B] (BD,B'D'), (B,E, F,E'), (B.F, B'3P
et les unes comme les autres se projetteront verticalement sur des tangentes k Tby-^ perbole X"a'X', V'e'V', contenue dans le plan vertical VX. En effet, au point (N, N')* oil Tune de ces generatrices vient percer ce plan YX, le plan tangent de la surface est perpendiculaire au plan vertical, attendu qu'il contient la tangente k Tellipse horizontale qui aurait son sommet en (N, N'); done la generatrice (BND> B'N'D') se confondi en projection verticale^ avec la tangente de Thyperbole (X''a'X% aX) qui est aussi dans oe plan tangent. La mdme circonstance arrive pour la droite (ADN, A'D'N") dont la projection verticale touche cette hyperbole au point (N, N") ; et les asymptotes sont fournies par les generatrices (6K, O'K'), (/Bai 0'B's)» leaquelles, etant paralleles au plan vertical YX, ne toucheront plus I'hyperbole qu*a rinfini.
538. Deux gSndratrices guelconques du systime A ne sont jamais dans un mime plan, et la surface est oauch«. Consideirona, en effet, les droites (AD, A'D') et (A4G, A^G')* Si elles se coupaient, leur point de section serait projete horizontalement en M; mais, pour la premiere de ces droites, le point M, etant au delii de D qui appartient a rellipse de gorge* devra se trouver sur la nappe superieura en M"; tandis que pour la droite (A^G, A'^G'), le point M, etant en de^k de 6, appartieodra necessairenient k la ntppe inferieure, et sera projete en M'. Done les droites proposees ne se coupent pas, et d'ailleurs il est bien evident qu'elles ne aauraient etre paralleles.
On prouvera da meme que deux generatriees du systfeme B ne sont jamais dana un plan unique.
22^ LIVRV VII. ^ m» SURFACES GAVCHES.
559. Au contraire, chaque gdniratrice (A46, A'^G') du premier systime coupe toutes les droites du second^ par exemple (BD, B'D'). Car le point M, oil se rencontrent les projections horizontales de ces deux droites, est plac^» sur Tune et sur Tautre, en deQk des points G et D, qui appartiennent k I'ellipse de gorge; done les deux points projetes en M sont sur la nappe inferieure de rhyperbolo'ide, et^ par consequent, ils se projettent k la fois en MS puisque cette nappe ne pent evidemment etre couple par la verticale M qu'en un seul point. Observons, cependant, que quand on choisira une g^neratrice du systime A et une du systeme B qui passeront par les extremites d'un meme diamMre de Tellipse de gorge, ces deux droites se trouveront/>ara/fe'/e5 ; mais du moins elles seront encore dans un plan unique.
On demontrera de meme que chaque gen^ratrice du systeme B coupe toutes celles du systfeme A, excepte une seule qui lui est parallMe.
540. Or, le mouvement d'une droite etant completement determine (n^ 521) par la condition que cette ligne mobile s'appuie constamment sur trois droites fixes, il en risulte que si Ton fait glisser la gen^ratrice (AD, A'D') sur trois droites quelconques du systfeme B, elle ne pourra prendre que les positions A2, A, , A4,.--> qui toutes rencontrent ces trois directrices (n** 539); de meme, la generatrice (BD, B'D'), en glissant sur trois droites du systeme A, viendra coincider necessairement avec B2 , Bs , B4 , . . . . Par consequent, Thyperboloide actuel nous ofTre bien toutes les propri^tes que nous avons deja reconnues dans la surface gauche du n^ 521 ; et, si les trois ellipses directrices etaient des cercles, on retomberait sur thyperhoUnde de revolution dont nous avons parle dans les n^ 140, 141 , ... .
