, ainsi que le point ou il ira couper la verticale (0, rO'), on obtiendra le centre demande. Mais comme ces operations seraient un peu longues, a moins qu'on n'ait eu le soin de choisir le plan vertical parallele a I'arete (SA, S'A'), on pourra ordiuairement les remplacer par la construction suivante :

Avec le rayon OB, tra^ons le cercle circonscrit au triangle ABG. Gette circonference appartiendra a la sphere demandee, et si elle est coupee par le plan vertical SD parallble k la ligne de terre, en un point (D, D'), on pourra dire que la droite (SD, S'D') sera une corde de la sphere, parallele au plan vertical; par consequent, le centre de cette surface devra etre situe dans le plan KL' eleve perpendiculairement sur le milieu de cette corde. Or ce plan va couper la verticale (0, TO') au point (0, 0'); done c'est la le centre de la sphere en question.

Quant au rayon de cette sphere, qui est projete sur (OB, O'B'), on obtiendra sa veritable longueur en le rabattant parallelement au plan vertical suivant (06, O'b'); done, si des points et 0', avec un rayon egal a 0'b\ on decrit deux cercles, ce seront les contours apparents de la sphere demandee, qui est ainsi completement determinee de grandeur et de position.

501. Inscrire une sphere dans une pyramide triangulaire donnee. {Fig. 104.) Prenons encore le plan d'une des faces ABG pour le plan horizontal, etsoit (S, S') le sommet situe hors de ce plan. Si, par Tarete AB, nous menions un plan qui divi-

2o6 LIYttB TI. — QUESTIONS DIVERSBS,

e&t ea deux parties ^gales Tangle di^dre forme par les faces SAB et GAB, ce plan ftwcctewr renfermerait evidemment tons les points de Tespace qui sont k egale disrtanee deces deux faces; done la sphere demand^e, qui doit toucher chacune de celles-ciy aurait son centre situe n^cessairement dans ce plan bissecteur. De meme, deux autres plans bissecteurs menes suivant les aretes AG et BC, de maniere a divi* ser en deux parties egales les angles di^dres qui ont ces droites pour aretes, contiendraient aussi le centre cherche; par consequent, ce centre est k Tintersection de ces trois plans bissecteurs, c'est-k-dire au sommet de la pyramide interieure qu'ils forment avec la base primitive ABG : ainsi la question est ramenee k trouver le sommet de cette nouvelle pyramide, ou bien les trois aretes qui y aboutissent.

Pour ceia, mesurons d*abord Tangle diedre SABG, en le coupant par un plan vertical SD, perpendieulaire a AB, et rabattons sur le plan vertical la section ainsi &ite, laquelle deviendra Evidemment Tangle S'D"H; construisons de meme les angles S'E''H et S'F''H qui mesurent les angles diedres AG et BG, puis divisons ces trois angles plans chacun par moities, au moyen des droites D''I, E^^L, PK : alors ces trois bissectrices, ramen^es dans les plans verticaux SD, SE, SF, appartiendraient aux faces de la pyramide interieure, qui a aussi pour base le triangle ABG. Par consequent, si Ton coupe ces bissectrices par un plan horizontal quelconque XT', on obtiendra trois points (^^ c", 9", qui, ramen^s en c)*, s, y, appartiendront a la section triangulaire abc faite par le plan X'Y' dans la pyramide interieure; done ce triangle abc est maintenant facile k tracer, puisque ses trois cdtes doivent Stre Evidemment parallfeles a ceux de ABG. Alors, si Ton tire les droites Aa, B6, Gc, ce seront les aretes laterales de la pyramide interieure, et elles devront aller se couper en un point unique 0, qui sera la projection horizontale du centre de la sphere demandee.

Quant k la projection verticale O' de ce mEme centre, elle s'obtiendra en projetant le point sur Tarete C& de la pyramide interieure; et le rayon de la sphere sera la perpendiculaire O'R' abaissee du centre sur la face inferieure. Done, en tracant avec cette droite O'R' deux cercles dont les centres soient en et 0', on aura les projections de la sphere cherchee.

