DN = HM, ON' = EM', EN" = CM

et'lestrois points N, N', N", ainsi determines, se trouveront en ligne droite. En effet, en tirant les lignes OM et ON, les triangles OMH et OND, qui sont visiblement egaux, prouveront que les cotes OM et ON sont egaux et en ligne droite; la meme consequence aura lieu pour les lignes OM' et ON', OM" et ON", en vertu de triangles egaux que Ton aperQoit aisement. Ensuite, les triangles MOM' etNON', egaux par ce qui precfede, entraineront le parallelisme des cotes MM' et NN'; et enfin, MM'' sera parallfele k NN" en vertu des triangles egaux MOM" et NON". Par consequent, les deux portions N'N et NN" ne formeront qu'une seule ligne droite, qui sera une generatrice du systeme B, parallele a la generatrice M'MM" choisie a volonte dans .le systeme A; d'ailleurs, on voit par Ik que deux generatrices paralleles se trouvent ioujours dans un plan passant par le point 0, et sont egalement iloigndes de ce point. Cela pose, si, par un point arbitraire P de la droite M'MM", on tire une corde POQ qui passe par le point 0, elle ira necessairement percer Thyperboloide en un point Q situe sur N'NN", et, d'aprfes les relations ci-dessus ^tablies, on aura evidemment OP = 00; done, puisque cette consequence est vraie pour tout point P pris sur I'hyperbololde, il demeure prouve que le point est bien le centre de cette surface (*).

(*) C'est M. /. Binet qui a fait coDDattre [Joumalde VAcoie Pofytechnigite, i6*cahier), parmi d'autres parallclipip^es concentriques avec I'liyperboloide, ceux qui sont ainsi formes par trois generatrices quei< conques d'un systeme, jointes k leurs paralleles dans le sysldme oppose. Ce savant g^m^tre en a d^uit

CHAPITBB II. ^ HYPERBOLOIDB A VWR HAPPE. 22 1

555. ObservoDs que, quand il s*agira seulement de construire ce centre, on Tobtiendra sans tracer le parallelipipede dont nous venons de parler, en cherchant Tintersection des trois plans menes par la droite donnee B et sa parallele A, par B' et sa parallfele A', par B" et sa parallele A"; car chacun de ces plans diagonaux passe evidemment par le centre du parallelipipede, qui estcelui de Thyperboloide. D'ailleurs, on peut dire que ce sont Ik trois plans asymptotiques de la surface, comme nous Texpliquerons au n^ 546.

554. En resumant les propositions precedentes, on voit que dans Thyperbolo'ide k une nappe, i*^ il existe deux systemes de generatrices rectilignes

dont cbacune coupe toutes les droites du systeme oppose (n^ 528); cependant, chaque generatrice A' a sa parallele dans le systeme B (n** 552), et reciproquement; de sorte que pour ces droites comparees deux k deux, la rencontre n'a plus lieu qu'a une distance infinie.

2^ Deux generatrices du systfeme A ne se trouvent jamais dans un plan unique (n^522); il en est de meme des generatrices du systeme B, puisque ces dernieres s'appuient aussi (n^ 528) sur trois droites du systeme A, lesquelles sont dans des plans diflferents.

3^ Trois droites quelconques du systbme A ne sont j^mdiis paralleles a un mSme plan; car, si cela avait lieu, il s'ensuivrait par le n^ 529 que les directrices B, B', B"", sur lesquelles s'appuient toutes les generatrices du premier mode, seraient aussi parallMes toutes trois k un meme plan, ce qui est contraire k la definition du n^ 521. R^ciproquement trois quelconques des generatrices du systeme B ne se trouvent jamais paralleles k un meme plan; car cela entrainerait aussi (n^ 529) une restriction semblable pour les droites du systeme A, sur lesquelles s'appuient ces generatrices du second mode.

4^ Le centre de I'byperboloide est place au centre du parallelipipede construit avec trois droites quelconques du systeme A, jointes aux trois generatrices du systeme B, qui se trouvent respectivement paralleles aux trois premieres (n^ 552);

beaucoup de consequences interessantcs ; mais ici nous ferons seulement observer : i® que chacun de ces parall^lipipMes est circonscrit k ThyperboloYde, puisque chaque £ace renferme deux generatrices, et devient tangente deins le point oil se coupent ces droites; 2** qu'ils offrent une construction grapbique fort elegante, pour trouver le centre de la surface gauche d^finie par trois directrices rectilignes; 3° qu'ils ne sont pas moins utiles sous le rapport analytique, puisqu'en adoptant ce centre pour origine des axes coordonn^s, choisis parall61es aux trois directrices assignees, Tequation de la surface se pr^sentera sous la forme trtesimple

ah Kjy ay

En effet, les axes actoels etant Evidemment trois aretes du cdne asymptolique, il doit arriver que chaque plan coordonnE coupe la surface suivant une hyperbole qui ait pour asymptotes les deux axes contenusdans ce plan.