541 . Duplan tangent. {Fig. 1 19.) Lorsque Thyperboloide a une nappe est defini par les trois ellipses semblables citees n^ 537 (courbes que Ton peut aisement construire, dfes que les trois axes Oa = 0'a', 06, O'c' de la surface sont assignes)» il est bien facile de trouver le plan tangent relatif k un point donne par sa projection horizon tale M. En elTet, si nous tirons par le point M une tangente AMB k Tellipse de gorge, ce sera la projection de deux generatrices, representees sur le plan vertical par A'D' et B'D', et sur lesquelles il faudra projeter le point donni en M* ou en M'; de sorte qu'il y aura deux positions pour le point propose. Considerons d'abord le point (M, M") situe sur la droite (ADM, A'D'M") : il y passe une seconde generatrice appartenant au systfeme B, savoir (B4GM, B'^G'lVr), laquelle s'obtient en tirant par le point M la nouvelle tangente MGB4 a Tellipse de gorge. Alors, Tensemble de ces deux generatrices determinera completement (n^ 530) le plan qui touchera Thyperbololde au point (M, M"), et les pieds de ces droites fourniront imm^diatement la trace horizontale AB4P de ce plan tangent.
Quant a sa trace verticale PQ'', on Fobtiendra par le secours de rhorizontale (MQ, M*Q") menee parallelementk AB4.
Pour Tautre point (M, M') on combinera ensemble les deux generatrices (BMD, B'M'D') et A4MG, A'^M'G') qui s'y coupent; et la trace horizontale du plan tangent relatif a ce nouveau point sera la droite Aj|B, qui se trouvera evidem-
caAPmus n. — htpsuoloibb a vum mappb. asS
ment parall^Ie a AB4. La trace verticale s'obtiendrait par le mime moyen que pr^ cMemment.
542. Pour obtenir uoe symitrie convenable dans la representation de Tbyperboloide au moyen de ses generatrices rectilignes, il est essentiel de choisir les cordes AB» AaBa, A,B,,..., sur le plan borizontaU de manifere qu'elles reviennent t6t ou tard aboutir deux^ deax aux memes points de Tellipse XYVU. Or, si cette courbe etait un cercle^ onsait (n^i50) que Pon remplirait cette condition en partageant la circonference en un certain nombre de parties igales, et en tirant des cordes qui sous-tendissent un norrbre constant de cesarcs partiels; d'ailleurs, ces cordes se trouveraient bien tangentes au cercle de gorge, qu'elles traceraient par leurs fieules intersections successives. Si done, en supposant cette construction effectuee pour le cercle decrit sur VX comme diam^bre, on imagine qu'il tourne autour de VX, d'une certaine quantit6 angulaire propre k lui donner pour projection Tellipse XYYU, il arrivera bien que les cordes primitives se projetteront sur d'autres cordes, qui viendront nicessairement aboutir, deux k deux, aux mimes points de cette ellipse; et en outre, ces nouvelles cordes seront ividemment tangentes a Tellipse intirieure suivant laquelle se projettera le ciercle de gorge primitif. D'ou je conclus qu'il faut cboisir les points A, A^ , A, , . . • , de telle sorte qu'ils ripondent aux ordonnies qui diviseront le cercle VX en arcs igaux; et tracer ensuite dans Vellipse XYVU, des cordes AB^ AaBa,..., qui sous-tendent un nombre constant de ces arcs d'ellipse, quoique ceux-ci ne soient plus de meme longueur. Une fois que les generatrices seront ainsi ditorminies sur le plan horizontal, on en conclura aisement les projections verticales, en projetant les extr^mitis A et B en A' et S\ et aussi en a' et B', sur les deux parall^Ies V^X' etyX". D'ailleurs, les intersections consicutives de toutes ces giniratrices, si elles sont assez multipliies, suffirent pour dessiner par elles-mimes le contour de Tellipse de gorge sur le plan horizontal, et les deux branches de Thyperbole parallele au plan vertical.