502. Si Ton desire connaitre les points de contact de cette sphere avec les faces latErales, on pourra facilement construire les traces du plan indefini qui contient la face SAG par exemple; puis, on abaissera du point (0, 0') une perpendiculaire sur ce plan, par la methode genErale du n^ 35. Maisil sera bien plus court d'observer qu'un plan perpendiculaire k AG, et menE par le point 0, couperait la sphere et la face SAG suivant un grand cercle et une droite qui lui serait tangente; d'ailleurs, cette droite rabattue sur le plan vertical, autour de (0, O'R'), deviendrait evidemment parallEle a S'E'". Si done, sans tracer cette parallele, on abaisse du point 0' un rayon perpendiculaire sur S'E", ce rayon ira couper le contour vertical de la sphere en un point qui sera le rabattement du point de contact cherche; et il sera facile ensuite de ramener ce point dans sa veritable position.

o05. {Fig. 104*) Les considerations employees au n^ 501 peuvent servir k

CHAPITBE III. — SUB T.ES SPHERES ET hVS PTBAM1DES. ^O'J

resoudre ce probleme general : Trower une sphere qui soil tangente a quaU^ plans donnes. En effet, les quatre faces de la pyramide SABC, etant prolongees ind^finiinent, formeront autour des aretes AB, AG, BG, trois angles diedres exterieurs et supplementaires de ceux que nous avons employee ci-dessus, et ces nouveaux angles auront pour mesures S'D"B', S'E"C', S'F'C'. Done, si I'on divise ces derniers en deux parties egales, par des droites qui couperont le plan X' Y' en des points analogues a (^^ e", 9", on pourra combiner trois \ trois ces divers points pour former plusieurs triangles, tels que abc\ et ceux-ci conduiront k divers centres, tels que (0, 0'). Par exemple, adoptons la droite D"rf" qui divise par moities Tangle exte-rieur S'D"B', et qui rencontre le plan X'Y' au point rf", que Ton ramenera en d sur le plan horizontal ; puis, conservons les deux anciens points £ et 9 : alors nous obtiendrons le triangle ccfb" dont les sommets, etant joints avec A, B, C, fourniront le point (0", 0") pour le centre d'une sphfere qui touchera la face SAB en dehors de la pyramide priiuitiye, tandis qu'elle sera tangente aux trois autres faces prolongees a droite de SAB. De cette manifere, on trouvera generalement hmt spheres tangentes aux quatre plans indefinis qui contiennent les faces de la pyramide SABC; car, en designant par a, a\ a"", les trois angles diedres intirieursy et par u, a)\ tti"^ les trois angles diedres extSrieurs, qui ont pour aretes les cotes AB, AC, BC, on pourra evidemment adopter, pour centre de la sphere demandee, le point d'intersection des trois plans bissecteurs qui diviseront les angles diedres compris dans chacun^ des combinaisons suivantes :

a, odf a" [ a, a\ u" a, a!\ ft)'

a, to', fSif a\ u, tA" a'% u. Ok'

ft), ft)\ ft>^.

On sentira aisement pourquoi il faut exclure toute combinaison oU entreraient deux angles adjacents k la meme arete, comme a et ci>; et, d'ailleurs, lenombFe des solutions pourra devenir moindre, suivant les inclinaisons de quatre plans donnes. Cette question est analogue au probleme de la geometric plane, danslequel on propose de trouver un cercle qui soit tangent a trois droites connues.

504. Conslndre un point dont on connatt les distances a trois points dormds^ oa bien a trois plans connus^ ou enfin a trois droites donnee^.

i^ Designons les points donnes par A, B, C, et leurs distances respectives aa point inconnu a?, par a, ?, y. Alors, en imaginant une sphere qui ait spn centre en A et pour rayon la distance a, le point x devra evidemment se trouver quelque part sur la surface de cette sphere; il sera pareillement sur d^ux autres spheres qui auraient leurs centres en B, C, et pour rayons les longueurs 6, 7 : par consequent, la question revient a trouver r intersection de trois spheres donndeSf probleme que nous avons resolu au n** 497.

