DE L'HTPERBOLOIDE A UNE NAPPE

521. [Fig. 109.) Nous appellerons ainsi la surface particuliere engendrde par une droite mobile A, qui s'appuie constamment sur trois droites fixes B, B', B", non paraUeles a unplan unique^ et dont deux quelconques ne se trouventpas dans un mime

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plan; parce qu'il sera demontre plus loin (n** 555) que cette surface est identique avec celle que nous avons dejk designee sous ce nom au n° 83. La construction des generatrices s'effectuera par le procede general du n"* 513, qui deviendra ici tressimple, puisque les surfaces coniques auxiliaires se reduiront a des plans. Ainsi, aprfes avoir pris un point arbitraire L sur la directrice B, on conduira par ce point deux plans dont Tun passe par B', etTautre par B"; puis, en cherchant Tintersection de ces deux plans, on obtiendra une droite ALMN, qui s'appuiera evidemment sur les trois directrices assignees. On arriverait aumeme resultat, en construisant I'intersection de la directrice B" avec le seul plan mene par L et la droite W\ et en joignant ce point de section au point L. Ce procede, applique successivement k d'autres points L', L",..., de la droite B, fournira les diverses generatrices A, A', A", A**,..., de rhyperbolo'ide en question; et comme chacune ne pent evidemment occuper qu'une position unique, lorsqu'elle passe par un point donne L ou h\ il 8*ensuit que le mouvement de la droite mobile est completement determine par la condition de s'appuyer sur les trois directrices assignees.

522. Cette surface est necessairement gauche; car deux generatrices quelconques A et A' ne pourraient se trouver dans un meme plan, qu'autant que les droites B, B', B", dont chacune a deux points communs avec A et A', seraient ellesmemes situees dans ce plan unique; ce qui est contraire aux conditions formellement imposees dans la definition du n^ 521 . D'ailleurs, ce raisonnement n*exigeant pas que les deux droites A et A' soient ici infiniment voisines, comme on le suppose pour une surface gauche generate (n*'510), il en resulte que, dans Fhyperboloide, deux generatrices quelconques ne sont jamais dans un mime plan.

523. {Fig. I lo.) Si, parmi les trois directrices B, B', B", que Ton suppose n'etre point paralleles k un plan unique, il y en avait deux qui fussent dans un m£meplan B'CB'', la droite mobile A ne pourrait satisfaire aux conditions imposees que des deux manieres suivantes : i^ en passant constamment par le point de section C et en glissant sur B, ce qui lui ferait decrire le plan CDB ; 2^ en tournant dans le plan B'CB'', autour du point D ou il est rencontre par la droite B. Done, alors, la surface decrite serait le systeme de deux plans qui se couperaient. Mais cette variete de rhyperboloide, qui est analogue au cas d*une hyperbole reduite k ses asymptotes, ne presentant aucune recherche nouvelle, nous continuerons a exclure dorenavant Thypothfese toute parficuliere que deux des directrices soient dans an meme plan.

524. {Fig. 109.) L'hyperboloide a une nappe jouit d'une propri^te bien remarquable, et fort importante pour la determination des plans tangents aux surfaces gauches generates : c*est qu'il admet un second mode de generation par la ligne droite, dans lequel les premieres generatrices deviennent directrices, et reciproquement. C'est-a-dire que, si I* on fait gUsser une droite mobile sur trois quelconques des droites A, A', A'', A*,... que nous venons de construire, cette nouvelle genSrortrice, qui co'incidera Evidemment dans trois de ses positions avec B, B', B'', ddcrira une surface idejstique avec le premier hyperholo'ide^ tantpour la forme que pour la

aiAPITRE II. HYPERBOLOIDE A U!VR NAPPE. 217

position. Mais avant de demontrer cette belle propriete, nous rappellerons deux theoremes connus de la thecrie des transversales*

525. Lemme l^. {Pig* m •) Lorsque, dans un triangle ABC, on mfene une transversale quelconque PQR, qui, en eoupant leurs trois cotes ou leurs prolongements, forme six segments, leproduit de trois segments non contigus est dgal au produit des trois cuUres segments; c'est-k-dire que Ton a

[x) AP.CR.BQ=AQ.BR.CP.

En efTet, menons la droite BH parallele ^ PQR, et nou& aurons evidemment les proportions