NOTIONS G^M^RALES SUR LES SURFACES GAUCHE
310* Toutes les surfaces qui peuvent fttre engendrees par le mouvement dV:ne ligtie droite sont designees g^neralement sous le nom de surfaces r^gl^es, parce qu'on pent evidemtnent les executer sur un corps solide, au moyen d'une rSgle^ avantdge qiii en retid Tusage trfes-fr^quent dans les arts; mais on doit les partager en deux classes bien distinctes, selon que la loi qui dirige le mouvement de la generatrice rectiligne satisfait, ou non, k la condition, que deux positions consecutives dela droite mobile soient situ^es dans un m^me plan. Lorsque cette condition est remplie, la surfbce regime est d^veloppable, et un meme plan la touche tout le long de la generatrice, comme nous Tavons prouve aux n~ 175 ^t 17*7. Or, tout ce qui t*egarde la determination du plan tangent, la construction des generatrices et le dereloppement d'une telle surface, ayant ete suffisamment explique dans les livres t^t^cedents, et notamment par I'exemple general du n"^ 465, nous he reviendrons
^12 LIVRE VII. — DBS SUBFAGES GAUGBES.
plus sur ces questions; et ici nous nous occuperons seulement des surfaces GAUGHESy c'est-a-dire des surfaces engendries par une droite qui se meat de teUi \ sorte, que deux positions consecutwes, quelque rapproch^es qu'on les suppose, M sontpas dans un mime plan.
511. {Fig. 107.) Avant d'indiquer diverses manieres de r^aliser la condition precedente, nous ferons observer qu'il en resultera toujours que ViUment superficid indefini en longueur, et compris entre les deux generatrices infiniment voisines G et G', sera lui-meme gauche; car, pour toutes les courbes A, B, C,..., que Ton tracera sur la surface, les elements lineaires LL', MM', NN',,.., qui sont des droites ayant chacune deux points communs avec G et G', ne pourront etre situes dans un meme plan dfes que ces deux generatrices n'y sont pas. En outre, comme les tangentes LL'T, MM'U, NN'V,..., qui sont les prolongements de ces elements lineaires, se trouveront ainsi dans des plans differents, il arrivera necessairement (\{xe les plans tangents GLT, GMU, GNV,..., relatifs aux divers points L, M, N,..., d'une mime genSratrice^ seront distincts les uns des autres^ quoiqu'ils renferment tous la generatrice GLMN.
512. De la il resulte encore que, dans une surface gauche, chaque plan tel que GLT, quoique veritablement tangent en L, c'est-a-dire renfermant les tangentes a toutes les courbes tracees sur la surface par ce point, devient secant dans tous les autres points qui lui sont communs avec elle; et son intersection se composera d'abord de la generatrice GLM elle-meme, puis d'une seconde branche passant par le point L, et qui pent etre rectiUgne ou curviligne, suivant la forme de la surface gauche en question.
513. Voyons, maintenant, de quelle manifere nous pourrons realiser la condition (n^ 510) qui caracterise les surfaces gauches. Si nous assujettissons la droite mobile k glisser seulement sur une ou meme sur deux courbes directrices A et B, invariables de forme et de position, le mouvement de cette droite ne sera pas completement determine ; puisque, pour chaque point L choisi a volonte sur A, la generatrice rectiligne pourra prendre une infinite de positions, situees toutes sur le cdne qui aurait pour base B, et pour sommet le point L. Deux courbes ne suf&sent done pas pour diriger le mouvement d'une droite, a moins qu*on n'impose, dpriori^ la condition que la surface engendree soit developpable^ comme on I'a vu n^ 180; mais cette condition est precisement celle que nous voulons ecarter ici.
{Fig. 1 07 .) Assujettissons done la droitemobile a glisser constamment sur trois courbes directrices A, B, G, et nous aliens voir que ces conditions suffisent pour regler completement le mouvement de cette generatrice. En effet, si Ton imagine deux cdnes qui auraient pour sommet commun le point L pris a volonte sur A, et pour bases. Tun la directrice B, I'autre la directrice G, on pourra aisement construire les traces de ces surfaces coniques sur un des plans de projection; et en joignant les points de section de ces deux traces avec le sommet commun L, on obtiendra une ou plusieurs droites, mais en nombrefird^ qui, comme GLMN, s'appuieront evidemment sur les trois courbes A, B^ G, puisqu'elles sefront \m intersections des deux cones
€HAPITRE I. — NOTIONS ^m^HALBS SUB LBS SUEPACES GAUCHES. 31 3
passant par B et par C. Ces droites seront done les positions determinees que doit prendre la generatrice mobile, lorsqu'en glissant sur A, elle arrive au point L; et pour d'autres points V, £"»...» on construira semblablement les positions de cette generatrice.