^^ Si Ton designe k present par P, F, P^ les plans donnes, et par (J, c^, d^ lews distances au point inconnu a?, ce dernier devra etreala fois dans trois plansp,/i',/i'', respectivement paralleles k P, P', P, et eloignes de ceux-ci de quantity Egales k

2oS LIVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES.

&, (^, (^^ Done, en eonstruisant les plans/?, p\p\ d'apres les methodes du livre P% la question se reduira k trouver Tintersection de trois plans connus, probleme que le lecteur saura aisement resoudre. Observons seulement que, comme le planjo, par exemple, pourra etre mene k la distance &, soit au-dessus, soil au-dessous de P, il y aura ainsi huit solutions pour la position du point demande x.

3^ Soient enfin A, B, C trois droites donnees, dont le point inconnu a? est eloigne des quantites a, §, 7. Si Ton imagine un cylindre de revolution qui ait pour axe la ligne A, et pour section droite un cercle du rayon a, cette surface cylindrique contiendra necessairement le point x. De meme, ce point se trouvera aussi sur deux autres cylindres de revolution, qui auront par axes et pour rayons B etS, C et y; par consequent, la question est reduite k trouver tous les points communs k ces trois cylindres. Or, en supposant que les traces horizontales de ces trois surfaces ont 6te construites comme nous allons Texpliquer plus has, il n'y aura plus qu'k chercher, par la methode du n^ 288, la courbe d*intersection du cylindre A avec le cylindre B, puis celle des cylindres A et C; et ces deux courbes, qui pourront se couper au plus dans huit points, attendu que les trois surfaces sont evidemmenl du second degre, feront connaitre par leurs rencontres les diverses positions que pent avoir le point demande x. Toutefois observons que, pour obtenir les points vraiment communs aux deux courbes dans Tespace, il ne faudra prendre, parmi les sections des deux projections horizontales, que les points qui correspondront exactementa des sections sur le plan vertical ; c'est-a-dire que ces points devront etre deux a deux sur des perpendiculaires a la ligne de terre. D'ailleurs on pourra, comme verification, construire aussi la courbe d'intersection des cylindres B et C, laquelle devra encore passer par les points communs aux deux premieres courbes.

505. {Fig. io5.) Quant a la maniere de trouver la trace horizontale de chaque cylindre, representons, sur deux plans de projection, Taxe de Tun d'entre eux par (AF, AT'). En faisant tourner cette droite autour de la verticale A, pour la rabattre parallelement au plan vertical, elle deviendra (A/, kf) ; et alors la section circulaire du cylindre se projettera suivant une droite G'H', egale a aa et perpendiculaire sur A'/'. Done le contour apparent du cylindre sera fourni par les droites G'K', H'L', paralleles a A'/', etla trace horizontale de cette surface dans la position actuelle sera une ellipse ayant 6videmment pour grand axe la distance L'K'. Par consequent, si Ton ramfene les points K' et L' en a et rf, la droite ad et sa perpendiculaire bke = aa seront les axes de Tellipse suivant laquelle le cylindre primitifcoupait le plan horizontal; de sorte que cette courbe sera maintenant facile a construire. •

506. t Un ingenieur (* ) , parcourant un pays de montagneSy est muni d'une carte iopographique sur laquelle sont marqudes exactement les projections des diffirents points du terrainy ainsi que les cotes qui indiquent les hauteurs de ces points aurdessus d'une mime surface de rmeau. Il rencontre un point remarquable qui nest pas marque sur la

(* ) Get article et le suivaat sont extraits de la Geometrie descriptive de Monge.

