CHAPITRE III

DU PARABOLOIDE HTPERBOLIQUE.

549. {Fig. 1 1 5.) Nous appellerons ainsi la surface engendree par une droM mobile A, quiglisse sur deux droites fixces B et B' non siuUes dans un mime plan^ et qui demeure en outre constammeni parattile a un plan donni P, que Ton nomme le plan directewr ; car il sera demontr^ plus loin (d^558) que cette surface estidentique sRrec celle que aous avons dejk dteigu^e sous ce nom au n^ 89. Pour constxuire les diverses positions de la generatrice, il suffira de rnener par chaque point M, pris a volonte sur la g^neratrice fi, un plan parallfelek P; puis, de chercher le point N oil ce plan ira couper Tautre directrice BS et de joindre ces deux points par une droite AMN. On voit ainsi que les conditions prec^entes riglent compldtement le mouvement de la droite mobile, puisque, pour chaque point M, elle ne pent prendre qu'une position unique*

550. Le paraboloide hyperbolique est une surface gauche; car deux generatrices quelconques A et A', memo quand elles ne sont pas infiniment voisines, ne pourraient se trouver contenues dans un plan unique, qu*autant que les directrices B et B\ qui ont chacune deux points communs avec les premieres, seraient elles-memes situ^es dans ce plan : or cela est contraire k la definition donn^e au numero precedent; done la. surface est gauche.

551. {Fig* ii5.) La surface qui nous occupe admet, comme Thyperboloide gauche, un second mode de generation inverse du premier, et dans lequel deux des generatrices A, A', A",4«m deviendront les directrices. Pour le prouver, demontrons que lout plan DUY , p(mdlile aux deux directrices B et B', coupe le paraboloide suivantune droite; ce qui se reduit k faire voir que les trois points D, D', D"", ou ce plan rencontre trois generatrices quelconques A, A', A", se trouvent en ligne droite.

Projetons la figure entifere sur un plan QOX, parallele aussi aux deux directrices B et B', et employons pour lignes projetantes des droites obliques (*), mais parall^les toutes a une ligne PO men^e arbitrairement dans le plan directeur POX. Alors B et B' deviendront deux lignes quelconques betb'; mais les droites MDN, M'D'N', M"D''N", ayant leurs plans projetants paralleles k P, se projetteront suiydLnt Aes droites mdn, m' d' n\ w!'d"n^^ necessairement/>am//l^ k Tintersection OX des deux plans P et Q. Cela pose, on aura evidemment

MD mrf M^D^ m'd* WW m'd" DN ~ rftt ' D'N' ~ d'n' ' D^N*' ~ IFn^'

(*) Nous ay ions, dte raimte i8i8, d^monM cette proposition en conservant les projections orthogonales, et employant un plan QOX perpendiculaire au plan directeur P ; ce qui iaisee subsister tons les raisonneroents et les calculs du teste, lllais la marche actuelie ofire Tavantage de mettre sous les yeux d« lecteur le second plan directeur Q qu*admet le paraboloide hyperbolique.

CHAnTBB HI. ^ BU »ABlBOLOII» HTPBUIOUQinB. 22^

mais, d'ttn autre cdt£, le plan DUY etant parall^le aux deux lignes B et BS on pent regarder les droites A, A% A'S comme coupees par trois plans parallMes, et, d'apr^s un th^oreme connu de la g^ometrie ordinaire, on aura les rapports egaux

MP MD' W'ly qui, en vertu des egalites prec^dentes, donneront encore

md m'd' m^d'

dn ~ "av " d'n''

Or, puisqueces rapports 6gaux subsistent entre des droites mn, m'n\ mf^n'^f qui mniparaUeles entre elles^ tA en resulte n^cessairement que les trois points d^ d\ d\ sent sur une meme droite qui convergerait avec h et V vers un point unique; d'ou il suit que les points de Tespace D, D', D'', se trouvent dans le plan proj etant passant par la droite dd' d'\ et comme ils sont d'ailleurs dans le plan DUY, qui est distinct de ce plan projetant, il en resulte que ces trois points D, D% D'% sont effectivement en ligne droite.

