CP.BR CR

puis, en 6galant les deux valeurs de PH, on obtiendra la formule [x).

526. Lemme II. {Pig^ n^ et ii3.) Si dans un quadrilatfere gauche KRQH on trace deux droites MN et PQ, qui, en s'appuyant chacune sur deux c6t6s opposes, ou sur leurs prolongements, se coupent elles-memes en un certain point 0, le pro^ duit de quatre segments non contigus sera toujours dgal au produit des quatre autres segments; c'est-k-dire que Ton aura

(^) AP.BN.CQ.DM = AM.DQ.CN.BP.

D'abord, observons que si les deux transversales MN et PQ se coupent effectivement, elles doivent etre dans un meme plan, lequel contiendra les droites PN et MP, qui, par consequent, iront se couper en un certain point R; mais comme ces droites PN et MQ se trouvent. Tune dans le plan du triangle ABC, Tautre dans le plan du triangle ADC, et que ces plans se coupent suivant la diagonale AC, il faudra que le point de rencontre R des lignes PN et MQ soit place precisement sur cette diagonale. D'ou il suit que, pour obtenir dans un quadrilatfere gauche deux transversales opposees qui se coupent reellement, on pent prendre a volonte Tune d'entre elles MN, et choisir arbitrairement le point P de la seconde; mais ensuite on devra tracer la droite PNR, qui ira couper la diagonale AC en un point R, puis tirer RM, qui determinera la position du point Q, qu'i'l faudra joindre avec P.

Cela pose, les triangles ABC et ADC, coupes par les transversales PNR et MQR, donnent, d'apres le lemme precedent,

AP.BN.CR = AR.CN.BP, CQ.DM.AR = CR.DQ.AM;

d'ou, en multipliant ces egalites membre k membre, et supprimant les facteurs communs, on deduit la relation annoncee,

(j,) AP.BN.CQ.DM = AM.DQ.CN.BP,

Geomeirie Lcroy.

ai8 L1VBE VIT. — DES SUBFACES OAUCHES.

laquelle peut s'^crire ainsi :

^^^ pb'qd'^mdnb'

527. Reciproquement, si deux droites PQ et MN coupent les cotes opposes iVxxn quadrilatere gauche ABCD, de telle sorte que la formule {y) soil verifiee, ces deux transversales sont dans un meme plan. En effet, si cela n'etait pas, on pourrait mener par le point P une droite PQ\ qui couperait MN, et alors on aurait

AP.BN.CQ'-DM = AM-DQ'.CN .BP,

Equation incompatible avec la formule ( j), que Ton suppose verifiee, puisque si CQf est plus grand que CQ, necessairement DQ' sera moindre que DQ.

5!28. {Fig. 109.) Maintenant, reyenons au double mode de generation que nous avons annonce au n° 52i pour Thyperboloide a une nappe, et prouvons que toute droite B'DD'D**, qt4 s'appuiera sur trois generatrices quelconques A, A', A** du premier mode^ coupera necessairement toutes les droites de ce systeme; par exemple, qu'elle rencontrera la generatrice A" en un certain point D". II s*ensuivra ^videmmeht que tons les points de cette ligne B*' se trouveront sur le premier hyperbolo'ide deja construit avec les trois directrices fixes B, B\ B", et qu*ainsi une de ces demieres peut d^crire encore cette meme surface, en glissant sur trois droites du systeme A.

Or, puisque, d'apres le premier mode de g^n6ration, les trois droites A, A\ A** coupent B, B', B", le quadrilatere LNN*'L*' donnera, en vertu de la formule (z),