CHAPITBE III. — sua UBS SPHERES ET LES PYBAMIDES, aog

carte, et Uneporte avec bud* autre instrument propre dmesurerles angles ^ quun grapkometre garni d'un fil a plomh. On demande que^ sans quitter la station^ Vingd-^ nieur construise sur la carte le point ou il est^ et qu!il trous^e la cote qui convient a ce pointy cest-a^dire sa hauteur aundessus de la surface de nis^eau.

» Parmi les points du terrain marques d'une maniere precise sur la carte, et qui seront les plus voisins, I'ingenieur en distinguera trois, dont deux au moins ne soient pas a la meme hauteur que lui; puis il observera les angles formes par la verticale et les rayons visuels diriges a ces trois points^ et, d'apr^s cette seule observation, il pourra resoudre la question.

» En efTet, nommons A, B, G les trois points observes dont il a les projections horizontales sur la carte, et dont il pourra construire les projections verticales au moyen de leurs cotes. Puisqu'il connait Tangle forme par la verticale et par le rayon visuel dirig^ au point A, 11 connait aussi Tangle forme par le meme rayon avec la verticale el evee au point A; car, ennegligeant la courbure dela terre, ce qui est convenable ici, ces deux angles sont alternes-internes, et, par consequent, egaux. ' Si done il conQoit une surface conique k base circulaire, dont le sommet soit au point A, dont Taxe soit vertical, et dont Tangle forme par Taxe et par la droite generatrice soit egal a Tangle observe, ce qui determine completement cette surface, elle passera par le rayon visuel dirige au point A, et consequemment par le point de la station : ainsi, il aura une premiere surface courbe determinee, sur laquelle se trouvera le point demande. En raisonnant pour les deux autres points B, C, comme pour le premier, le point demande se trouvera encore sur deux autres surfaces coniques k bases circulaires, dont les axes seront verticaux, dont les sommets seront aux points B, C, et pour chacune desquelles Tangle forme par Taxe avec la generatrice sera egal a Tangle forme par la verticale avec le rayon visuel corr&pondant. Le point demande sera done en meme temps sur trois surfaces coniques, determinees de forme et de position, et, par consequent, dans leur intersection commune. II ne s'agit done plus que de construire, d'apres les donnees de la question, les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces considerees deux a deux (*) ; les intersections de ces projections donneront les projections horizontale et verticale du point demande, et, par consequent, la position de ce point sur la carte, et sa hauteur au-dessus ou au-dessous des points observes, ce qui d^terminera sa cote.

» Cette solution doit en g^n^ral produire huit points qui satisfont a la question; mais il sera facile a Tobservateur de distinguer, parmi ces huit points, celui qui coincide avec le point de la station. D'abord, il pourra toujours s'assurer si le point de la station est au-dessus ou au*dessous du plan qui passe par les trois points observes. Supposons que ce point soit au-dessus du plan des sommets des cones; il

( * ) ^intersection de denx de ces c6nes se construira (>ar la m^thode du n"" 297, ou, mieux encore, en les coupant par divers plans horizon taux; car les sections seront des cercies, dont les centres se projetteront au mdme point que le sommet, et dont les rayons se trouverout marqu^ sur le plan vertical.

Geomeirie Leroy. ^7

mo LIVRIS YI. — QCESTIQHS tUVERSKS.

seraautoris6 k negliger les branches des intersections des surfaces coniques qui existent au-dessous de ce plan, et par la le nombre des points possibles sera reduil a quatre : ce serait la meme chose si le point de la station etait au contraire place au-dessous du plan. Ensuite^ parmi ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaitra facilement celui dont la position par rapport aux trois sommets, est la meme que celle du point de la station par rapport aux points observes. >

507 . c Les circonstances Slant les mSmes que dans la question prdcddenie^ cfiec cette seule diffdrence que V instrument rCest pas gomi defil a ptomb^ de maniere que les angles as^ec la verticale nepuissent pas itre mesures^ on demande enpore que I'inrgdnieur, sans quitter la station, determine sur la carte la position du point ou U est et quil trouve la cote de ce pointy c'est-a-dire son elevation au-dessus de la surface de niveau a laquelle tous les points de la carte sont rapportes.

