L'L^* N'N "^MN'M^L
mais, puisque la droite A"" rencontre les trois droites B, B', B', et que B* coupe aussi les droites A, A\ A", le m6me quadrilatfere fournira encore, d'aprte la for^ mule (^), les deux relations suivantes :
.«. LD N D*^ hV N-'N'
alors, les seconds membres des equations (a) et (3) etant ^aux en vertu de Tequation (i), nous en conclurons cette nouvelle egaliti
laquelle prouve (n® 527) que les deux droites A'' et B' se coupent effectivement en un point D"".
529. Remarquons ici que le second membre commun des Equations ( 1 ) et (^ ) est une quantite constantelqui demeure invariable, des que ta position des cinq droites
GHAPITMB U« — BTPBUIOIjOIOE A UNB MAPPE. aiQ
B9 B\ B"", A, A'* est fixee; d'oti il suit que, pour una nouvelle droite queloooqud A\ qui 8'appuiera sur les trois premieres, on aura toujours
Or, 81 les trois droites B, B', B* se trouvaient paraUiks a un mSme plan, on sait qu'elles diviseraient A et A* en parties proportionnelles, de sorte qu'on aurait jfc = i ; par consequent, Tequation (5), qui devient alors
prouve qiie» dans ce cas, les droites A, A\ A'' seraient necessairement aussi/Mira/- Ules a unplan unique, mais different du premier. Nous retrouverons plus loin oette consequence, dans le parabolo'ide hyperbolique (n"^ 553).
530. Duplan tangent. [Fig. log.) Puisque, par chaque point de rhyperboloide, il passe deux droites (n^ 528), Tune du systeme A, Tautre du systeme B, et que ces lignes sent elles-roemes leurs propres tangentes^ elles devront se trouver toutes deux dans le plan tangent relatif au point oil elles se coupent; et, par consequent, elles sufGront pour determiner ce plan et pour trouver ses traces. Aiosi, lorsqu'on defi-^ nira un hyperboloide par les trois directrices B, B', B'', et qu'on assignera le point de contact D sur une generatrice donnee A, il faudra construire (n^ 521) au moins deux autres positions A, A" de cette generatrice ; puis en adoptant ces lignes A, A', A" pour directrices, on construira une droite DD'D" qui s'appuie sur ces dernieres, et qui parte du point D. Alors cette droite DD'D'' sera situee sur Thyperboloide, et en conduisant un plan par les deux lignes AD'' et DD'D^, ce sera le plan tangent relatif au point D. Cette solution est trop simple pour que nous croyions necessaire de la construire dans une epure sp^ciale.
531 . Lorsque les donnees d'un hyperboloide seront assignees sur deux plans de projection, et qu'on citera ^^}x\%metk\,ia projection horixontaleX}, par exemple, d'un point de cette surface pour lequel on demandera le plan tangent, il ne sera plus posaible de mener immediatement la generatrice AD, ayant d'avoir trouve la projection verticale du point D. Pour cela il faudra,.en general, conduire par ce point un plan vertical quelconque ; chercher la section qu'il produira dans la surface, en construisant les points de rencontre de ce plan secant avec diverses generatrices qui s'ap*puieraient sur les droites donnees B, B^ B", et enfin projeter, sur cette section, le point D assigne sur le plan horizontal. Alors, connaissant les deux projections du point de contact, on pourra aussi construire les projections de la generatrice A qui passe par ce point, et Ton rentrera dans le cas du numero precedent.
532. Du CENTRE de V hyperboloide. {Fig. 1 14.) Cette surface est douee d'un centre, c'est-k-dire qu'il existe un point tel, que toutes les cordes de la surface qui pussenl par ce poifU s^y trow^nt divisdes chacune en deux parties ^gales. Pour demon trer cette proposition, repr^sentons par B, B', B", trois directrices primitives qui satisfassent aux conditions enonc^es dans la definition du n^ 521 : nous pourrons
220 LIVRE Til. — DBS SURFACES GAUCHES.
alorSy par les droites B' et B'\ conduire deux plans distincts B'DC et B^CD, paralleles I'un et Tautre a la directrice B, et ces deux plans se couperont suivant una droite AGD evidemment parallele a B ; de sorte que cette ligne ACD sera une generatriee de Thyperboloide propose, puisqu'elle s'appuiera sur B' et sur B'', et qu'elle ira rencoQtrer B a une distance infinie. De meme, en conduisant par B'' et par B deux plans B''GH et BHG paralleles aB\ ils se couperont suiyant une droite A'GH, qui sera encore une generatrice de Thyperboloide; et Ton en trouvera une troisieme A"KE au moyen de deux plans BHF et B'DI, paralleles ^ B", et menes par B et B'. De Ik nous conclurons d'abord que cfiaque generatrice d'un systeme a sa pamUele elans le systeme opposd; car ce que nous avons dit ici de B s'appliquera egalement a toute autre generatrice B", B"",..., laquelle pent etre prise pour directrice au lieu deB (n^528). Ensuite les six plans que nous avons construits ci-dessus forment evidemment un parallelipipede qui a, pour arStes opposees, les six droites B, B\ B"", et A, A', A""; et je dis que le centre de ce parallelipipede est aussi le centre de rhyperboloide.
Pour le demontrer, je m^ne par un point M, pris arbitrairement sur la directrice B, une droite M'MM" qui coupe les deux autres directrices en M' et M", et qui sera ainsi une generatrice du systeme A; puis, je la compare avec une generatrice du systeme B, qui, s'appuyant sur A, A', A", serait parallele a MM'M". Pour obtenir cette nouvelle generatrice, je prends les distances