Au lieu d'employer deux surfaces coniques, dont il faut chercher les traces, il sera quelquefois plus commode de construire Tintersection du premier cone LBM, avec le cylindre vertical qui projettera la directrice C sur le plan horizontal. Par la, on obtiendra une courbe auxiliaire dont la rencontre avec la projection verticale de G fera connaitre le point qu'il faut joindre avec L pour avoir une position de la generatrice.
514. D'ailleurs, la surface ainsi engendree 5em gauche en gen6ral; car, lorsque la droite mobile passera d'une position GLMN a une autre G'L'M'N^ infiniment voisine, elle pourra etre censee glisser sur les trois tangentes LT, MU, NY, qui ont, avec les directrices, les elements communs LL', MM% NN' : done, si ces tangentes ne sont pas situees toutes trois dans un seul et meme plan, les deux generatrices G et G' n'y seront pas non plus. Or, pour que ces tangentes se trouvassent dans un meme plan, et surtout pour que la meme circonstance se reproduisit a chaque systeme de points (L, M, N), (L', M', N'), (L", M", N''),..., situes trois k trois en ligne droite, il est elair qu'il faudrait faire un choix tout particulier dans la forme et la position des directrices A, B, G; par consequent, en general, la surface ddcrite par une droite mobile qui s'appuie constamment sur trois courbes fixes est gauche.
Mais une telle surface pent offrir une Ugne singuUerey le long de laquelie il existera un element plan, indefini en longueur; c*est ce qui arriverait dans le eas oh, pour un certain point L, les deux cones dont nous 'avons parle au numero precedent auraient leurs traces tangentes Tune a I'autre. Alors, la generatrice menee de L a ce point de contact pourrait, sans quitter le point L, glisser sur la tangente commune aux deux traces, et elle decrirait ainsi un element particulier qui seraitplan. Gela revient a supposer que les deux tangentes MU et NY sont dans un meme plan; et, a plus forte raison, en serait-il de meme, si les' trois tangentes en L, M, N, se trouvaient dans un plan unique.
515. Gtlindroide. {Fig. io8.) Ondesigne ainsi une surface oil la droite mobile G doit glisser constamment sur deux courbes fixes A et B, en demeurant toujoursparrallele a un plan donnS P, que Ton nomme le plan directeur. Pour construire ici les positions de la generatrice, il suffira de couper les courbes A et B (n** 235) par divers plans paralleles a P; et en joignant par une droite les deux points de section de chaque plan, on aura des lignes GLM, G'L'M',..., qui satisferont evidemment aux conditions imposees a la generatrice. La surface, lieu de toutes ces droites, sera encore gauche en general, parce que les tangentes LL'T, MM'U, sur lesquelles s'appuie la droite G lorsqu'elle passe k la position infiniment voisine G', ne se trouveront pas ordinairement dans un meme plan.
Au reste, ce genre de surfaces gauches rentre dans ie precedent, lorsqu*on imagine que la troisieme directrice G est situee a I'infini dans kplan P.
^ J 4 LIVM Til . — ^ MS SVRrACBB GACCmB*
516. Dans toutes les surfaces reglees, on pent remplacer les courbes directricw par des surfhces directrices auxquelles la droite mobile devra 6tre tangente. Par exemple, si Ton assij^ne une courbe A et une surface S pour dinger la gen^ratrice, avec un plan P auquel cette droite mobile devra rester parallete, on menera par chaque point L pris sur A, un plan parallMe a P, lequel coupera la surface S suivant une courbe ^ laquelle on conduira des tangentes partant de L; ce seront bien Ik des positions de la g^n^ratrice demandee, et la surface regime ainsi produite sera en general gaucbe. D'ailleurs, elle touchera S tout le long de la courbe formee par les points de contact ot» 6» 7>...» des tangentes dont nous venous de.parler; car, pour la surface gauche comme pour la surface S, le plan tangent renfermera la g6neratrice rectiligtie et la tangente de la courbe aSy qui est commune aux deux surfaces.
Si Ton donnait deux surfaces S et S' avec un plan directeur P, on coupei^it ces surfaces par divers plans parallMes k P, et Ton menerait une tangente commune aux deux sections produites par chacun de ces plans secants. Ce serait encore une des surfaces nomm^es cylindroides.