543. Du COKE ASYMPTOTE de fhyperboloide. {Fig. 1 19.) Si par le centre (0, 0') de cette demi^re surface, on menait des droites respectivement parall^Ies aux diverses generatrices du syst^me A, elles le seraient en meme temps aux generatrices du syst^me B, puisque cbaque droite d'un systfeme a sa parallele dans Tautre (n^ 532) ; et Ton formerait ainsi une surface conique qui serai t asymptote de Thyperboloide propose. Pour le prouver, cherchons d'abord quelle sera la trace borizontale de ce c6ne. En considerant Tarete quelconque Om et les deux generatrices DA et HR qui lui sont parall^les, ces trois droites seront dans un meme plan passant par le diamfetre horizontal (DOH, D'O'); done la trace de ce plan sera une corde RA parallMe k IX)H, et le milieu m de cette corde sera evidemment le pied de Tarete Om. En raisonnant de meme pour une autre arete et pour les deux generatrices de I'hyperboloide, qui lui sont paralieies, on yerra que la trace horizontale vmyx du c&ne en question sera foumie par les milieux de toutes les cordes qui sous-tendront, comme RA, iin/iom6/)?co/ii^im/de divisions dans FellipseVYX. Or, d'aprfes ce que nous avons dit au numero precedent, on sait »que toutes ces cordes
^^ UVMI VII. — U» imKACBS BAVOMm.
ODt pour enveloppe one ellipse qu'elles touehent en lean milieux, et qui est sem* blable a YXY; done la trace vmyx est eflTectivement une ellipse qui jouit de eette propriete, et dont le deiBi-grand axe Ov est egal k bK.
Maiutenant le c6n6 que nous reaons de construire est asympiaie Ab Thyperbo*lo'ide ; car, eu eoupant ces deux surfaces par des plans horizontaux, les sections seraieut des ellipses respectivemeut semblables a YYX et fyx^ et qui, comme ces dernieres, auraient pour difiierence de leurs demi-^xes une quantity Tatiable Vf^ egale a Tintervalle TK' qui separe ThypertiQle VVY"^ de sea w^mpt«te &1L\ Or cet intervaUe approche indafiaiment de zero, a mesure que Ton s'abaisse-dafrantage au-des30U9 4u centre (V; dmoiC aussi lea deux sections faites dan» I'hy poiiwloide et dans le cone par un oieme plan horizontal qui s'^dloigne de plus en plus du oentre^ seront des ellipses semhlables qui approeheront ind^nim&tt de se coofbndr^ q^oique la premiere enveloppe toujours la simonde; doaicf em deux sur&ces sent bien asyn^ptptes Tune de Tautre.
S44. D£S SEGTI01N3 PLAN6S 4^ I' byfwhoiolUk* (Fig. 109.) Pour obtrair TifttePr section de cette surface par un plan donnd i»» il snifit de chercher les points dMS lesquels ce plan va couper les divevsos generatf ioaa ^t A^ A%..m ftt^ l'<^ anil eoAstruire (n"" 521) d'aprte la cpnnaissance des troiQ directrices B« F, B''; puiat df reunir tous c^ points par un trait eontinu. La tai^ente k cette cqurbe sera d^mMi^ par Tintersection du plan % avec le plap tangent de rkypeybdloide pour te pQiM ft question, plan que nous avons enseigqe k construire ( n^ &30)*
£(4£(. Dans le cas particulier Qu le plan donne n paaa^rait pa? une gen6«iitri{;e 4 du premier syst^e, la seeonde brancbe d'in^rseetiQn scrait neeeaciairement i^<V Ugrkef puisque la surface est di| segond degf^; et cetle dfoite, qui ^pp^rtiendr^ 4H systame B, s'obtiendrait en cherchant seulement les deuis p<^nls eu In pbn ff CQ^pc deux generatrices A' et A'' du premifor syst^e. D'aiUeurs* ce ylan % serait H^ig^ k la surface dans le point de tpncontre des deux gefteratiioes qi&'il r enCevmersat.
£(46. Lorsque ces deux generatrices so trouveront parallcles entre ellee* le plan n devra etre cpqsidere comme asymptote d^ rhyperboloidp> ou tangant dans le poiqt infiniment 61oigne oil coneourraient ces deuii: dfoitea; alors lo plan n passerMl necessairemeut par le centre (n^ 633) de la surlsK^e, et se^sat tangent au com asymptote, comme on Ta t« (n^ 543) pour les generatrices DA et HR de l^iJSg. 1 19* Ainsi» tout plan taugeM au c4^ asymptote coupe I' hyperh^hide mixKuU deux cbviie^ pqruUeles a FarSte de contact de ce plaq aveo le ctoc.