» Aprfes avoir choisi trois points du terrain qui soient marques d'une maniere precise sur la carte, et tels, que le point de station ne soit pas avec eux dans le meme plan, I'ingenieur mesurera les trois angles que forment eatre eux les rayons visuels diriges a ces trois points; et, au moyen de cette seule observation, ilsera en etat de resoudre la question.

t En efTet, si nous nommons A, B, C les trois points observes, et si on les appose joints par les trois droites AB, BC, CA, Tingenieur aura les projections Uorizontales de ces droites tracees sur la carte; de plus, au moyen de cotes des trois points, il aura les diflerences de hauteur des extremites de ces droites ; il pourra done avoir la grandeur de chacune d'elles.

» {Fig. 106.) Cela pose, si, dans un plan quelconque mene par AB, on con^oit iin triangle rectangle BAD construit sur AB comme base, et dont Tangle en B soit le complement de Tangle sous lequel le cote AB a ete observe, Tangle en P sera egal a Tangle observe, el la circonference de cercle decrite par les trois points A, B, D, jouira de la propriete, que, si d'un point quelconque de Tare ADB oig mene deux droites aux points A et B, Tangle qu'elles comprendront entre elles sera egal a Tangle observe. Si done on conQoit que le plan du cercle tourne autour de AB comme charnifere. Tare ADB engendrera une surface de revolution dont tous les points jouiront de la meme propriete; c*est-k-dire que si, d'un point quelconque de cette surface, on m^ne deux droites aux points A et B, ces droites formeront entre elles un angle egal k Tangle observe. Or il est evident que les points de cette surface de revolution sont les seuls qui jouissent de cette propriete; done la surface passera par le point de la station. Si Ton raisonne de la meme manibre pour les deux autres droites BC, CA, on aura deux autres surfaces de revolution, sur chacune desquelies se trouvera le point de la station : ce point ser^ done en meme temps sur trois surfaces de revolution difPerentes, determinees de forme et de position; il sera done un point de leur intersection commune. Ainsi, en construisant les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces, consid^r^es deux k deux, les points oil les pjrojectioos se couperant elles-memes toutes trois, seroDt les projec-* tions du point qui satisfait a la question. >

CHAP1TRB I. — HOTfOM G^IICRALES SUR LKS SURFACES GArCHES. 211

808. A la v^rite, si, pour efTectuer ces constructions par la methode du n® 355, On adopte le plan du triangle ABC pour le plan horizontal de T^pure, et que Ton dirige le plan vertical perpendiculairement k un des c6tes, AB par exemple, on n'obtiendra ainsi que la projection du point demande sur le plan ABC, et sa hauteur «u-desvsus ou au-dessous de ce plan; mais, comme ce dernier a lui-meme une position connue par rapport it la surface de niveau h. laquelle tons les points de la carte sent rapportes, il sera bien facile de retrouver ensuite la projection de la station sur ie plan meme de la carte, et sa hauteur au-dessus de ce plan.

509. Observons aussi que si Ton voulait resoudre ce problfeme analytiquement, en combinant les ^qtiatiotis des trois surfaces de revolution d6crites par les arcs ADB, BEC^ CFA, on obtiendrait beaucoup de solutions qui set^ient 6trangeres a la question » car Tanalyse nes6parerait pas la nappe decrite paf Tare ADB, de celle qui d^crirait Fare ArfB; mais une seule Equation embrasserait ces deux nappes k la fois, Cependant, puisqu'ici les angles compris entre les rayons visuels sont donnas par Tobservatiou, on sent bien qu'il n' est pas permis d^adopter indifferemment Tangle ADB, ou son supplement AdB, Par consequent, on devra, dans les operations graphiques, negliger entiferem^nt les branches de courbes et les points qui seraient fournis par les nappes suppUmentcures, eilgendrees par la revolution des trois arc8ArfB,BeCet A/C.

tta