552. {Fig- i-i5.) D'aprbs cela, sil' on/ait glisser sur deux generatrices A et A' du premier mode une droite mobile B" assujettie en outre a demeurer parallSle auplan Q, elle engendrera le mAme paraboloide que ci-dessus ; car, lorsque B"" passera par le point Dpar exemple, elle ne pourra manquer de coincider avec la droite DD'D'' qui estsituee (n^ 551) sur ce paraboloide, et qui remplit d^jk les conditions imposees kB"". Ainsi, voila un second mode de generation oti lenouveau/^/ezn directeurQ est parallfele aux deux directrices B et B' de I'ancien mode, et oil les directrices nou* velles sont deux generatrices quelconques du premier systeme A.

553. Maintenant, essay ons de faire mouvoir une droite B'' de maniere qu'elle s'appuie constamment sur trois droites quelconques A, A\ A'^ du premier systeme, sans lui imposer la restriction d'etre parallMe a un plan directeur, Ces conditions suffirontpour regler completement (n® 521) le mouvement de cette gen^ratrice; et quand elle passera par le point D, par exemple, elle devra encore coincider avec DD'D'S qui remplit dejk les conditions enonc^es : done B'^ va ainsi decrire le meme paraboloide que pr^cedemment. Par consequent, voila un troisifeme mode de generation, dans lequel cette surface est produite par fe mow^ement d*une droite B'' qui gUsse constamment sur trois droites fixes A, A', A'', lesquelles sont paraUHes a un mime plan; car ici ces trois directrices, au lieu d'etre tout a fait quelconques, se trouvent, par la definition du n^ 549, parall^les toutes au plan P : de sorte que, sous ce point de vue, le paraboloide byperbolique est un cas particulier de I'hyperboloide k une nappe (n^ 521). D'ailleurs, quoiqu'on n'aitpas impose a la droite mobile B"" la restriction de demeurer parall^le k un plan fixe, elle ne laissera pas de remplir cette condition, puisque les positions qu'elle prendra, comme DD'D"^, sont dejk toutes parallMes au plan Q; ce qui s'accorde avec la remarque du n^ 529.

II est aussi evident que ce mode de generation admet, pour reciproque, un qua-

33o UTRB VII. ^ BE^ fttJAPACtah GAlN^tllS.

trieme mode dans lequel on ferait mouvoir la droite Asur trois qu^lceaqu^s A^ generatrices du systeme 6; car cette droite A ne pourrait prendre (n^ S21 ) que left positions A\ A^'^.-.^qui remplissent dejk cette condition, et elle demeurerait aintii parallele au plan P, quoiqu'on ne lui eut pas impose cette restriction.

554. {Fig. 1 1 5.) II resulte evidemment de li : i** que par chaque point D pris k volonte sur le parabolo'ide, il passe deux droites situees tout entieres sur la surface^ et appartenant Tune au systeme A, Tautre au systeme B; 2^ que deux gen^ratriced appartenant au meme mode ne sont jamais dans Un plan unique, puisque ce qui a ele prouve (n** 550) pour les droites A, A', A",..., s'applique evidemment aussi aux droites B, B', B",...; 3*^ que chaque generatrice d'un systeme coupe toutes les droites de Tautre mode, sans guily en ait deux deparaUeles : car, si cette circonstance avait lieu pour A'' et B'', par exemple, il s'ensuivrait que ces droites seraient aussi paralleles a Tintersection OX des deux plans directeurs, ce qui est impossible, k moins qu'on ne les regarde comme placees k une distance infinie; 4^ une droite quelconque ne pent traverser le paraboloide qu'en deux points : car^ si elLe avait trois points communs avec cette surface, elle s'appuierait sur trois generatrices, et, par consequent (n° 553), elle coinciderait toutentiere avec le paraboloide. D^ailleurs, pour obtenir les points d'intersection, il faudra construirele section faite dans la surface par un plan vertical ou horizontal, conduit suivant la droite donn^e.

555. Enfin, puisque dans le premier mode de generation les diverses positions A, A\ A",... de la generatrice sont fournies par des plans paralleles a P, qui coupent les directrices B et B' aux points M et N, M' et N',..., on sait, par la geometrie ordinaire^ que ces plans diviseront les droites B et B' en parties proportionbelles, c'est-a-dire que Ton aura