S47. Pour reconnattre d'uvunce la nature de la sectmk produite par un plnq donne tt, il faudra examiner s'il exis^te quelque geufyt^LU'iwparulleleau plan secant; parce qu'alors la section admettrait une ou dwx branches infinies. A cet effete oa con^truira la trace du cone asyi^ptote sur le plan horizontal, en aenant pat le centre de Thyperboloide, determine comme au n^ S15^5, (ou m^me par un poiJit quelconque de I'espace), dc$ parall^les a uv^ nombro suliisant do g-en^attricw An A\ A"",... ; puis, on conduira par le spwmet d6i oo cone un plan n' parollele a », 4 alcrs il pourra se presenter trois cas distincts.
CHAPITBB Ht —- PTPERBOU>U>P A 1»B HAPPE. ^Hy
1® Si la trace horizontale du plan t;" ne rencontre pas la base du c6ne asymptote, il n'existera sur ce cone aucune arete parall^le a ;r; et il en sera de meme des generatrices de rhyperboloide, qui sont (n^ 545) respectivement parall^les k ces aretes. Done, dans ce cas, la courbe de .section n*aura aucun p^int situe a Tinfini, et elle sera une ellipse.
0? Si la trace horizontale du plan it' edup« en deux points \i bas^ du cdne asymptote, il y aura sur ce cone deux aretes « et o^ paraUiks aa plan tt, et aussi dans Fhyperboloide deuK generatrices de cheque mode {a et b, a! et h') qui rempliront cette condition; par consequent, la section faite par le plan n admettra deux branches infinies, et sera une hyperbole. Pour en trduver les asymptotes, on menera le plan P, qui touche le pone asymptote (*) le long de Tarete a; et comme ceplan renfermerait (n^ 546) les daux g^n^mtriees a et 6 qui, %\kt Thyperboloide, seraient paralleles k a, il est tangent k cette surface pour le point infiniment eloigne oil a et b iraient rencontrer le plan secant n ; done I'intersection des plans P et ;r donnera Tasymptote de cette branche* L'autre asymptote sera fournie par Tintersection du plan TT avec le plan P' qui touchera le cone asymptote suivant Tardte oi ; car c'est dans ce plan F que seraient contenues Jes deux generatrices it' et b\ qui sont paralleles \ at.
3^ Si le plan "ti^ men^ par le sommet du edne asymptote, txiuthe ce cone suivant une arete unique a, il n'y aura sur rfayperboloide qu'une seule genieratrice (a et b) de chaque systfeme, qui soit parallele k a \ doac alors la section faite par le plan tt n*aura qu'une branche infinie, et sera tme pdmbale. D'aiUeurs, elle n'admettra pas d'asymptote; car c'est le plan n' luirmeme qui, touehant le eAne asymptote, renfermerait (n^ 546) les deux generatrices a et 6 paralleles k a. Done ce plan est tangent a rhyperboloide pour le point infinim^nt dloigne de la courbe ; mais, comme il se trouve ici parallMe au plan secant n^ leur intersection, qui serait Tasymptote, se transporte tout endure k I'infini et n'existe plus.
548. Par les constructions precedentes, on saura resoudre le probleme suivant, quand il sere possible ; Trouper sur un hjrperbohide donnS une gendrdtrice qui soil parallile a un plan connu ft. Car, en menant par le sommet du cdne asymptote le plan n'f parallele k tt, si le plan t^ coupe ce cdne suivant une ou deux aretes a et a', les plans tangents au mSme eone le long de ces aretes donneront, par leurs inter-* sections avec Tfayperboloide, les generatrices a et 6, paralleles k a, et les generatrices a" et b\ parallMes k a!i lesquelles satisferont toutes quatre k la questioo proposee.
(*) li faut, ici, que ce cdne ait M construit d^ maniere <|ue son semmet soit pr^istoent au centre de rhyperboloide, que Ton sait trouver par le n"* 533.
ag-
22B iims ym. — des surfaces qacoies.