%%2 UVEB YI1» -*• 1MCS SVVACES OAU€HBS«

ou plos simplemeoty il est doaiii par Tintersection de trois plans asymptottques (n^ 633).

5^ line droite quelconque D ae saurait percer rbyperboloide en plus de deux points; car» si elle avail trois points communs avec cette surface, la droite D s'appuierait sur trois generatrices de Tun ou de Tautre syst^ma, de sorte qirelle coineiderait tout enti^re avec la surface. D'ailleurs^ pour obtenir ees points d'interseclion, il faudra construire, comme au n^ 531, la section faite dans Tbyperboloide par nn plan vertical ou horizontal, conduit suivant la droite D.

535 .» La surface gauche engendriepar une droite qui gUsse sur trois autres droUes fixes non paraUeles a un mime plan, est identique as^ec t hyperbotoide a une nappe que nous avons decrit au n^ 83. En effet, cette surface gauche est d*abord du second degre, puisque, sans effectuer les calculs, il est aise de voir que les conditions par lesquelles on exprimerait que la droite mobile a un point de commuii avec chaque directrice, ne pourraient conduire qu'k une Equation du second degr6. Eosuit^, cette surface gauche est douee d'un centre (n^ 532) ; done, comme elle ne sauralt etre evidemment ni un cdne, ni un cylindre, qui sont d^veloppables, il faut qu*eHe soil un ellipsolde ou Tun des deux hyperboloides. Or Tellipsoide est une surfttce limitee en tons sens (n^ 81) qui ne saurait admettre pour g^nefatrtce une droite indefinie; d*un autre c6te, Thyperboloide du li'^BS pr^sente deux nappes s^par^es par un intervalle imaginaire, de sorte qu*une droite indefinie et continue ne saurait evidemment s'appliquer tout entifere sur cette surface: par cottsequent, ou est ramene ^ ta proposition enonc^e au commencement de eet article.

356. {Fig. 119.) Pour manifester plus clairement Tidentite dont il s'agit, et qm peut paraitre assez Strange au premier coup d*oeiI, nous aliens d^mofntrer syntheti-* quement que Thyperboloide d^erit au n^ 83 admet en effet deu(v systimes de gdnS* ratrices rectilignes. D*aprfes la definition de cette surface, tontes les sections perpen* diculaires h son axe imaginaire sont des eWip^^ sembtables : si done nous la coupons par trois plans horizontaux c'a', V'X', VX'', dont le premier passe par lo centre et dont les deux autres sotent h 6gales difstances, au-dessons et au^deesns Ae ce point, nous obtiendrons V ellipse de gorge (abe/, c^e') et deux autros ellipses egalea» proje* tees horizontalement sur VIIXY qui a ses axes parallMes et propartionnels k ceux de abef. Cela pc^e, en menant k cette dernifere une tangente quelconque ADB, on sait que les parties AD et DB seront egales {*); si done, nous joignons le point (D, D') avec (A, A')et (B, g), nous obtiendrons deux droites (AD, A'D) et (DB, jyS') qui seront necessairement le prolongement Tune de I'autre, puisque ca sont las hypotenuses de deux triangles rectangles evidemment egaux, projetes sur D'TA" et DTS'. D*oii il resulta que la droite totale (ADB, A^D'S') a trois points de com- '\ muns avec Thyperboloide, et, consequemment, elle est tout entiSre sur cette surface ^ attendu que celle-ci est du second degre.

{*) Gelte propotilion m (Mmoaire aisteMQi^ par la (Ufroition purement gifofp^trique dea diam^trea conjugu^ ot des courbes semblablea.

coAPrna ii» -^ htkiivomidb a um nappe. aa3

Maintenant) projetons le point A sur Tellipse sup^rieure en a', et le point B sur Tellipse inf(irieure en B', puis, joignons ces dbux points dans Tespace avec (D, iy)t nous obtiendrons encore deux droites (BDt B'D'), (BA, DV), dont on ppouvera de mSme la coincidence; de sorte que la droite to tale (BDA, B'D'a') aura troife points de communs avec I'hyperboloide, l^t, par suite, elle sera situte tout enti)nr(s sur cette surface du second degr^.

537. {Fig^ 1 19.) De Ik nous pourons conclure que tout plan vertical ADB, tan-* gent k rellipse de gorge^ coupe Thyperboloide suivant deuK droites distinetes, qui se croisent en (Di D') sur cette gorge, et sent inolinees symetriquement de part et d'autre de la verticale D» Par consequent, cette surface peut £tre regardie oomme produite par le mouvemeni de la geniratrice (AD, A'D'), ou de la git^drairioe (BD, fi'D') assujettie a gtisser constammem surles ttoii ellipses semblabks

(XYVU, X'T), {abe/, aV), (XYVU, X-'V-');

car on sait (n^ 513) que ces conditions r^glent con^pl^tement le mouvement d'une ligne droite. Les diverses positions de ces deux generatrices presenteront done deuss systimes de droites indefinies, situees toutes sur Thyperboloide, savoir :

fA] (AD, A'D'), (A,E, A'.E'), (A.F. A^F),...,