517. Lorsque la surface regime n*admet point depltm directeur^ 6n pent encore remplacer une ou plusieurs des trois courbes directrices A, 6, G, par des surfaces auxquelles la g^neratrice devra etre tangente. Supposons, en effet, que Ton assigne, pour diriger le mouvement de cette droite, les courbes A et B avec une surface S; pour chaque point L pris sur A, il faudra construire deux cones ayant leurs Bom<mets communs en L» et dont Tun aurait pour base la courbe B, tandis que Tautre serait circonscrit a la surfaces (n^ 348) : les intersections de ces deux cdnes, qui seront necessairement des droites» fourniront les positions de la gdn^ratrice lorsqu'elle passe par le point L. Qkiand la surface S se troUvera d^veloppable, il sera plus court de lui mener un plan tangent qui coupe les deux courbes A et B en des points que Ton reunira par une droite; ce sera bien Ik une position de la g^n^ ratrice.
Si Ton donne une seule courbe A avec deux surfaces directrices S et S\ il faudra combiner ensemble deux cdnes circonscrits Tun k S, Tautre k S% et dont le sommet commun serait en un point L de la ligne A.
518. Lofsqu'on assignera trois surfaces S, 9^^ 9'', auxquelles la droite mobile devra rester constamment tangente, la construction des diverses positions de cette generatrice sera beaucoup plus laborieuse; mais on y parviendra en ramenant la question k Tun des cas precedents. En effet, si nous connaissions une droite 6 qui touchat la surface S en un certain point «, S' en a', et S'' en oi!'; puis, que nous fissions glisser cette ligne Gaa'a" sur les deux surfaces S et SS en Tassujettissant d'ailleurs k demeurer parallele a un plan directeur P, nous obtiendrions, par la metbodedu n^ 516, une surface auxiliaire 2, qui couperait S" suivant une certaine courbe a"§'' /' passant par le point a'\ et a laquelle la droite G serait necessairement tangente en ce point : car G se trouve evidemment dans le plan tangent de S"', et dans celui qui toucbe la surface gauche 1 au point a". Par consequent, si Ton commence par construire la surface auxiliaire 2 qui a pour directrices S, S'', etle plan P;
CHAPITBB U. — » ■TPBBBOliOlDB A UNB HAPPE. ^^^
puis, si Ton d^termiae son intersection «''§*'/ avecla surface S", il n'y aura plus qu'k mener k la courbe a"S"/ une tangente qui soit parallele au plan P, et cette tangente sera la position d'une g^neratrice G de la surface demandee qui a pour directrice S, S', S''. Pour obteuir d'autres positions de cette generatrice, on fera varier la direction du plan P.
519. On peut encore diriger le mouvement de la droite qui engendre une surface reglee, en assignant dewo courbes directrices A et B» avec la condition que la getiercurice coupe I'ime d'eilessous un angle constant etdonne; ou bien^ que la position de cette giniratrice comprise entre A a/ B conserve une longueur fixe. On peut aussi faire glisser la droite mobile le long d'une seule courbe A tracSe sur une surface Hxe S9 a laquelle la gdniratrice des^rait rester normcUe^ etc., etc. Mais toutes ces yari^t^s de surfaces reglees/ pour lesquelies il sera facile d'imaginer un mode de construction approprie aux conditions que cbaque probleme imposera, n'offrent pas assea dHnteret pour que nous les discutions en detail ; et, d'ailleurs, elles ne forment pas, au fond, des genres vraiment distincts, puisqu'on peut touj ours les concevoir ramen^ k celles du n^ 513, en adoptant pour directrices de la droite mobile trois sections faites k volonte dans la surface.
5120. Pour completer ces notions gen^rales, nous ajouterons que, parmi les CTLiNDAOiBES, OU donuc le nom particuiier de conoides aux surfaces gauches qui admettent un plan directeur P avec deux directrices dont une est rectiligne : I'autre directrice peut Stre une courbe ou une surface. Le conoide serait dit droitf si la directrice rectiligne etait perpendiculaire au plan P [vojez n^ 596).
Lorsque les deux directrices sont Tune et I'autre des droites, le conoide prend le nom de pand^oloide kyperboUque, ou de conoide du second degrd^ parce que c'est le seul dont Tequation ne s'eleve pasau-dessus de cet ordre.
Enfin, lorsqu'une surface reglee, qui n'admet pasde plan directeur, a pour directrices trois droites quelconques, elle regoit le nom d' hyperboloide a une nappe : cet hyperboloide et le paraboloide dont nous venons de parler se d^signent encore flamultanemant sous le nom de surfaces gauches du second degrd^ parce que Tanalyse moQtre que ce sont les seules surfaces de cette nature dont I'equation ne s'elfeve pas au delk du second ordre. Nous aliens commencer par considerer ces deux genres particuliers, qui offrent des proprietes fort remarquables, et necessaires a connaitre pour ^tudier les autres surfaces gaucbes.
